二项式定理复习课市公开课一等奖百校联赛获奖课件.pptx

复习课复习课-二项式定理及应用二项式定理及应用第1页关键点梳理关键点梳理1.1.二项式定理二项式定理 2.2.通项公式通项公式 1.3.21.3.2二项式定理二项式定理第2页3.3.二项式系数性质二项式系数性质（1 1）对称性：）对称性：（2 2）增减性与最大值：）增减性与最大值：当当n n是偶数时，是偶数时，中间一项中间一项 取得最大值取得最大值 .当当n n是奇数时，中间两项同时取得最大值，是奇数时，中间两项同时取得最大值，分别是分别是 和和 。（3 3）二项式系数和二项式系数和 =2 2n n.其中其中=第3页高考二项式定理三种题型高考二项式定理三种题型:二项式定理是高考主要内容之一。二项式定理是高考主要内容之一。高考要求是：掌握二项式定理和二项展高考要求是：掌握二项式定理和二项展开式性质，并能用它们计算和证实一些开式性质，并能用它们计算和证实一些简单问题。它在高考中总是以选择和填简单问题。它在高考中总是以选择和填空形式出现，分值为空形式出现，分值为5 5分。出现题型主分。出现题型主要有三类：要有三类：1 1、求二项展开式中指定项，如常数项、求二项展开式中指定项，如常数项、有理项、整式项、系数最大项等。有理项、整式项、系数最大项等。2 2、求某二项式系数。、求某二项式系数。3 3、求系数和、求系数和.第4页 解解 （1 1）通项公式为）通项公式为T Tr r+1+1=，第第6 6项为常数项，项为常数项，r r=5=5时，有时，有 =0 =0，即，即n n=10.=10.一、解答题一、解答题 1.已知在已知在 展开式中，第展开式中，第6项为常数项为常数项项.（1）求）求n；（2）求含）求含x2项系数；项系数；（3）求展开式中全部有理项）求展开式中全部有理项.第5页（2 2）令）令 =2,=2,得得r r=(=(n n-6)=2,-6)=2,所求系数为所求系数为 Z Z,0 0r10,10,rZ Z,令令 =k k(k kZ Z),),则则10-210-2r r=3=3k k，即，即r r=5-=5-k k.r rZ Z，k k应为偶数应为偶数.k k可取可取2,0,-22,0,-2，即，即r r可取可取2,5,8.2,5,8.第第3 3项，第项，第6 6项与第项与第9 9项为有理项，它们分别为项为有理项，它们分别为（3 3）依据通项公式，由题意得）依据通项公式，由题意得第6页题型一题型一 求展开式中特定项或特定项系数求展开式中特定项或特定项系数【例例1 1】在二项式】在二项式 展开式中，前三项展开式中，前三项系数成等差数列，求展开式中有理项和二项式系系数成等差数列，求展开式中有理项和二项式系数最大项数最大项.利用已知条件前三项系数成等差数利用已知条件前三项系数成等差数列求出列求出n n,再用通项公式求有理项再用通项公式求有理项.解解 二项展开式前三项系数分别是二项展开式前三项系数分别是1 1，n n（n n-1-1），），2 =1+2 =1+n n（n n-1-1），），解得解得n n=8=8或或n n=1=1（不合题意，舍去），（不合题意，舍去），思维启迪思维启迪第7页当当4-4-k kZ Z时，时，T Tk k+1+1为有理项，为有理项，00k k88且且k kZ Z,k k=0=0，4 4，8 8符合要求符合要求.故有理项有故有理项有3 3项，分别是项，分别是T T1 1=x x4 4，T T5 5=x x，T T9 9=x x-2-2.n n=8=8，展开式中共展开式中共9 9项，项，中间一项即第中间一项即第5 5项二项式系数最大且为项二项式系数最大且为T T5 5=x x.求二项展开式中指定项，普通是利用求二项展开式中指定项，普通是利用通项公式进行，化简通项公式后，令字母指数符通项公式进行，化简通项公式后，令字母指数符合要求（求常数项时，指数为零；求有理项时，指合要求（求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等），解出项数数为整数等），解出项数k k+1+1，代回通项公式即可，代回通项公式即可.探究提升探究提升第8页 解析解析 因为因为(1+(1+x x)6 6通项是通项是T Tr r+1+1=x xr r,令令r r=5=5得得T T6 6=x x5 5;令令r r=2=2得得T T3 3=x x2 2,所所以以（1-1-x x3 3）(1+(1+x x)6 6展展开开式式中中x x5 5系数为系数为 -=-9.