太原理工大学微积分省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx
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1、第三节第三节 二重积分计算二重积分计算一一 二重积分几何意义二重积分几何意义二二 直角坐标系下二重积分计算直角坐标系下二重积分计算三三 极坐标系下二重积分计算极坐标系下二重积分计算四四 小结小结第1页 按定义,二重积分是一个特定乘积和式极限按定义,二重积分是一个特定乘积和式极限 然而,用定义来计算二重积分,普通然而,用定义来计算二重积分,普通情况下是非常麻烦。情况下是非常麻烦。那么,有没有简便计算方法呢那么,有没有简便计算方法呢?这这就是我们今天所要研究课题。下面介绍就是我们今天所要研究课题。下面介绍:一、一、二重积分几何意义二重积分几何意义第2页解:解:对区域对区域 D 进行网状分割(如图)
2、进行网状分割(如图)1.1.曲顶柱体体积曲顶柱体体积 一曲顶柱体其顶为曲面一曲顶柱体其顶为曲面 底面为平面区域底面为平面区域 D,求此曲顶柱体体积求此曲顶柱体体积。D第3页2)近似近似在每个小区域在每个小区域内任取一点内任取一点则每个小曲顶柱体体积近似为:则每个小曲顶柱体体积近似为:3)求和求和 全部小区域对应小曲顶柱体体积全部小区域对应小曲顶柱体体积 之和为:之和为:4)取极限取极限其中其中第4页曲顶柱体体积曲顶柱体体积第5页(其中(其中xoy面上方曲顶柱体体积取正,面上方曲顶柱体体积取正,xoy面下方曲顶柱体体积取负。)面下方曲顶柱体体积取负。)3)假如)假如则二重积分则二重积分解释为曲顶
3、柱体体积代数和。解释为曲顶柱体体积代数和。2)假如)假如则二重积分则二重积分解释解释为曲顶柱体体积负值。为曲顶柱体体积负值。为曲顶柱体体积。为曲顶柱体体积。1)假如)假如则二重积分则二重积分解释解释2.2.二重积分几何意义二重积分几何意义第6页二、直角坐标系下二重积分计算二、直角坐标系下二重积分计算二重积分仅与被积函数及积分区域相关二重积分仅与被积函数及积分区域相关,为此为此,先介绍:先介绍:1.1.积分域积分域 D(1 1)X 型区域型区域假如积分区域为:假如积分区域为:第7页a.平行于平行于 y 轴且穿过区域直轴且穿过区域直线与线与 区域边界交点不多于两个。区域边界交点不多于两个。X 型区
4、域特点型区域特点第8页(2 2)Y 型区域型区域a.平行于平行于 x 轴且穿过区域直线与区域轴且穿过区域直线与区域 边界交点不多于两个。边界交点不多于两个。假如积分区域为:假如积分区域为:Y 型区域特点型区域特点第9页2.2.X型区域下二重积分计算型区域下二重积分计算 (曲顶柱体体积曲顶柱体体积)则则由几何意义由几何意义其中其中此为平行截面面积为已知立体体积此为平行截面面积为已知立体体积。截面为曲边梯形面积截面为曲边梯形面积 为:为:第10页yzo第11页若若 (x,y)0 依然适用。依然适用。2 2)积分次序)积分次序 X型区域型区域,先先Y 后后 X;3 3)积分限确定法)积分限确定法 域
5、中一线插域中一线插,内限定上下,内限定上下,域边两线夹,外限依靠域边两线夹,外限依靠它。它。为方便,上式也常记为:为方便,上式也常记为:1 1)上式说明)上式说明 二重积分可化为二次二重积分可化为二次 定定积分计算;积分计算;第12页3.3.Y-型域下二重积分计算型域下二重积分计算同理,同理,Y型区域也为平行截面面积型区域也为平行截面面积 为已知立体体积。为已知立体体积。于是于是第13页 1)积分次序)积分次序 Y-型区域型区域,先先 X 后后 Y;2)积分限确定法)积分限确定法 “域中一线插域中一线插”,”,须用平行于须用平行于X 轴轴 射线穿插积分区域射线穿插积分区域 。第14页注意注意:
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