定积分市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx

第五章第五章 定积分定积分(Definite Integrals)在一切理论成就中，未必再有什么象在一切理论成就中，未必再有什么象1717世纪下半世纪下半叶微积分发觉那样被看作人类精神最高胜利了。叶微积分发觉那样被看作人类精神最高胜利了。假如在某个地方我们看到人类精神纯粹和唯一假如在某个地方我们看到人类精神纯粹和唯一功劳，那也就是正是在这里。功劳，那也就是正是在这里。恩格斯恩格斯10/10/1第1页七七 思索题与判断题思索题与判断题二二 定积分定义定积分定义一一 问题提出问题提出四四 定积分几何意义定积分几何意义六六 小结、思想方法小结、思想方法第一节第一节 定积分概念定积分概念(Concept of Definite Integrals)三三 定积分存在两个充分条件定积分存在两个充分条件五五 定积分性质定积分性质 10/10/2第2页abxyo1 1 面积问题面积问题（Area Problem)一一 问题提出（问题提出（Introduction)我们有两个问题要处理，一个是给出面积定义，我们有两个问题要处理，一个是给出面积定义，一个是找出计算面积方法。微积分最大功劳在于，一个是找出计算面积方法。微积分最大功劳在于，用洁净利索方法处理了这一问题，并用非常有效方用洁净利索方法处理了这一问题，并用非常有效方法处理了相当复杂图形面积计算问题法处理了相当复杂图形面积计算问题。10/10/3第3页abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越靠近显然，小矩形越多，矩形总面积越靠近曲边梯形面积曲边梯形面积（四个小矩形）（四个小矩形）（九个小矩形）（九个小矩形）处理问题基本思绪处理问题基本思绪：变变“曲曲”为为“直直”10/10/4第4页曲边梯形如图所表曲边梯形如图所表示，示，10/10/5第5页曲边梯形面积近似值为曲边梯形面积近似值为曲边梯形面积为曲边梯形面积为10/10/6第6页例例2 2 旅程问题旅程问题（Distance Problem)把整段时间分割成若干小时间段，每小段把整段时间分割成若干小时间段，每小段上速度看作不变，求出各小段旅程再相加，便上速度看作不变，求出各小段旅程再相加，便得到旅程近似值，最终经过对时间无限细分过得到旅程近似值，最终经过对时间无限细分过程求得旅程准确值程求得旅程准确值对于匀速运动，我们有公式对于匀速运动，我们有公式旅程旅程=速度速度X X时间时间处理变速运动旅程基本思绪处理变速运动旅程基本思绪10/10/7第7页（1 1）分割）分割（3 3）作和）作和（4 4）取极限）取极限旅程准确值旅程准确值(2)(2)取点取点10/10/8第8页二二 定积分定义定积分定义 （Definition of Definite Integral)定义定义10/10/9第9页被积函数被积函数被积表示式被积表示式积分变量积分变量记为记为积分和积分和积分下限积分下限积分上限积分上限10/10/10第10页注：注：(1)利用极限利用极限“”说法，将定积分说法，将定积分 定义准确表述以下定义准确表述以下：10/10/11第11页10/10/12第12页（5）10/10/13第13页定理定理1 1定理定理2 2三三 定积分存在两个充分条件定积分存在两个充分条件注意注意 这两个定理仅仅是充分条件，不是必要。这两个定理仅仅是充分条件，不是必要。10/10/14第14页曲边梯形面积曲边梯形面积曲边梯形面积负曲边梯形面积负值值四四 定积分几何意义定积分几何意义abxyooyabx10/10/15第15页几何意义几何意义 xyo10/10/16第16页例例1 1 利用定义计算定积分利用定义计算定积分解解(1)分割分割（2）取点取点（3）求和求和10/10/17第17页（4）求极限求极限10/10/18第18页例例2x1y面积值为圆面积面积值为圆面积10/10/19第19页对定积分补充要求对定积分补充要求:注意注意 在下面性质中，假定定积分都存在，在下面性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限大小且不考虑积分上下限大小五五 定积分性质定积分性质 10/10/20第20页（此性质能够推广到有限多个函数作和情况）（此性质能够推广到有限多个函数作和情况）性质性质1 1性质性质2 2注意注意：不论不论 相对位置怎样相对位置怎样,上式总成立上式总成立.性质性质3 310/10/21第21页例例 若若（定积分对于积分区间含有可加性）（定积分对于积分区间含有可加性）则则10/10/22第22页证证性质性质4 4性质性质5 510/10/23第23页推论推论1 1证证（1）10/10/24第24页证证推论推论2 2（2）10/10/25第25页证证（此性质说明，由被积函数在积分区间上最（此性质说明，由被积函数在积分区间上最值，可用于预计积分值大致范围）值，可用于预计积分值大致范围）性质性质6 610/10/26第26页证证由闭区间上连续函数介值定理知由闭区间上连续函数介值定理知性质性质7 7（定积分中值定理）（定积分中值定理）积分中值公式积分中值公式10/10/27第27页使使即即积分中值公式几何解释：积分中值公式几何解释：10/10/28第28页解解令令于是由性质于是由性质5 5推论推论1 110/10/29第29页五五 小结、思想方法小结、思想方法 定积分实质定积分实质：和式极限：和式极限 定积分思想方法：定积分思想方法：求近似以直（不变）代曲（变）求近似以直（不变）代曲（变）取极限取极限取点、求和取点、求和积零为整积零为整分割分割化整为零化整为零取极限取极限准确值准确值定积分定积分10/10/30第30页3 3定积分性质定积分性质（注意估值性质、积分中值定理应用）（注意估值性质、积分中值定理应用）4 4性质典应用性质典应用（）预计积分值；（）预计积分值；（）不计算定积分比较积分大小（）不计算定积分比较积分大小10/10/31第31页六六 思索、判断题思索、判断题10/10/32第32页