-=-9.-9-9.在（在（1-x1-x3 3）(1+x)6(1+x)6展开式中，展开式中，x5x5系数为系数为 .第9页题型二题型二 求展开式中各项系数之和求展开式中各项系数之和【例例1 1】已知】已知(1-2x)(1-2x)7 7=a=a0 0+a+a1 1x+ax+a2 2x x2 2+a+a7 7x x7 7.求求:(1)a:(1)a1 1+a+a2 2+a+a7 7;(2)a (2)a1 1+a+a3 3+a+a5 5+a+a7 7;(3)a (3)a0 0+a+a2 2+a+a4 4+a+a6 6;(4)|a (4)|a0 0|+|a|+|a1 1|+|a|+|a2 2|+|a|+|a7 7|.|.解解:令令x=1,x=1,则则a a0 0+a+a1 1+a+a2 2+a+a3 3+a+a4 4+a+a5 5+a+a6 6+a+a7 7=-1 =-1 令令x=-1,x=-1,则则a a0 0-a-a1 1+a+a2 2-a-a3 3+a+a4 4-a-a5 5+a+a6 6-a-a7 7=3=37 7 第10页(1)a(1)a0 0=1,a=1,a1 1+a+a2 2+a+a3 3+a+a7 7=-2.=-2.(2)(-)2,(2)(-)2,得得a a1 1+a+a3 3+a+a5 5+a+a7 7=-1 094.=-1 094.(3)(+)2,(3)(+)2,得得 a a0 0+a+a2 2+a+a4 4+a+a6 6=1 093.=1 093.(4)(1-2x)(4)(1-2x)7 7展开式中展开式中,a,a0 0,a,a2 2,a,a4 4,a,a6 6都大于零都大于零,而而a a1 1,a,a3 3,a,a5 5,a,a7 7都小于零都小于零,|a|a0 0|+|a|+|a1 1|+|a|+|a2 2|+|a|+|a7 7|=(a =(a0 0+a+a2 2+a+a4 4+a+a6 6)-(a)-(a1 1+a+a3 3+a+a5 5+a+a7 7),),=1093-=1093-（-1094-1094）=2 187=2 187第11页 探探究究提提升升 本本题题采采取取是是“赋赋值值法法”，它它普普遍遍适适合合用用于于恒恒等等式式，是是一一个个主主要要方方法法，在在解解相相关关问问题题时时，经经常要用到这种方法常要用到这种方法.对对 形形 如如（axax+b b）n n、（axax2 2+bxbx+c c）m m （a a，b b，c cR R,m m,n nN N*）式子求其展开式各项系数之）式子求其展开式各项系数之 和，惯用赋值法，只需令和，惯用赋值法，只需令x x=1=1即可；对（即可；对（axax+byby）n n （a a，b bR R，n nN N*）式式子子求求其其展展开开式式各各项项系系数数之之和和，只需令只需令x x=y y=1=1即可即可.普普 通通 地地，若若 f f（x x）=a a0 0+a a1 1x x+a a2 2x x2 2+a an nx xn n，则则f f（x x）展展开开式式中中各各项项系系数数之之和和为为f f（1 1），奇奇数数项项系系数数之之和和为为a a0 0+a a2 2+a a4 4+=+=，偶偶数数项项系系数数之之和和为为a a1 1+a a3 3+a a5 5+=+=第12页知能迁移知能迁移2 2 设（设（2-x2-x）100100=a=a0 0+a+a1 1x+ax+a2 2x x2 2+a+a100100 x x100100,求求:(1)a:(1)a0 0;(2)a (2)a1 1+a+a3 3+a+a5 5+a+a9999;(3)(a (3)(a0 0+a+a2 2+a+a4 4+a+a100100)2 2-(a-(a1 1+a+a3 3+a+a9999)2 2;(4)|a (4)|a0 0|+|a|+|a1 1|+|a|+|a2 2|+|a|+|a100100|.|.解解:（1 1）方方法法一一:由由（2-2-x x）100100展展开开式式中中常常数数项项为为 22100100，得，得a a0 0=2=2100100.方法二方法二:令令x=0 x=0，则展开式可化为，则展开式可化为a a0 0=2=2100100.