基本不等式专题知识市公开课一等奖百校联赛获奖课件.pptx

第1页 这是在北京召开第24届国际数学家大会会标会标依据中国古代数学家赵爽弦图设计，颜色明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。第2页思索：这会标中思索：这会标中含有怎样几何图含有怎样几何图形？形？思索：你能否在这思索：你能否在这个图案中找出一些个图案中找出一些相等关系或不等关相等关系或不等关系？系？第3页ab1、正方形、正方形ABCD面积面积S=、四个直角三角形、四个直角三角形面积和面积和S=、S与与S有什么有什么样不等关系？样不等关系？探究：探究：S_S问：那么它们有相等情况吗？问：那么它们有相等情况吗？第4页第5页ADBCEFGHba主要不等式：主要不等式：普通地，对于任意实数普通地，对于任意实数a、b，我们有，我们有当且仅当当且仅当a=b时，等号成立。时，等号成立。ABCDE(FGH)ab第6页思索：思索：你能你能给给出不等式出不等式 证实吗证实吗？证实：（作差法）证实：（作差法）第7页结论：结论：普通地，普通地，对对于任意于任意实实数数a、b，总总有有 当且当且仅仅当当a=b时时，等号成立，等号成立文字叙述为文字叙述为:两数平方和两数平方和大于大于它们它们积积2 2倍倍.适用范围：适用范围：a,b R第8页替换后得到：替换后得到：即：即：即：即：你能用不等式性质直接推导这个不你能用不等式性质直接推导这个不等式吗？等式吗？第9页证实：要证证实：要证 只要证只要证要证要证，只要证，只要证要证要证，只要证，只要证显然显然,是成立是成立.当且仅当当且仅当a=b时时,中等号成立中等号成立.分析法分析法证实不等式：证实不等式：第10页尤其地，若尤其地，若a0，b0，则，则通常我们把上式写作：通常我们把上式写作：当且仅当当且仅当a=b时取等号，这个不等式就叫做基本不等式时取等号，这个不等式就叫做基本不等式.基本不等式基本不等式在数学中，我们把在数学中，我们把 叫做正数叫做正数a，b算术平均数，算术平均数，叫做正数叫做正数a，b几何平均数；几何平均数；文字叙述为：文字叙述为：两个正数算术平均数大于它们几何平均数两个正数算术平均数大于它们几何平均数.适用范围：适用范围：a0,b0第11页你能用这个图得出基本不等式几何解释吗你能用这个图得出基本不等式几何解释吗?RtACDRtDCB，ABCDEabO如图如图,AB是圆直径是圆直径,O为圆心，点为圆心，点C是是AB上一点上一点,AC=a,BC=b.过过点点C作垂直于作垂直于AB弦弦DE,连接连接AD、BD、OD.怎样用怎样用a,b表示表示CD?CD=_怎样用怎样用a,b表示表示OD?OD=_第12页你能用这个图得出基本不等式几何解释吗你能用这个图得出基本不等式几何解释吗?怎样用怎样用a,b表示表示CD?CD=_怎样用怎样用a,b表示表示OD?OD=_OD与与CD大小关系怎样大小关系怎样?OD_CD如图如图,AB是圆直径是圆直径,O为圆心，点为圆心，点C是是AB上一点上一点,AC=a,BC=b.过过点点C作垂直于作垂直于AB弦弦DE,连接连接AD、BD、OD.几何意义：半径大于弦长二分之一几何意义：半径大于弦长二分之一ADBEOCab第13页 例例1：(1)如如图图,用用篱篱笆笆围围成成一一个个面面积积为为100m2矩矩形形菜菜园园,问问这这个个矩矩形形长长、宽宽各各为为多多少少时时，所所用用篱篱笆笆最最短短，最最短短篱篱笆是多少？笆是多少？解：如图设解：如图设BC=x，CD=y，则则xy=100，篱笆长为，篱笆长为2(x+y)m.当且仅当当且仅当 时，时，等号等号成立成立所以，这个矩形长、宽都为所以，这个矩形长、宽都为10m时，所用篱笆最短，时，所用篱笆最短，最短篱笆是最短篱笆是40m.此时此时x=y=10.x=yABDC第14页例例1：(2)如如图图，用用一一段段长长为为36m篱篱笆笆围围成成一一个个矩矩形形菜菜园园，问问这这个个矩矩形形菜菜园园长长和和宽宽各各为为多多少少时时，菜菜园园面面积积最最大大，最大面积是多少？最大面积是多少？