信号与系统教案SJ培训课件省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第2-1页电子教案电子教案第二章第二章 连续系统时域分析连续系统时域分析2.1 LTI2.1 LTI连续系统响应连续系统响应 一、微分方程经典解一、微分方程经典解 二、关于二、关于0-0-和和0+0+初始值初始值 三、零输入响应和零状态响应三、零输入响应和零状态响应2.2 2.2 冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应 一、冲激响应一、冲激响应 二、阶跃响应二、阶跃响应2.3 2.3 卷积积分卷积积分 一、信号时域分解与卷积一、信号时域分解与卷积 二、卷积图解二、卷积图解2.4 2.4 卷积积分性质卷积积分性质 一、卷积代数一、卷积代数 二、奇异函数卷积特征二、奇异函数卷积特征 三、卷积微积分性质三、卷积微积分性质 四、卷积时移特征四、卷积时移特征点击目录点击目录 ，进入相关章节，进入相关章节第1页信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第2-2页电子教案电子教案 时域分析方法时域分析方法:不包括任何变换，直接求解不包括任何变换，直接求解系统微分、积分方程式，这种方法比较直观，物系统微分、积分方程式，这种方法比较直观，物理概念比较清楚，是学习各种变换域方法基础。理概念比较清楚，是学习各种变换域方法基础。本课程中我们主要讨论本课程中我们主要讨论输入、输出描述法输入、输出描述法。系统数学模型时域表示系统数学模型时域表示第2页信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第2-3页电子教案电子教案经经典典法法:前前面面电电路路分分析析课课里里已已经经讨讨论论过过，但但与与(t)相关问题有待深入处理相关问题有待深入处理 h(t)；卷卷积积积积分分法法:任任意意激激励励下下零零状状态态响响应应可可经经过过冲冲激响应来求。激响应来求。(新方法新方法)系统分析过程系统分析过程第3页信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第2-4页电子教案电子教案本章主要内容：本章主要内容：线性系统完全响应求解；冲激响应h(t)求解；卷积图讲解明；卷积性质；零状态响应：第4页信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第2-5页电子教案电子教案 LTI连续系统时域分析，归结为：连续系统时域分析，归结为：建立并求解线性建立并求解线性微分方程微分方程。因为在其分析过程包括函数变量均为时间因为在其分析过程包括函数变量均为时间t，故称，故称为为时域分析法时域分析法。这种方法比较直观，物理概念清楚，。这种方法比较直观，物理概念清楚，是学习各种变换域分析法基础。是学习各种变换域分析法基础。第二章第二章 连续系统时域分析连续系统时域分析2.1 LTI2.1 LTI连续系统响应连续系统响应2.1 LTI2.1 LTI连续系统响应连续系统响应一、微分方程经典解一、微分方程经典解y(n)(t)+an-1y(n-1)(t)+a1y(1)(t)+a0y(t)=bmf(m)(t)+bm-1f(m-1)(t)+b1f(1)(t)+b0f(t)第5页信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第2-6页电子教案电子教案 我们普通将激励信号加入时刻定义为我们普通将激励信号加入时刻定义为t=0，响应为，响应为 时方程解，初始条件时方程解，初始条件齐次解：齐次解：由特征方程由特征方程求出特征根求出特征根写出齐次解形式写出齐次解形式注意重根情况处理方法。注意重根情况处理方法。特特 解：解：依据微分方程右端函数式形式，设含待定系依据微分方程右端函数式形式，设含待定系 数特解函数式数特解函数式代入原方程，比较系数代入原方程，比较系数 定出特解。定出特解。初始条件确实定初始条件确实定是此课程要处理问题。是此课程要处理问题。经典法全全 解：解：齐次解齐次解+特解，由特解，由初始条件初始条件定出齐次解定出齐次解 。2.1 LTI2.1 LTI连续系统响应连续系统响应经典法经典法 第6页信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第2-7页电子教案电子教案第7页信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第2-8页电子教案电子教案2.1 LTI2.1 LTI连续系统响应连续系统响应微分方程经典解：微分方程经典解：y(t)(完全解完全解)=yh(t)(齐次解齐次解)+yp(t)(特特解解）齐次解齐次解是齐次微分方程是齐次微分方程 y(n)+an-1y(n-1)+a1y(1)(t)+a0y(t)=0 解。解。yh(t)函数形式函数形式由上述微分方程由上述微分方程特征根特征根确定。确定。