（2 2）令）令x=1,x=1,得得 a a0 0+a+a1 1+a+a2 2+a+a9999+a+a100100=(2-)=(2-)100100 令令x=-1,x=-1,得得 a a0 0-a-a1 1+a+a2 2-a-a3 3+a+a100100=(2+)=(2+)100 100 第13页联立联立得得a a1 1+a a3 3+a a9999=(3)(3)原式原式=（a a0 0+a a2 2+a a100100）+（a a1 1+a a3 3+a a9999）（a a0 0+a a2 2+a a100100）-（a a1 1+a a3 3+a a9999）=（a a0 0+a a1 1+a a2 2+a a100100）(a a0 0-a a1 1+a a2 2-a a3 3+a a9898-a a9999+a a100100)=(2-)=(2-)100100(2+)(2+)100100=1.=1.(4)(4)展开式中，展开式中，a a0 0,a a2 2,a a4 4,a a100100大于零，而大于零，而a a1 1,a a3 3,a a9999小于零，小于零，原式原式=a a0 0-a a1 1+a a2 2-a a3 3+a a9898-a a9999+a a100100=(2+)=(2+)100100.第14页知能迁移知能迁移1 1 已知已知 展开式二项式系数展开式二项式系数和比（和比（3 3x x-1-1）n n展开式二项式系数和大展开式二项式系数和大992.992.求求 展开式中，展开式中，（1 1）二项式系数最大项；）二项式系数最大项；（2 2）系数绝对值最大项）系数绝对值最大项.解解 由题意知，由题意知，2 22 2n n-2-2n n=992,=992,即即(2(2n n-32)(2-32)(2n n+31)=0,2+31)=0,2n n=32,=32,解得解得n n=5.=5.（1 1）由二项式系数性质知，）由二项式系数性质知，展开式中展开式中第第6 6项二项式系数最大，即项二项式系数最大，即 =252.=252.第15页（2 2）设第）设第r r+1+1项系数绝对值最大，项系数绝对值最大，r rZ Z，r r=3.=3.故系数绝对值最大是第故系数绝对值最大是第4 4项，项，T T4 4=-2=-27 7x x4 4=-15 360=-15 360 x x4 4.第16页方法与技巧方法与技巧1.1.通项公式最惯用，是解题基础通项公式最惯用，是解题基础.2.2.对三项或三项以上展开问题，应依据式子特对三项或三项以上展开问题，应依据式子特 点点，转转化化为为二二项项式式来来处处理理，转转化化方方法法通通常常为为集集项项、配配方方、因因式式分分解解，集集项项时时要要注注意意结结合合合合理理性性和和简简捷捷性性.3.3.求常数项、有理项和系数最大项时，要依据通求常数项、有理项和系数最大项时，要依据通 项项公公式式讨讨论论对对r r限限制制；求求有有理理项项时时要要注注意意到到指指数数及及项数整数性项数整数性.思想方法思想方法 感悟提升感悟提升第17页4.4.性性质质1 1是是组组合合数数公公式式 再再现现，性性质质2 2是是从从函函数数角角度度研研究究二二项项式式系系数数单单调调性性，性性质质3 3是是利利用用赋赋值值法法得出二项展开式中全部二项式系数和得出二项展开式中全部二项式系数和.5.5.因因为为二二项项式式定定理理中中字字母母可可取取任任意意数数或或式式，所所以以在在解解题题时时依依据据题题意意，给给字字母母赋赋值值，是是求求解解二二项项展展开开式式各各项系数和一个主要方法项系数和一个主要方法.6.6.二二项项式式定定理理表表达达了了二二项项式式正正整整数数幂幂展展开开式式指指数数、项项数数、二二项项式式系系数数等等方方面面内内在在联联络络，包包括括到到二二项项展展开开式式中中项项和和系系数数综综合合问问题题，只只需需利利用用通通项项公公式式和和二二项项式式系系数数性性质质对对条条件件进进行行逐逐一一分分析析，对对于于与与组组合合数数相相关关和和问问题题，赋赋值值法法是是惯惯用用且且主主要要方方法法，同同时时注注意意二二项式定理逆用项式定理逆用.第18页失误与防范1.要把“二项式系数和”与“各项系数和”，“奇（偶）数项系数和与奇（偶）次项系数和”严格地区分开来.2.根据通项公式时常用到根式与幂指数互化，学生易出错.3.通项公式是第r+1项而不是第r项.第19页一、选择题一、选择题1.1.（重庆理，重庆理，3 3）(x x2 2+)+)8 8展开式中展开式中x x4 4系系数是数是（）A.16 A.16B.70 B.70 C.560C.560D.1 120D.1 120 解析解析 设二项式展开式第设二项式展开式第r r+1+1项含有项含有x x4 4,则则T Tr r+1+1=(x x2 2)8-8-r r（）r r.16-2 16-2r r-r r=4,=4,r r=4.