如何通过数学教学锻炼学生的数学思维.doc
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1、摘要:如何通过数学教学锻炼学生的数学思维呢?这就要求教师在数学教学中有意识地培养学生的推理论证能力。本文从八个方面论述了培养学生的数学推理论证能力的方法。 关键词:数学教学;推理论证能力;学生 著名哲学家加里宁曾说过:“数学是思维的体操”,此话说得非常精辟,因为数学无时无处不体现思维,那么,如何通过数学教学去锻炼思维呢?这就要求我们在数学教学中有意识地去培养学生的推理论证能力。从教至今,笔者认为应从以下几方面着手: 一、激发学生对数学的学习兴趣 兴趣是人们力求认识事物和探求知识的心理倾向,它能激发和引导人们在思想感情和意志上去探索各种事物的底蕴,直接影响一个人工作效力和智力的发挥。科学研究表明
2、:一个人做好感兴趣的工作,他的全部才能可发挥80%以上;做不感兴趣的工作,能力发挥20%,由此可见浓厚兴趣的重要性。爱因斯坦曾经说过:“兴趣是最好的老师。”那么在数学教学中,如何激发学生的学习兴趣呢?笔者结合具体的教学内容,介绍数学在现代化建设中的地位和作用,介绍学好数学在现实生活中的巨大作用,让学生认识到学好数学既是发展的需要,又是现实的需要。 为了能更好地激发学生学习数学的兴趣,笔者从学生的实际出发,从情感育人、理实结合、激发兴趣等方面入手,做了一些有益的尝试,取得了令人满意的效果,现陈述如下: 1.注重师生交流,强调情感育人 如果教师不注意与学生的感情交流,动不动就批评、指责,会导致他们
3、对数学学习的彻底绝望,那怎样才能增进师生的感情交流呢?笔者认为,应着力做好两个方面的工作:一是交心。在教学中应该热爱自己的学生,用爱心去教化他们,缩短师生间的距离,让学生感到你是他们的朋友。教学中注意“轻、亲、清”,即轻松愉快、感情亲近、条理清晰,使学生感到轻松愉快,感情亲切,使师生感情进一步融洽。二是引领。良好的师生关系是一堂课的关键,一位学生喜欢教师走进课堂,课堂气氛就会活跃愉快,这就有利于学生获得最大限度的进步和发展,师生之间的友谊就会发生教学的积极反馈。反之则形成教学的消极反馈,降低效果。 2.理论联系实际,注重直观教学 数学多为抽象、枯燥的数字符号,学生学起来感觉无味,这也会影响学生
4、的学习兴趣。因而在教学中,教师应该尽量将书本上的知识加以研究使之变为生动有趣的问题。教学中要放手引导学生高度参与教学活动,让他们“够一够”后能品尝到撷取知识“果实”的乐趣和获得成功的愉快,通过多提问、板演、讨论等多种方法向学生提供体验这种愉快心情的机会。 3.讲究授课技巧,激发学生兴趣 数学是一门非常严谨而又逻辑性十分强的学科,然而它又是丰富多彩、生动形象的学科。教学中除应注重其严谨性,掌握比较详实的数学史料外,同时还要把握教材内容和学生心理特点,将数学史料适时溶于教学中,用生动的事例及故事激发学生学习兴趣。 二、明确推理论证的重要性 在小学阶段学数学,由于自身的认知结构和年龄限制,采取观察、
5、测量、实验等方法,到了初中学习数学光有观察是不够的,因为从观察得到的认识是初步的,往往不全面、不深入。例如:我们在小学数学里观察过一些三角形三个内角的和,得到“三角形的三个内角的和等于180”的结论,那么是不是所有的三角形都是这样呢?为什么每个三角形三个角的和就必然是180呢?只用观察的方法就不够了,而要在观察的基础上,一步一步有理有据地说明理由,这就是推理,从而说明了推理的重要性。只有经过推理才能使我们从观察试验得到的知识更全面、更深入,而且还可以进一步得到新的知识。 三、树立学生学好证明的信心 因为推理论证的过程就是证明,在初中一提到证明,学生就联系到几何,对于证明,学生感到不知所措,因为
6、在小学数学中,接触的是计算题、问答题,好像没有证明题。在初中数学教学中,笔者首先告诉学生,别担心,其实你们小学计算题中也包括证明。例如:计算+学生都知道等于,具体过程是,笔者接着问学生,为什么=,=,及呢?学生答出利用分数基本性质和同分母分数相加所得,既然你们能说出其中的理由,就说明了你们在小学已经具有一定的推理论证能力。另外,告诉学生,证明题有时比计算题更具一定的方向性,因为计算题只有条件没有结果,而证明题既有条件,又有结论,只不过要你说出如何从条件到结论的理由罢了新修订的九年义务教育数学课标中明确指出,要重视发展学生的推理能力,从而发展数学思维,用数学思想来解决生活中的实际问题,让学生切实
