椭圆及其标准方程教案.doc

选修1-1§2.1.1《椭圆及其标准方程》教材分析
圆锥曲线是高中数学中十分重要的内容，它的许多几何性质在平常生活、生产和科学技术中都有着广泛的应用。本节是《圆锥曲线与方程》的第一节课，重要学习椭圆的定义和标准方程。它是本章也是整个解析几何部分的重要基础知识。
第一，在教材结构上，本节内容起到一个承上启下的重要作用。前面学生用坐标法研究了直线和圆，而对椭圆概念与方程的研究是坐标法的进一步，也合用于对双曲线和抛物线的学习，更是解决圆锥曲线问题的一种有效方法。
第二，对椭圆定义与方程的研究，将曲线与方程相应起来，体现了函数与方程、数与形结合的重要思想。而这种思想，将贯穿于整个高中阶段的数学学习。
第三，对椭圆定义与方程的探究过程，使学生经历了观测、猜测、实验、推理、交流、反思等理性思维过程，培养了学生的思维方式，加强了运算能力，提高了他们提出问题、分析问题、解决问题的能力，为后续知识的学习奠定了基础。
教学设计 凉山民中数学组：陈肖林
教学课题
椭圆及其标准方程
课程类型
新知课

学情分析
1.在学习本节内容以前，学生已经学习了直线和圆的方程，初步了解了用坐标法求曲线的方程及其基本环节，经历了动手实验、观测分析、归纳概括、建立模型的基本过程，这为进一步学习椭圆及其标准方程奠定了基础。
2.在本节课的学习过程中，椭圆定义的归纳概括、方程的推导化简对学生是一个考验，加之高2023级14班是“二层次”的文科班，也许会有一部分学生探究学习受阻，教师要适时加以点拨指导。
教学重点
感受建立曲线方程的基本过程，掌握椭圆的标准方程及其推导方法。
教学难点
椭圆标准方程的推导。
教学目的
知识与技能：理解椭圆标准方程的推导；掌握椭圆的标准方程；会根据条件求椭圆的标准方程，会根据椭圆的标准方程求焦点坐标.
过程与方法：让学生经历椭圆标准方程的推导过程，进一步掌握求曲线方程的一般方法，体会数形结合等数学思想；培养学生运用类比、联想等方法提出问题.
情感、态度与价值观：通过具体的情境感知研究椭圆标准方程的必要性和实际意义；体会数学的对称美、简洁美，培养学生的审美情趣，形成学习数学知识的积极态度.
教学方法
启发探索法，讲练结合法
教学手段
用PPT及几何画板制作的多媒体课件教学
教学过程设计
★教学过程★

教学内容
师生互动
设计意图
（一）创设情境，复习引入
由嫦娥二号绕月飞行的运动轨迹及现实生活中的多幅椭圆的图片引入。（行星运营、国家大剧院等）

（二）动手实验，归纳概念

椭圆的定义: 平面上到两个定点F1, F2的距离之和为固定值(大于 |F1F2|)的点的轨迹叫作椭圆.

注意:椭圆定义中容易漏掉的三处地方：
（1）必须在平面内;
（2）两个定点---两点间距离拟定;
（3）绳长---轨迹上任意点到两定点距离和拟定

总结：当大于时 椭圆
当等于时 线段
当小于时 不存在
问：自然界处处存在着椭圆,我们如何用自己的双手画出椭圆呢?
（先请学生上黑板画出椭圆，介绍课前数学实验中的方法并运用几何画板演示作椭圆）
提出问题：“在画图的过程中，哪些量发生了变化，哪些量没有变？”
让学生根据自己的实验，观测回答：“两定点间的距离没变，绳子的长度没变，点在运动。”
再问：“你们能根据刚才画椭圆的过程，类比圆的定义，归纳概括出椭圆的定义吗？”
先让学生独立思考一分钟，然后同桌交流，再进行全班交流，逐步完善，概括出椭圆的定义。
引导学生对定义中的关键词进行分析理解
问：“为什么‘固定值’要大于两定点间的距离呢？等于、小于又如何呢？”
（学生动手验证并发表自己意见，我再用课件演示）
借助多媒体生动、直观的演示，使学生明确学习椭圆的重要性和必要性。同时，激发他们探求实际问题的爱好，使他们积极、积极地参与到教学中来，为后面的学习做好准备。
以活动为载体，让学生在“做”中学数学，通过画椭圆，经历知识的形成过程，积累感性经验。
先回顾圆方程推导的环节，给出求动点轨迹方程的一般环节：
1、建立适当的坐标系，用有序实数对（x,y）表达曲线上任意一点M的坐标;
2、写出适合条件 P（M） ;
3、用坐标表达条件P（M），列出方程 ;
4、化方程为最简形式。
探讨几种建系方案。最后采用以下两种方案
方案一：以两定点的连线为X轴，其垂直平分线为Y轴；
方案二：以两定点的连线为Y轴，其垂直平分线为X轴。
(原则：尽也许使方程的形式简朴、运算简朴)
(一般运用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的直线作为坐标轴.)
体现“对称美”“简洁美”的特点
♦ 写出动点P满足的条件
设P (x, y)是椭圆上任意一点，
椭圆的焦距|F1F2|=2c(c>0)，
则F1、F2的坐标分别是(c,0)、(c,0) .
P与F1和F2的距离的和为固定值2a(2a>2c)
启发学生根据椭圆的定义，写出动点P满足的条件，即：