=4.x x4 4系数为系数为 2 24 4=1 120.=1 120.D定时检测定时检测第20页基础自测基础自测1.1.二二项项式式（a a+2+2b b）n n展展开开式式中中第第二二项项系系数数是是8 8，则则它它第第三项二项式系数为三项二项式系数为（）A.24 A.24B.18B.18 C.16 C.16 D.6D.6 解析解析 T T2 2=所以所以2 2n n=8=8，n n=4,=4,所以所以 =6.=6.D第21页2.2.在在 展开式中，展开式中，x x幂指数是整数项共幂指数是整数项共 有有（）A.3 A.3项项B.4B.4项项C.5C.5项项D.6D.6项项 解析解析 T Tr r+1+1=故当故当r r=0,6,12,18,24=0,6,12,18,24时，幂指数为整数，共时，幂指数为整数，共5 5项项.C第22页3.3.在在 展展开开式式中中，只只有有第第5 5项项二二项项式式系系数数最最大大，则展开式中常数项是则展开式中常数项是（）A.-7 A.-7B.7B.7 C.-28 C.-28D.28D.28 解析解析 只有第只有第5 5项二项式系数最大，则展开式共项二项式系数最大，则展开式共9 9项，即项，即n n=8=8，当当r r=6=6时为常数项，时为常数项，T T7 7=7.=7.B第23页解析解析 T Tk k+1+1=为常数项为常数项,k k=4=4且且 （-a a）4 4=1 120=1 120，a a4 4=16=16，a a=2,=2,当当a a=2=2时，令时，令x x=1,=1,得各项系数和为得各项系数和为(1-)(1-)8 8=1=1；当当a a=-2=-2时，令时，令x x=1=1，得各项系数和为，得各项系数和为(1+)(1+)8 8=3=38 8.答案答案 C C5.已知已知 展开式中常数项为展开式中常数项为1 120，其中实，其中实数数a为常数，则展开式中各项系数和为为常数，则展开式中各项系数和为（）A.28B.38 C.1或或38D.1或或28第24页二、填空题二、填空题7.7.已知已知n n为正偶数，且（为正偶数，且（x x2 2-）n n展开式中第展开式中第4 4项项二项式系数最大，则第二项式系数最大，则第4 4项系数是项系数是 .（用数（用数字作答）字作答）解析解析 n n为正偶数，且第为正偶数，且第4 4项二项式系数最大，故展开项二项式系数最大，故展开 式共式共7 7项，项，n n=6=6，第，第4 4项系数为项系数为第25页9.9.（全全国国理理，1313）（x x-y y）1010展展开开式式中中，x x7 7y y3 3系系数数与与x x3 3y y7 7系数之和等于系数之和等于 .解析解析 (x x-y y)1010展开式中含展开式中含x x7 7y y3 3项为项为 x x10-310-3y y3 3 (-1)(-1)3 3=-=-x x7 7y y3 3,含含x x3 3y y7 7项为项为 x x10-710-7y y7 7(-1)(-1)7 7=由由 =120 =120知，知，x x7 7y y3 3与与x x3 3y y7 7系数之和为系数之和为-240.-240.-240-240第26页4.4.在在 展开式中，常数项为展开式中，常数项为1515，则，则n n一个值一个值 能够是能够是（）A.3 A.3B.4B.4C.5C.5D.6D.6 解析解析 通项通项T Tr r+1+1=常数项是常数项是1515，则，则2 2n n=3=3r r,且且 =15 =15，验证，验证n n=6=6时，时，r r=4=4合题意合题意.D第27页2.2.（浙浙江江理理，4 4）在在二二项项式式 展展开开式式中中，含含x x4 4项系数是项系数是（）A.-10 A.-10B.10B.10 C.-5 D.5 C.-5 D.5 解析解析 展开式通项为展开式通项为 令令10-310-3r r=4,=4,得得r r=2,=2,x x4 4项系数为项系数为 =10.=10.B第28页 余数是余数是1 1，所以是所以是星期六星期六练习练习1、今天是星期五，那么今天是星期五，那么 天后这天后这一天是星期几？一天是星期几？第29页作业：作业：1.书本书本 P35-36 习题习题 10，2.课课练课课练 第第12，13课时课时第30页