7、体验到数学推理在生活实际中的作用。本人认为应从以下几方面来培养学生的推理能力。 第一, 把推理能力的培养有机地融合在数学教学过程中 学生能力的发展,决不等同于知识与技能的获得,能力的形成是一个缓慢的过程,有其自身的特点和规律,它不是学生“懂”了,也不是学生“会”了,而是学生自己“悟”出了道理、规律和思考方法等,这种“悟”只有在数学活动中才能得以进行,数学推理能力的培养更是如此。因而数学教学必须给学生提供探索交流的空间,组织引导学生“经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程。”并把推理能力的培养有机的融合在这样的“过程”之中,任何试图把推理能力“传授”给学生,试图把推理能力培养“毕其功于一役”的
8、做法,都不可能取得好的效果。 第二, 把推理能力的培养落实到数学标准的四个学习领域之中 “数学代数”、“空间与图形”、“统计与概率”、“实践与综合应用”四个领域的课程内容,都为发展学生的推理能力提供了丰富的素材。所以数学教学必须改变以往培养学生推理能力的“载体”单一化(几何)的状况,要为学生提供自主探索、合作交流的时间和空间:要设置现实的、有意义的、富有挑战性的问题,引导学生参与“过程”;要恰当的组织、指导学生的学习活动,并真正鼓励学生、尊重学生,与学生交流合作,就能拓宽学生推理能力的渠道,从而有效的发展学生的推理能力。 第三,通过学生熟悉的生活实例发展学生的推理能力 要想推进学生推理能力更好
9、的发展,除了学校教育外,还有很多活动能有效的发展学生的推理能力。例如,人们在日常生活中经常需要作出判断和推理,许多游戏活动中也蕴涵着推理的思想,所以要进一步拓宽发展学生推理能力的渠道,使学生感受到生活活动中有“推理”,养成善于观察、勤于思考的习惯。例如:若每两个人握一次手,则三个人共握几次手?n个人共握多少次手呢?(通过合情推理探索规律)这与“由北京开往上海途中,停靠23个站(不包括北京、上海)这次列车共发多少种不同的车票呢?”这样的问题有什么联系呢?(类比)第四,推理能力的培养要注意层次性和差异性 标准强调,数学教学要紧密联系学生的生活实际,从学生的生活经验和已有的知识水平来培养学生的推理能
10、力,所以,必须充分考虑学生的身心特点和认知水平,注意层次性。一般来说,操作、实验、观察、猜想等活动的难易程度容易把握,因此,合情推理能力的培养应贯穿数学教学的始终。但体会证明的必要性,发展初步的演绎推理能力一定要坚持循序渐进的原则,不要急于求成。另外,还要关注学生的差异,要给不同的学生提出不同层次的要求,克服“为了证明而证明”的盲目性,还要注意推理论证“量”的控制以及要求的适度。只有这样才能激发学生的求知欲望,树立学好数学的自信数学推理可以分为:归纳推理、演绎推理、类比推理和合情推理。(一)归纳推理归纳是由个别到一般的推理,小学数学中的许多概念法则,公式都是运用归纳推理,从特殊事实得到一般原理
11、,即通过一些学生熟知的个别生活实例或数学问题,再进行观察,比较、分析、综合中归纳出一般结论。归纳推理必须以概括为基础,也就是首先要把个别事物或现象归之于一类事物或现象,然后在此基础上进行归纳推理。(二)演绎推理演绎推理又称为论证推理,是根据已有的事实和正确的结论 ( 包括定义、公理、定理等 ) ,按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程,是从一般到特殊的推理,它是以某类事物的一般判断为前提作出这类事物的个别、特殊事物判断的推理方法。演绎推理以形式逻辑或论证逻辑为依据,它的过程正好与归纳推理的过程相反,它的前提与结论之间有着必然的联系,只要前提是真的,推理是合乎逻辑的,就一定能得到正确的结论。一般
