线性代数—实对称矩阵的对角化.ppt

1第三节第三节2 并非所有方阵都可对角化并非所有方阵都可对角化,但是但是实对称实对称矩阵矩阵必可对角化必可对角化.为了讨论实对称矩阵的有关性质，需要为了讨论实对称矩阵的有关性质，需要研究向量内积和正交的概念和性质。研究向量内积和正交的概念和性质。3定义定义 两个两个n维向量维向量向量的内积具有如下基本特性：向量的内积具有如下基本特性：证略证略.一、向量的内积一、向量的内积,正交和长度正交和长度4向量长度的性质向量长度的性质:由定义可知由定义可知定义定义例例1证证5二、正交向量组和正交矩阵二、正交向量组和正交矩阵定义定义显显然零向量与任何向量都正交然零向量与任何向量都正交。n维基本单位向量组维基本单位向量组 是两两正交的。是两两正交的。显然有显然有6例例2解解即得所求向量为即得所求向量为7定义定义 若非零向量若非零向量两两正交，两两正交，则称之为则称之为正交向量组正交向量组。定理定理 正交向量组必线性无关。正交向量组必线性无关。证证设设是正交向量组，是正交向量组，8施密特正交化方法施密特正交化方法证略。证略。9例例3解解用施密特正交化方法，将下列向量组正交化：用施密特正交化方法，将下列向量组正交化：10例例4解解将向量将向量组组标标准正交化准正交化.11再单位化再单位化,12例例5解解它的基础解系为它的基础解系为再正交化，再正交化，13正交矩阵的性质：正交矩阵的性质：证证定义定义 若若n阶矩阵阶矩阵Q 满足满足则称则称 Q为为 正交矩阵。正交矩阵。14 Q为正交矩阵的充分必要条件是为正交矩阵的充分必要条件是Q的的列列向量组向量组是单位正交向量组是单位正交向量组证明证明定理定理15是单位正交向量组是单位正交向量组同理同理,由由可知可知Q的的行行向量组是单位正交向量组是单位正交向量组向量组.16Q为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立：为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立：(3)Q的行向量是两两正交的单位向量的行向量是两两正交的单位向量.(4)Q的列向量是两两正交的单位向量的列向量是两两正交的单位向量.17例例6 判别下列矩阵是否为正交矩阵判别下列矩阵是否为正交矩阵解解(1)不是正交矩阵不是正交矩阵18(2)所以它是正交矩阵所以它是正交矩阵19练习练习验证矩阵验证矩阵是正交矩阵是正交矩阵.P 每个列向量都是单位向量，且两两正交，所以每个列向量都是单位向量，且两两正交，所以P是正交矩阵。是正交矩阵。20实对称矩阵的特征值都是实数实对称矩阵的特征值都是实数.三、实对称矩阵的相似对角化三、实对称矩阵的相似对角化定理定理并非所有方阵都可对角化并非所有方阵都可对角化,但是实对称矩阵必可对角化但是实对称矩阵必可对角化.证证证略证略.实对实对称矩称矩阵阵的属于不同特征的属于不同特征值值的特征向量彼此正交的特征向量彼此正交.定理定理只证两个特征向量的情况只证两个特征向量的情况.21定理定理证略证略.具体计算步骤如下：具体计算步骤如下：(1)求出求出实对实对称矩称矩阵阵A的全部特征的全部特征值值；(2)若特征若特征值值是是单根单根，则则求出一个求出一个线线性无关的特征性无关的特征向量，并加以向量，并加以单位化单位化；若特征若特征值值是是重根重根，则则求出重求出重数数个个线线性无关的特性无关的特征向量，然后用征向量，然后用施密特正交化施密特正交化方法化方法化为为正交正交组组，再，再单单位化；位化；(3)将将这这些两两正交的些两两正交的单单位特征向量按位特征向量按列列拼起来，就拼起来，就得到了正交矩得到了正交矩阵阵P P。22例例7解解设设求正交阵求正交阵P，再再单单位化位化,23于是于是所求所求正交正交阵阵为为使使24例例8解解设设求正交阵求正交阵P，特征向量特征向量25特征向量特征向量26再单位化再单位化,拼起来得拼起来得使使27解解例例9 设设三三阶实对阶实对称矩称矩阵阵A A的特征的特征值值是是1,2,3；属于特征属于特征值值1,2的特征向量分的特征向量分别为别为 (1)(1)求属于特征求属于特征值值3的特征向量；的特征向量；(2)(2)求矩求矩阵阵A.矩矩阵阵的属于不同特征的属于不同特征值值的特征向量彼此正交的特征向量彼此正交,于是有于是有 由于由于实对实对称称即解即解齐齐次次线线性方程性方程组组,其系数矩其系数矩阵为阵为 28属于特征属于特征值值3的特征向量的特征向量为为 (2)(2)所以所以29解解例例1010 对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵 ，使使 为对角阵为对角阵.(1)第一步第一步 求求 的特征值的特征值30解之得基础解系解之得基础解系 解之得基础解系解之得基础解系31解之得基础解系解之得基础解系第三步第三步 将特征向量正交化将特征向量正交化第四步第四步 将特征向量单位化将特征向量单位化32333435于是得正交阵于是得正交阵3637END