由于
得到
通过观测，学生容易得出结论，并理解了换元的合理性。这样不仅使方程具有了对称性，并且使字母b也有了明确的几何意义。从而将方程简化为：
（a>b>0)
我们称它为椭圆的标准方程。
♦总结椭圆的标准方程的特点
（1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1
（2）椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=b2+c2。
（3）由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值。
（4）椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大，则焦点在哪一个轴上。
通过表格的形式，让学生对两种方程进行对比分析，强化对椭圆方程的理解。
（附表如下）
（三）启发引导，推导方程
问：怎么推导椭圆的标准方程呢？
♦ 探讨建立平面直角坐标系的方案
启发学生类比求圆的方程的建系方法，建立适当的直角坐标系。

问：下面如何化简？
一般来说：
①方程中只有一个二次根式时，需将它单独留在方程的一边，把其它各项移到另一边，平方一次；
②方程中有两个二次根式时，需将它们分散，放在方程的两边，使其中一边只有一个根式，平方两次。
待大多数学生都有了结果：
之后，指出：这个方程还不够简洁对称，让学生观测图形：
问：“你们能从图中找出表达a、c、的线段吗？”
问：刚才我们得到了焦点在x轴上的椭圆方程，如何推导焦点在y轴上的椭圆的标准方程呢？
启发：“除了用刚才的方法 推导一遍外，尚有别的方法吗？”
学生通过观测思考会发现，只要互换坐标轴就可以了，从而得到了焦点在Y轴上的椭圆的标准方程：
（a>b>0)

带根式的方程的化简，学生会感到困难,这也是教学的一个难点。教学时，要注意说明这类方程的化简方法。

在师生互动的过程中，让学生体会数学的严谨，使他们的观测能力、运算能力、推理能力得到训练，渗透数形结合的数学思想。并感受椭圆方程、图形的对称美，获得成功的喜悦！
通过填表，进行对比总结，不仅使学生加深了对椭圆定义和标准方程的理解，有助于教学目的的实现

分母哪个大，焦点就在哪个轴上
平面内到两个定点F1，F2的距离的和等
于常数（大于F1F2）的点的轨迹
标准方程
不 同 点
相 同 点
图 形
焦点坐标
定 义
a、b、c 的关系
焦点位置的判断

x
y

F1
F2
P
O

x
y

F1
F2
P
O

（四）、典型例题
例1.已知椭圆方程为则(1)a= 5 , b= 4 ,
c= 3 ;
(2)焦点在 x 轴上,其焦点坐标为 (-3,0)、(3,0), 焦距为 6 。
(3)若椭圆方程为 ,其焦点坐标为 (0,3)、(0,-3)
(4)已知椭圆上一点 P到左焦点F1的距离等于6，则点P到右焦点的距离是 4 ；
(5)若CD为过左焦点F1的弦，则∆CF1F2的周长为 16 ，
∆F2CD的周为 20 。
例2 求两个焦点的坐标分别是 (-4，0)、(4，0)，椭圆上一点 P到两焦点距离的和等于10椭圆的标准方程 ；
解：由已知可设椭圆的标准方程为：

故所求椭圆的标准方程为：

例1反馈练习
1、口答：

则a＝ ，b＝ ；

则a＝ ，b＝ ；
2、求以下椭圆的a、b、c和焦点坐标

例2反馈练习
已知 B、C 是两个定点，|BC| = 6，且△ABC的周长等于16，求顶点A的轨迹方程 .

有层次的练习题有助于学生更好的纯熟运用椭圆的标准方程解题。

（五）、课堂小结：
小结1：绳长记为2a，两定点间的距离记为2c(c≠0).
（1）当2a>2c时，轨迹是 ；
（2）当2a=2c时，轨迹是 ；
（3）当2a<2c时，
小结2：拟定椭圆的方程涉及“定位”和“定量”两个方面．“定位”是指拟定与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，拟定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式；“定量”则是指拟定焦点的具体位置，即求 a、b 的大小 .常用待定系数法．

老师和同学们一起小结本节课的内容
巩固所学知识，培养学生自学能力和归纳总结能力．
（六）、作业布置：
1、p42习题2.1A组2、3
2、求“嫦娥奔月”的运营轨迹
3、预习教材p34~35

（七）、板书设计：
§2.1.1椭圆定义与标准方程
一、引入：
实验

二、椭圆的定义：
1、定义
2、标准方程：

三、填表

四、例题讲解及反馈练习

五、小结

六、 布置
作业

(0,3)、(0,-3)
x
6
(-3,0)、(3,0)
3
4
5