解：如图，设解：如图，设BC=x，CD=y，则则 2(x+y)=36,x+y=18矩形菜园面积为矩形菜园面积为xy m2得得 xy 81当且仅当当且仅当x=y时，等号成立时，等号成立 所以，这个矩形长、宽都为所以，这个矩形长、宽都为9m时，时，菜园面积最大，最大面积是菜园面积最大，最大面积是81m2即即x=y=9ABDC第15页变式变式：如图，用一段长为如图，用一段长为24m 篱笆围一个一边靠篱笆围一个一边靠墙矩形花园，问这个矩形长、宽各为多少时，花园墙矩形花园，问这个矩形长、宽各为多少时，花园面积最大，最大面积是多少？面积最大，最大面积是多少？解：如图，设解：如图，设BC=x，CD=y，则篱则篱笆笆长为长为矩形花园面积为矩形花园面积为xy m2ABDC得得 1442xy 当且仅当当且仅当 时，等号成立时，等号成立所以，这个矩形长为所以，这个矩形长为12m、宽为、宽为6m时，时，花园面积最大，最大面积是花园面积最大，最大面积是72m2即即 xy 72即即x=12，y=6x+2y=24 x=2y第16页变式变式：如图，用一段长为如图，用一段长为24m 篱笆围一个一边靠篱笆围一个一边靠墙矩形花园，问这个矩形长、宽各为多少时，花园墙矩形花园，问这个矩形长、宽各为多少时，花园面积最大，最大面积是多少？面积最大，最大面积是多少？解：如图，设解：如图，设BC=x，CD=y，则篱则篱笆笆长为长为矩形花园面积为矩形花园面积为xy m2ABDCx+y不是不是 定值定值.2=24为为 得得 2xy 144当且仅当当且仅当 时，等号成立时，等号成立所以，这个矩形长为所以，这个矩形长为12m、宽为、宽为6m时，时，花园面积最大，最大面积是花园面积最大，最大面积是72m2即即 xy 72即即x=12，y=6x+2y=24 x=2y第17页变式变式：如图，用一段长为如图，用一段长为24m 篱笆围一个一边靠篱笆围一个一边靠墙矩形花园，问这个矩形长、宽各为多少时，花园墙矩形花园，问这个矩形长、宽各为多少时，花园面积最大，最大面积是多少？面积最大，最大面积是多少？分析：设分析：设AB=x，BC=242x，ABDC第18页变式变式：如图，用一段长为如图，用一段长为24m 篱笆围一个一边靠篱笆围一个一边靠墙矩形花园，问这个矩形长、宽各为多少时，花园墙矩形花园，问这个矩形长、宽各为多少时，花园面积最大，最大面积是多少？面积最大，最大面积是多少？解：设解：设AB=x，BC=242x，矩形花园面积为矩形花园面积为x(242x)m2当且仅当当且仅当2x=242x,即即x=6时，等号成立时，等号成立所以，这个矩形长为所以，这个矩形长为12m、宽为、宽为6m时，时，花园面积最大，最大面积是花园面积最大，最大面积是72m2(其中其中2x+(24-2x)=24 是定值是定值)第19页变式变式：如图，用一段长为如图，用一段长为24m 篱笆围一个一边靠篱笆围一个一边靠墙矩形花园，问这个矩形长、宽各为多少时，花园墙矩形花园，问这个矩形长、宽各为多少时，花园面积最大，最大面积是多少？面积最大，最大面积是多少？解：设解：设AB=x，BC=242x，矩形花园面积为矩形花园面积为x(242x)m2所以，这个矩形长为所以，这个矩形长为12m、宽为、宽为6m时，时，花园面积最大，最大面积是花园面积最大，最大面积是72m2当当x=6时，函数时，函数y取得最小值为取得最小值为72第20页小结：小结：求最值时注意把握求最值时注意把握“一正，二定，三相等一正，二定，三相等”已知已知 x,y 都是正数都是正数,P,S 是常数是常数.(1)xy=P x+y2 P(当且仅当当且仅当 x=y 时时,取取“=”号号).(2)x+y=S xy S2(当且仅当当且仅当 x=y 时时,取取“=”号号).142.利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值1.两个主要不等式两个主要不等式第21页作作 业业书本书本P100练习题练习题习题习题3.4 A组组 第第2、3题题 第22页思索题思索题1.求函数求函数 f(x)=x+(x-1)最小值最小值.1x+1 2.若若 0 x0.1.求函数求函数 f(x)=x+(x-1)最小值最小值.1x+1 第24页配凑系数配凑系数分析分析:x+(1-2x)不是不是 常数常数.2=1为为 解解:0 x0.12y=x(1-2x)=2x(1-2x)12 22x+(1-2x)21218=.当且仅当当且仅当 时时,取取“=”号号.2x=(1-2x),即即 x=14当当 x=时时,函数函数 y=x(1-2x)最大值是最大值是 .14182.若若 0 x ,求函数求函数 y=x(1-2x)最大值最大值.12第25页