例例 描述某系统微分方程为描述某系统微分方程为 y”(t)+5y(t)+6y(t)=f(t)求（求（1）当）当f(t)=2e-t，t0；y(0)=2，y(0)=-1时全解；时全解；（2）当）当f(t)=e-2t，t0；y(0)=1，y(0)=0时全解。时全解。特解特解函数形式与激励函数形式相关。函数形式与激励函数形式相关。P43表表2-1、2-2齐次解齐次解函数形式仅与系统本身特征相关，而与激励函数形式仅与系统本身特征相关，而与激励f(t)函函数形式无关，称为系统数形式无关，称为系统固有响应固有响应或或自由响应自由响应；特解特解函数形式由激励确定，称为函数形式由激励确定，称为强迫响应强迫响应。第8页信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第2-9页电子教案电子教案2.1 LTI2.1 LTI连续系统响应连续系统响应解解:(1)特征方程为特征方程为2+5+6=0 其特征根其特征根1=2，2=3。齐次解为。齐次解为 yh(t)=C1e 2t+C2e 3t由表由表2-2可知，当可知，当f(t)=2e t时，其特解可设为时，其特解可设为 yp(t)=Pe t将其代入微分方程得将其代入微分方程得 Pe t+5(Pe t)+6Pe t=2e t 解得解得 P=1于是特解为于是特解为 yp(t)=e t全解为：全解为：y(t)=yh(t)+yp(t)=C1e 2t+C2e 3t+e t其中其中 待定常数待定常数C1,C2由初始条件确定。由初始条件确定。y(0)=C1+C2+1=2，y(0)=2C1 3C2 1=1 解得解得 C1=3，C2=2 最终得全解最终得全解 y(t)=3e 2t 2e 3t+e t ,t0 第9页信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第2-10页电子教案电子教案（2）齐齐次次解解同同上上。当当激激励励f(t)=e2t时时，其其指指数数与与特特征征根之一相重。由表知：其特解为根之一相重。由表知：其特解为 yp(t)=(P1t+P0)e2t 代入微分方程可得代入微分方程可得 P1e-2t=e2t 所以所以 P1=1 但但P0不能求得。全解为不能求得。全解为 y(t)=C1e2t+C2e3t+te2t+P0e2t =(C1+P0)e2t+C2e3t+te2t将初始条件代入，得将初始条件代入，得 y(0)=(C1+P0)+C2=1，y(0)=2(C1+P0)3C2+1=0解得解得 C1+P0=2 ,C2=1 最终得微分方程全解为最终得微分方程全解为 y(t)=2e2t e3t+te2t ,t0上式第一项系数上式第一项系数C1+P0=2，不能区分，不能区分C1和和P0，因而也不，因而也不能区分自由响应和强迫响应。能区分自由响应和强迫响应。2.1 LTI2.1 LTI连续系统响应连续系统响应第10页信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第2-11页电子教案电子教案2.1 LTI2.1 LTI连续系统响应连续系统响应二、关于二、关于0-和和0+初始值初始值 若输入若输入f(t)是在是在t=0时接入系统，则确定待定系数时接入系统，则确定待定系数Ci时用时用t=0+时刻时刻初始值初始值，即，即y(j)(0+)(j=0,1,2，n-1)。而而y(j)(0+)包含了输入信号作用，不便于描述系统包含了输入信号作用，不便于描述系统历史信息。历史信息。在在t=0-时，激励还未接入，该时刻值时，激励还未接入，该时刻值y(j)(0-)反应反应了了系统历史情况系统历史情况而与激励无关。称这些值为而与激励无关。称这些值为初始状态初始状态或或起始值起始值。通常，对于详细系统，初始状态普通轻易求得。这通常，对于详细系统，初始状态普通轻易求得。这么为求解微分方程，就需要从已知初始状态么为求解微分方程，就需要从已知初始状态y(j)(0-)设法求得设法求得y(j)(0+)。以下举例说明。以下举例说明。第11页信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第2-12页电子教案电子教案例例：描述某系统微分方程为描述某系统微分方程为 y”(t)+3y(t)+2y(t)=2f(t)+6f(t)已知已知y(0-)=2，y(0-)=0，f(t)=(t)，求，求y(0+)和和y(0+)。