12、来说,演绎推理的每一步都是可靠的、无可置辩的,因而可以用来肯定数学知识,建立严格的数学体系。所以,演绎推理可以作为数学中的一种严格的论证方法,即是对数学的合情推理中由归纳、类比所得结论的逻辑证明,包括证真和证伪 ( 举反例 ) 。演绎推理的基本方式是三段论证法,即“大前提、小前提、结论”。演绎推理的正确与否取决于两个前提的正确性,只有当大前提和小前提都正确时,才能得到正确的结论。(三)类比推理类比推理是从特殊到特殊的推理,它根据两个对象的某些属性相同或相似,推出它们的其他属性也可能相同或相似,是一种横向思维。在小学数学教学中,常常利用新旧知识间的某些相似处进行类比推理,以学习新的知识。(四)合
13、情推理合情推理又称似真推理,是一种合乎情理,结论好像为真的推理,它是根据已有的事实和正确的结论 ( 包括定义、公理、定理等 ) 、实验和实践的结果,以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程。那我们在具体教学中,该如何培养小学生的数学推理能力呢?我结合平时教学中的一些例子谈谈自己粗浅的想法。一、示范,教给学生正确的推理方法。小学生学习摹仿性大,如何推理、需要提出范例,然后才有可能让学生学会推理。小学数学中不少数学结论的得出是运用了归纳推理,教学时就要有意识地结合数学内容为学生示范如何进行正确的推理。例如,教加法交换律时,可按如下步骤进行:(1)计算多组算式:7+ 3=10,3 +7=10,所
14、以:7+3=3 +7还有:25 +75=75 +2518 +40=40+ 18125+ 875=875+ 125(2)观察、分析,找出这些算式的共同点:左、右两边加数相同,位置不同,和不变。(3)归纳出加法交换律:两个数相加,交换加数的位置,它们的和不变。进而用字母a、b分别表示两个不同的加数,概括出一般的表达式:a +b=b+ a。这三步体现了从特殊到一般的思维过程。在学生学习了加法交换律后,还要注意让学生小结一下推理思路,以帮助学生领会如何运用归纳推理来探讨问题的。二、操作,引导学生参与推理全过程。现代教育论强调“要让学生做科学,而不是用耳朵去听科学。”“操作学具学数学”有利于学生有动作思
15、维表象抽象思维。因此在教学中,要组织学生实践操作,让学生参与推理的全过程,引导学生的思维由直观向抽象转化,使学生从个别特殊的事物中发现规律,进行归纳。例如:教学三角形内角和,要求学生分别准备若干个直角三角形、锐角三角形、钝角三角形纸板,引导学生动手把各个三角形的三个角折拼、剪拼在一起,并用量角器量各种操作结果,再引导学生观察、分析操作结果并进行归纳。由于直角三角形、锐角三角形、钝角三角形是三角形的全部,所以根据完全归纳法得出结论:三角形内角和是180度。在教学中注重实践操作,让学生参与推理的全过程,不仅是给学生关于“三角形内角和”的准确完整的答案,而更重要的是使学生懂得了准确完整的答案的是怎样
16、获得的,学生就会从中受到科学思维方式的训练。三、说理,养成学生推理有据的好习惯。语言是思维的外壳,组织数学语言的过程,也就是教会学生如何判断推理的过程,而与语言最密不可分的是演绎推理,小学生解题时大多是不自觉运用了演绎推理,因此在教学中必须通过追问为什么,要求学生会想、会说推理的依据,养成推理有据的良好习惯。例如:判断9和10是不是互质数时,一定要求学生这样回答:公约数只有1的两个数叫互质数,因为9和10只有公约数1,所以9和10是互质数。这样运用演绎推理方法,经常进行说理训练,有利于培养学生的演绎推理能力。“解决问题”是数学课程标准提出的四个课程目标之一,从我国的数学教育实际来看,它是一个既
17、非常重要又新颖而较难把握的目标。在“新思维教育中心”培训学习期间,通过张天孝的指导,本人对数学“解决问题策略”的教学有了初步的整体思考。写成纲要是为了简明扼要,因此只对“问题”、“解决问题的活动”、“解决问题的策略”、“教策略的方法”四个基本观点作简要说明,而不展开论述,也尽量不引用理论依据,有关理论依据我将另行整理并发出。1关于什么是数学“问题”对“问题”应作两方面理解:一是教学任务,二是学生的一种心理状态。作为教学任务,它应该融“知识与技能”、“数学思考”、“解决问题”、“情感态度”所有四个数学课程目标为一体,但以“解决问题”为核心,知识与技能是用来解决问题的工具。其次“问题”又是学生的一
