函数与极限省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

高 等 数 学第1页第1章 函数和极限主要内容:一、函数 二、极限 三、函数连续性第2页一、函 数（一）函数概念1、变量与常量常量：在某一过程中保持一定数值量，惯用字母a,b,c，来表示；变量：在某一过程中能够取不一样数值量，惯用字母x,y,z,来表示。注意：常量与变量并非是绝对第3页2、函数概念设x和y是同一改变过程中两个变量，假如对于变量x每一个允许取值，变量y按照一定规律总有一个确定值与之对应，则称变量x是变量y函数，变量x称为自变量，y又称为因变量，记为：y=f(x)值 域：全部函数值集合称为函数值域定义域：自变量全部允许值集合称为函数 定义域，通惯用区间来表示第4页（二）函数几个特征1、单值性与多值性对于自变量每一个取值，函数y有唯一确定一个值与之对应，这么函数称为单值函数，不然称为多值函数。比如，圆是多值函数。是单值函数；函数第5页2、函数单调性比如：第6页3、函数奇偶性比如：比如：1.偶函数图形关于y轴对称，奇函数关于原点对称 2.判定函数奇偶性首先看其定义域关于原点对称否 注意第7页4、函数周期性第8页5、函数有界性如：如：第9页（三）复合函数类似地，能够定义多于两重复合关系复合函数第10页复合函数求解难点：合成与分解第11页（四）初等函数1、基本初等函数以上六类函数称为基本初等函数.第12页A.常函数 yOx第13页B.幂函数yOx1第14页 21yOxB.幂函数 yxO第15页oxC.指数函数第16页D.对数函数xay=xO第17页E.三角函数y1o-1y1o-1第18页E.三角函数第19页E.三角函数第20页F.反三角函数第21页F.反三角函数第22页2、初等函数比如：是初等函数。由基本初等函数经过有限次四则运算以及函数复合所得到仅用一个解析式表示函数，称为初等函数。第23页注意 分段函数：有些函数，对于其定义域内自变量不一样值，不能用一个统一解析式表示，而要用两个或 两个以上式子表示，这类函数称为分段函数。分段函数是一个函数，而不是两个或几个函数分段函数是初等函数吗？问题第24页二、极 限（一）极限概念第25页yxO 1、x时函数极限第26页x时函数极限定义第27页说明第28页yxO 2、xx0时函数极限第29页xx0时函数极限定义第30页说明yxO 第31页第32页说明第33页也能够从函数图像上明确地看出该函数极限不存在 xy第34页（二）极限四则运算第35页说明第36页第37页例7 求解：第38页例8 求 时解：因为分母极限为零，所以不能直接用定理1.1结论。注意到分子分母都有公因式，能够约去这个不为零公因式，而所以第39页例9 求即极限都不存在，所以，不能直接用定理1.1结论。将分子分母都除以解：当，得时，分子分母都趋近于无穷大，第40页例10 求，得解：将分之分母同除以因为所以 第41页例11 求 解：当时，、极限都不存在，所以不能直接用定理1.1来求解。将被求极限函数作恒等变形：第42页解：分段函数分段点左、右函数解析表示式不同，所以在求分段函数分段点极限时候一定要考虑其左、右极限。例12 设为常数)，求(值，使存在。第43页第44页（三）两个主要极限（1）（2）或其中是一个无理数。第45页例13 求(为非零常数)。第46页例14 求 解：第47页例15 求 第48页为不为零常数)。例16 求(第49页例17 求 解：第50页（四）无穷小量与无穷大量1、定义第51页第52页第53页第54页第55页第56页3、无穷小比较与阶第57页无穷小比较与阶第58页第59页三、函数连续性微积分学所研究函数主要是连续函数。我们现在要研究就是用极限来描述函数连续定义。第60页当我们把函数y=f(x)用它图像来表示时，就会发觉有函数曲线大部分是连续不停，只是在一些地方是断开。比如：-110yx函数在x=0是断开，在-1，1其它地方是连续不停。第61页所以，我们能够认为，假如一个函数图像在某一区间上是连续不停，那么就称这个函数在这一区间上是连续。为了准确地描述函数连续概念，先引进函数增量概念。又如：在实数域内都是连续不停。第62页1、函数增量说明（一）函数连续性第63页第64页第65页2、函数连续性概念第66页第67页因为 总成立，所以有：上式表明：连续函数求极限时，极限符号能够和函数符号交换次序。第68页第69页第70页第71页第72页（式3）（式1）（式2）第73页若函数 在区间 内每一点都连续，则称 在开区间 内连续。若函数 在区间 内每一点都连续，且在区间左端点右连续（）右端点左连续（），则称 在闭区间 上连续。几何意义：区间上连续函数为一条没有任何间断曲线。第74页第75页第76页（三）函数间断点第77页第78页第一类间断点包含三种情况：以上两种情况称为可去间断点(令 )第79页第二类间断点：除第一类间断点之外间断点；或者说左右极限中最少有一个不存在间断点。包含无穷间断点和振荡间断点。第80页第81页第82页第83页第84页（四）初等函数连续性第85页第86页第87页比如：第88页（五）闭区间上连续函数性质几何意义：一段连续曲线必有最高点和最低点，对应地有最大值和最小值。第89页第90页第91页尤其，有以下推论（根存在定理）第92页最少有一个根第93页第94页