解解：将输入将输入f(t)=(t)代入上述微分方程得代入上述微分方程得 y”(t)+3y(t)+2y(t)=2(t)+6(t)（1）利用利用系数匹配法系数匹配法分析：上式对于分析：上式对于t=0-也成立，在也成立，在0-t 0 第15页信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第2-16页电子教案电子教案2.1 LTI2.1 LTI连续系统响应连续系统响应（2）零状态响应零状态响应yf(t)满足满足 yf”(t)+3yf(t)+2yf(t)=2(t)+6(t)并有并有 yf(0-)=yf(0-)=0因为上式等号右端含有因为上式等号右端含有(t)，故，故yf”(t)含有含有(t)，从而，从而yf(t)跃变，即跃变，即yf(0+)yf(0-)，而，而yf(t)在在t=0连连续，即续，即yf(0+)=yf(0-)=0，积分得，积分得 yf(0+)-yf(0-)+3yf(0+)-yf(0-)+2 所以，所以，yf(0+)=2 yf(0-)=2 对对t0时，有时，有 yf”(t)+3yf(t)+2yf(t)=6不难求得其齐次解为不难求得其齐次解为Cf1e-t+Cf2e-2t，其特解为常数，其特解为常数3，于是有于是有 yf(t)=Cf1e-t+Cf2e-2t+3代入初始值求得代入初始值求得 yf(t)=4e-t+e-2t+3，t0 第16页信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第2-17页电子教案电子教案2.2 2.2 冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应2.2 2.2 冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应一、冲激响应一、冲激响应 由单位冲激函数由单位冲激函数(t)所引发所引发零状态响应零状态响应称为称为单位冲激单位冲激响应响应，简称冲激响应，记为，简称冲激响应，记为h(t)。h(t)=T0,(t)例例2.2-1 描述某系统微分方程为描述某系统微分方程为 y”(t)+5y(t)+6y(t)=f(t)求其冲激响应求其冲激响应h(t)。解解 依据依据h(t)定义定义 有有 h”(t)+5h(t)+6h(t)=(t)h(0-)=h(0-)=0 先求先求h(0+)和和h(0+)。第17页信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第2-18页电子教案电子教案2.2 2.2 冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应因方程右端有因方程右端有(t)，故利用，故利用冲激平衡法冲激平衡法。h”(t)中含中含(t)，h(t)含含(t)，h(0+)h(0-)，h(t)在在t=0连续，即连续，即h(0+)=h(0-)。积分得。积分得 h(0+)-h(0-)+5h(0+)-h(0-)+6 =1考虑考虑h(0+)=h(0-)，由上式可得，由上式可得 h(0+)=h(0-)=0 ,h(0+)=1+h(0-)=1对对t0时，有时，有 h”(t)+5h(t)+6h(t)=0故系统冲激响应为一齐次解。故系统冲激响应为一齐次解。微分方程特征根为微分方程特征根为-2，-3。故系统冲激响应为。故系统冲激响应为 h(t)=(C1e-2t+C2e-3t)(t)代入初始条件求得代入初始条件求得C1=1,C2=-1,所以所以 h(t)=(e-2t-e-3t)(t)第18页信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第2-19页电子教案电子教案2.2 2.2 冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应 例例2.2-2 描述某系统微分方程为描述某系统微分方程为 y”(t)+5y(t)+6y(t)=f”(t)+2f(t)+3f(t)求其冲激响应求其冲激响应h(t)。（不直接求解）（不直接求解）解解 依据依据h(t)定义定义 有有 h”(t)+5h(t)+6h(t)=”(t)+2(t)+3(t)(1)h(0-)=h(0-)=0 先求先求h(0+)和和h(0+)。由方程可知，由方程可知，h(t)中含中含(t)故令故令 h(t)=a(t)+p1(t)pi(t)为不含为不含(t)某函数某函数 h(t)=a(t)+b(t)+p2(t)h”(t)=a”(t)+b(t)+c(t)+p3(t)代入式代入式(1)，有，有第19页信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第2-20页电子教案电子教案2.2 2.2 冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应a”(t)+b(t)+c(t)+p3(t)+5a(t)+b(t)+p2(t)+6a(t)+p1(t)=”(t)+2(t)+3(t)整理得整理得a”(t)+(b+5a)(t)+(c+5b+6a)(t)+p3(t)+5 p2(t)+6 p1(t)=”(t)+2(t)+3(t)利用利用(t)系数匹配，得系数匹配，得 a=1，b=-3，c=12所以所以 h(t)=(t)+p1(t)（2）h(t)=(t)-3(t)+p2(t)（3）h”(t)=”(t)-3(t)+12(t)+p3(t)（4）对式对式(3)从从0-到到0+积分得积分得 h(0+)h(0-)=3对式对式(4)从从0-到到0+积分得积分得 h(0+)h(0-)=12故故 h(0+)=3，h(0+)=12第20页信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第2-21页电子教案电子教案2.2 2.2 冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应微分方程特征根为微分方程特征根为 2，3。