多变数函数的微分学偏导数定义定义极限值市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx
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1、第四章多變數函數微分學4.1偏導數定義定義4.1.1極限值1第1页定理4.1.1極限值基本定理(1)極限值唯一性:若存在,則其值必為唯一。(2)若且(與為常數),則且為常數且2第2页(3)若為多項式函數,則(4)若為有理函數,則其中與均為多項式函數且。(5)若存在且點以及點,則反之亦然。3第3页普通而言,我們能够利用下面所提供方法判斷極限值是否存在:若點及點,則(1)若且,而且,則不存在。(2)若,則不存在。(3)若,則不存在。4第4页例1.試求以下各題極限值。(1)若函數但,試決定。(2)若函數但,試決定。(3)若函數但,試決定。(4)若函數但,試決定。5第5页解:(1)我們考慮通過原點之直
2、線上點,則若,則我們有若,則我們有得知不存在6第6页(2)我們考慮通過原點之直線上點,則7第7页(3)我們考慮通過原點之直線上點,則若,則我們有若,則我們有得知不存在8第8页(4)我們考慮通過原點之直線上點,則若,則我們有若,則我們有得知不存在9第9页定義4.1.2連續函數在點連續在上面定義裡,我們有明確數學定義,即此時必須滿足以下三個條件:(1)函數值存在(即點必定在函數定義域內)。(2)極限值存在。(3)(即“極限值等於函數值”)。當然,倘若函數在其定義域中任意點均連續,則稱函數在中為連續函數。10第10页定理4.1.2連續基本性質(1)倘若與在點均為連續函數,則與與以及(為常數且)在點均
3、為連續函數。(2)倘若為單變函數且為多變數函數,使得在點連續且在連續,則合成函數亦在點連續。(3)多變數多項式函數與多變數有理函數在它們定義域內均為連續函數。11第11页例3.試討論以下各函數連續性。(1)若且(2)12第12页解:(1)點定義域又考慮通過原點之直線上點,則在點之外均為連續。13第13页(2)點定義域,且又在任何實數點均為連續。14第14页4.2偏導數與微分定義.2.1第一階偏導數假設函數被定義在點某個鄰域內,則函數在點對第一階偏導數為而函數在點對第一階偏導數為15第15页定義4.2.2第一階偏導數假設函數定域義為,則函數對第一階偏導數為而函數對第一階偏導數為同理,函數對偏導數
4、為。事實上,偏導數還有其它通用符號:16第16页例1.試求以下各函數第一階偏導數。(1)解:(1)17第17页定理4.2.1倘若為包含兩個自變數函數,則與亦為包含兩個自變數函數,而且與第一階偏導數亦存在。定理.2.1裡四個函數稱為函數第二偏導數,其惯用符號為18第18页同理,多變數函數高階導數亦有其明確定義,比如倘若為包含三個自變數函數,則我們將有九個第二階導數以及二十七個第三階導數,其它情況依此類推,比如19第19页例2.若,試求,與解:20第20页定理4.2.2假設為包含兩個變數函數,倘若與在二度空間某開區域為連續,則;同理,倘若函數高階偏導數在某開區域為連續,則,同理,倘若高階偏導數為連
5、續函數,則我們有21第21页例3.若,若而且,試證明與均存在但不相等。證明:22第22页我們得證23第23页定義4.2.3可微分()假設為與函數且定義在點某個鄰域,倘若存在常數以及與函數與,使得對任意向量且而言,恒有(1)。(2)當。則稱函數在點為可微分。24第24页定義4.2.4微分假設為與函數且定義在點某個鄰域,倘若存在常數以及與,則對任意向量且而言,我們稱函數在點微分或全微分為所以,假設為與函數,而且其第一階偏導數與均存在,則函數全微分為25第25页例4.試求函數(即)在各定點與向量全微分。解:26第26页定理4.2.3倘若函數在點為可微分(differentiable),而且,則證明:
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