18、种心理状态,我姑且称之为“问题心态”,即“心里有个让自己迷惑不解又急于想破解的问题”的求知状态和情绪状态。这个激发学生学习的根本原因。在小学里运用数学去解决的问题分为“纯数学问题”和“应用数学问题”两大类。第一大类“纯数学问题”的具体目的是学习新数学知识。比如小学生学完自然数加法之后学习减法、学完自然数四则运算之后学习分数知识、学完三角形和长方形基础知识之后学习平行四边形知识等等。解决纯数学问题的教学,所设计的问题情境是否需要包含实际生活背景?不必一概而论:包含已学数学知识是必须的,而要不要包含实际生活背景则“有用就用、没用就不用”。第二大类“应用数学问题”的具体目的是学习应用数学知识与方法解
19、决非数学问题。比如科学、体育、艺术等课程学习中的问题甚至文科课程学习中的问题(数学家就曾运用概率方法证明出静静的顿河的确是肖霍洛夫自己写的)、日常生活中的问题以及劳动或科技活动中的问题。总之我们的眼界应该放开,不要只把“问题”局限于实际生活,也不要只局限于课堂。而且对这一点的了解还会让我们明白一个极重要的道理:既然纯数学问题和应用数学问题都是待解决的问题,那么数学学习的全过程处处都会面临问题,除开极少量的课时以外(或许没有这样的课时),几乎每堂数学课都可以并应该设计为“解决问题”的过程所以人教社小学数学编辑周小川教授指出:“课程标准要求解决问题的教学应贯穿于数学课程的全部内容中。”2解决问题中
20、的问题与传统的数学应用题有何区别根据以上分析,不难了解“问题”与“应用题”的区别:首先,应用题只属于“问题”中的第二大类,所以不能以为教了应用题就实现了“解决问题”这一课程目标。其次,“应用题属于应用数学问题”也只是表面上的且常常是虚假的:因为大量应用题里的生活情景都是随便虚拟的,如“小明如何、小亮如何”、“某工厂如何、某工程如何”等等,实际都“查无此人、查无此事”,假透了,对学生一点吸引力都没有。除了这两个区别之外,还有一个区别:传统的应用题教学方法并不是在教“解决问题的策略”,而是倾心于归纳类型、背诵公式以应付考试。3什么是数学解决问题解决问题是一种活动,是一种多要素、多环节的活动过程解决
21、问题对教师来说是“教”的活动,对学生来说是“学”的活动,这两方面的活动又相互协调合作构成完整的“教学活动”,而活动就必然体现为一种过程。首先,解决问题活动的多要素性。解决问题活动既是个体活动又是群体交往活动,既要自主探究又要教师组织、指导,还要与同学合作、交流;其次,对学生个体而言,解决问题活动既是认知活动又是情感活动和意志活动。其次,解决问题认知活动过程的多环节性。一般来说,解决问题的认知活动过程会包含五个环节:观察问题情境搜集或抽象出情境中的数学信息(对明显的数学信息是搜集,对不明显的或隐藏的数学信息则需抽象出来)找到合适的数学方法并依据它整理这些数学信息最后把这些信息联结起来建构出能解决
22、该问题的数学模型对这一数学模型进行运算与推理并得出结论回到问题情境检验所得结论。实际上解决问题不会一帆风顺,于是这一过程中的每一环节都可能需要回溯,或者需要数次循环这一过程。再次,解决问题过程中认知活动的多种方式。(1)个体活动。感知、观察、回忆、联想、想象、猜测、分析、推理、运算、反思、评估(2)交往活动。师生之间的交往活动:提问与回答、咨询与指导、汇报与点评、示范与模仿、管理与服从学生之间的交往活动:竞争与协作、讨论与交流、资源共享、自评与互评(3)可外显的认知活动与只能内隐的认知活动。不论是个体的还是交往的认知活动,从另一个角度来看又可分成“可外显的”和“只能内隐的”两类。4解决问题的基
23、本策略是什么解决问题的主体是学生而不是教师,因此学生所运用的解决问题的策略十分重要。数学解决问题策略包含三个层次:数学基本思想方法、解题方法或解题技巧以及介于这两者之间的“策略”本身。任何“策略”根本上都来源于数学基本思想方法(它包括量化方法、逻辑化方法、化归方法和结构化方法),策略不能违背数学基本思想方法。具体的解题方法或解题技巧则是微观的、工具性的。问题解决策略是学习某一项数学内容时所该运用的“问题解决过程的计划和整体思路”,在实施这一策略的过程中会用到若干个不同的解题方法或解题技巧。例如,让学生自主探究解决“平行四边形的面积”这一问题,该指导学生运用怎样的策略呢?策略是“把平行四边形分割
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