故系统冲激响应为。故系统冲激响应为 h(t)=C1e2t+C2e3t，t0代入初始条件代入初始条件h(0+)=3，h(0+)=12求得求得C1=3，C2=6,所以所以 h(t)=3e2t 6e3t ,t 0结合式结合式(2)得得 h(t)=(t)+(3e2t 6e3t)(t)对对t0时，有时，有 h”(t)+6h(t)+5h(t)=0二、阶跃响应二、阶跃响应g(t)=T(t)，0因为因为(t)与与(t)为微积分关系，故为微积分关系，故第21页信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第2-22页电子教案电子教案2.3 2.3 卷积积分卷积积分2.3 2.3 卷积积分卷积积分一、信号时域分解与卷积积分一、信号时域分解与卷积积分1.信号时域分解信号时域分解(1)(1)预备知识预备知识问问 f1(t)=?p(t)直观看出直观看出第22页信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第2-23页电子教案电子教案2.3 2.3 卷积积分卷积积分(2)(2)任意信号分解任意信号分解“0”号脉冲高度号脉冲高度f(0),宽度为宽度为，用，用p(t)表示为表示为：f(0)p(t)“1”号脉冲高度号脉冲高度f(),宽宽度为度为，用，用p(t-)表示为：表示为：f()p(t-)“-1”号脉冲高度号脉冲高度f(-)、宽度为、宽度为，用，用p(t+)表示表示为为：f(-)p(t+)第23页信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第2-24页电子教案电子教案2.3 2.3 卷积积分卷积积分2.任意任意信号作用下零状态响应信号作用下零状态响应yf(t)f(t)依据依据h(t)定义：定义：(t)h(t)由时不变性：由时不变性：(t-)h(t-)f()(t-)由齐次性：由齐次性：f()h(t-)由叠加性：由叠加性：f(t)yf(t)卷积积分卷积积分第24页信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第2-25页电子教案电子教案2.3 2.3 卷积积分卷积积分3.卷积积分定义卷积积分定义已知定义在区间（已知定义在区间（，）上两个函数）上两个函数f1(t)和和f2(t)，则定义积分，则定义积分 为为f1(t)与与f2(t)卷积积分卷积积分，简称，简称卷积卷积；记为；记为 f(t)=f1(t)*f2(t)注意注意：积分是在虚设变量：积分是在虚设变量下进行，下进行，为积分变量，为积分变量，t为参变量。结果仍为为参变量。结果仍为t 函数。函数。第25页信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第2-26页电子教案电子教案2.3 2.3 卷积积分卷积积分二、卷积图解法二、卷积图解法卷积过程可分解为卷积过程可分解为四步四步：（1）变量置换变量置换：t换为换为得得 f1()，f2()（2）反转平移反转平移：由：由f2()反转反转 f2()右移右移t f2(t-)（3）乘积乘积：f1()f2(t-)（4）积分积分：从从 到到对乘积项积分。对乘积项积分。注意：注意：t为参变量。为参变量。下面举例说明。下面举例说明。第26页信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第2-27页电子教案电子教案2.3 2.3 卷积积分卷积积分例f(t),h(t)如图所表示，求yf(t)=h(t)*f(t)。解 采取图形卷积。f(t-)f()反折反折f(-)平移平移t t 0时时,f(t-)向左移向左移f(t-)h()=0，故故 yf(t)=0 0t 1 时时,f(t-)向右移向右移 1t 2时时 3t 时时f(t-)h()=0，故故 yf(t)=0h(t)函数形式复杂函数形式复杂 换元为换元为h()。f(t)换元换元 f()2t 3 时时0第27页信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第2-28页电子教案电子教案2.3 2.3 卷积积分卷积积分图解法图解法普通比较繁琐，但普通比较繁琐，但若只求某一时刻卷积值时若只求某一时刻卷积值时还是比较方便。还是比较方便。确定积分确定积分上下限是关键。上下限是关键。例例：f1(t)、f2(t)如图所表示，如图所表示，已知已知f(t)=f2(t)*f1(t)，求，求f(2)=？f1(-)f1(2-)解解：（1）换元）换元（2）f1()得得f1()（3）f1()右移右移2得得f1(2)（4）f1(2)乘乘f2()（5）积分，得）积分，得f(2)=0（面积为（面积为0）第28页信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第2-29页电子教案电子教案2.4 2.4 卷积积分性质卷积积分性质2.4 2.4 卷积积分性质卷积积分性质 卷积积分是一个数学运算，它有许多主要性质（或卷积积分是一个数学运算，它有许多主要性质（或运算规则），灵活地利用它们能简化卷积运算。下面讨运算规则），灵活地利用它们能简化卷积运算。下面讨论均设卷积积分是收敛（或存在）。论均设卷积积分是收敛（或存在）。一、卷积代数一、卷积代数满足乘法三律：满足乘法三律：1.交换律交换律：f1(t)*f2(t)=f2(t)*f1(t)2.分配律分配律：f1(t)*f2(t)+f3(t)=f1(t)*f2(t)+f1(t)*f3(t)3.结合律结合律：f1(t)*f2(t)*f3(t)=f1(t)*f2(t)*f3(t)第29页信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第2-30页电子教案电子教案2.4 2.4 卷积积分性质卷积积分性质二、奇异函数卷积特征二、奇异函数卷积特征1.f(t)*(t)=(t)*f(t)=f(t)证：证：f(t)*(t t0)=f(t t0)2.f(t)*(t)=f(t)证：证：f(t)*(n)(t)=f(n)(t)3.f(t)*(t)(t)*(t)=t(t)第30页信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第2-31页电子教案电子教案2.4 2.4 卷积积分性质卷积积分性质三、卷积微积分性质三、卷积微积分性质1.证：上式证：上式=(n)(t)*f1(t)*f2(t)=(n)(t)*f1(t)*f2(t)=f1(n)(t)*f2(t)2.证：上式证：上式=(t)*f1(t)*f2(t)=(t)*f1(t)*f2(t)=f1(1)(t)*f2(t)3.在在f1()=0或或f2(1)()=0前提下，前提下，f1(t)*f2(t)=f1(t)*f2(1)(t)第31页信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第2-32页电子教案电子教案2.4 2.4 卷积积分性质卷积积分性质例例1：f1(t)=1，f2(t)=et(t)，求求f1(t)*f2(t)解解：通常复杂函数放前面，代入定义式得：通常复杂函数放前面，代入定义式得 f2(t)*f1(t)=注意：套用注意：套用 f1(t)*f2(t)=f1(t)*f2(1)(t)=0*f2(1)(t)=0 显然是错误显然是错误。例例2：f1(t)如图如图,f2(t)=et(t)，求，求f1(t)*f2(t)解法一解法一：f1(t)*f2(t)=f1(t)*f2(1)(t)f1(t)=(t)(t 2)f1(t)*f2(t)=(1-et)(t)1-e(t-2)(t-2)第32页信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第2-33页电子教案电子教案2.4 2.4 卷积积分性质卷积积分性质解解：f1(t)=(t)(t 2)f1(t)*f2(t)=(t)*f2(t)(t 2)*f2(t)(t)*f2(t)=f2(-1)(t)四、卷积时移特征四、卷积时移特征若若 f(t)=f1(t)*f2(t)，则则 f1(t t1)*f2(t t2)=f1(t t1 t2)*f2(t)=f1(t)*f2(t t1 t2)=f(t t1 t2)前例前例：f1(t)如图如图,f2(t)=et(t)，求，求f1(t)*f2(t)利用时移特征，有利用时移特征，有(t 2)*f2(t)=f2(-1)(t 2)f1(t)*f2(t)=(1-et)(t)1-e(t-2)(t-2)第33页信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第2-34页电子教案电子教案2.4 2.4 卷积积分性质卷积积分性质例例：f1(t),f2(t)如图，求如图，求f1(t)*f2(t)解解：f1(t)=2(t)2(t 1)f2(t)=(t+1)(t 1)f1(t)*f2(t)=2 (t)*(t+1)2 (t)*(t 1)2(t 1)*(t+1)+2(t 1)*(t 1)因为因为(t)*(t)=t(t)据时移特征，有据时移特征，有f1(t)*f2(t)=2(t+1)(t+1)-2(t 1)(t 1)2 t(t)+2(t 2)(t 2)第34页信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第2-35页电子教案电子教案2.4 2.4 卷积积分性质卷积积分性质求卷积是本章重点与难点。求卷积是本章重点与难点。求解求解卷积方法卷积方法可归纳为：可归纳为：（1）利用定义式，直接进行积分利用定义式，直接进行积分。对于轻易求积分函。对于轻易求积分函数比较有效。如指数函数，多项式函数等。数比较有效。如指数函数，多项式函数等。（2）图解法图解法。尤其适合用于求某时刻点上卷积值。尤其适合用于求某时刻点上卷积值。（3）利用性质利用性质。比较灵活。比较灵活。三者经常结合起来使用。三者经常结合起来使用。第35页