高等数学练习题附答案.doc
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第一章 自测题 一、填空题(每小题3分,共18分) 1. . 2. . 3.已知,其中为常数,则 , . 4. 若在上连续,则 . 5. 曲线的水平渐近线是 ,铅直渐近线是 . 6. 曲线的斜渐近线方程为 . 二、单项选择题(每小题3分,共18分) 1. “对任意给定的,总存在整数,当时,恒有”是数列收敛于的 . A. 充分条件但非必要条件 B. 必要条件但非充分条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分也非必要条件 2. 设,则 . A. B. C. D. 3. 下列各式中正确的是 . A. B. C. D. 4. 设时,与是等价无穷小,则正整数 . A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 曲线 . A. 没有渐近线 B. 仅有水平渐近线 C. 仅有铅直渐近线 D. 既有水平渐近线又有铅直渐近线 6.下列函数在给定区间上无界的是 . A. B. C. D. 三、求下列极限(每小题5分,共35分) 1. 2. 3. 4. 5. 设函数,求. 6. 7. 四、确定下列极限中含有的参数(每小题5分,共10分) 1. 2. 五、讨论函数在处的连续性,若不连续,指出该间断点的类型.(本题6分) 六、设,求的间断点并判定类型. (本题7分) 七、设在上连续,且.证明:一定存在一点,使得.(本题6分) 第二章 自测题 一、填空题(每小题3分,共18分) 1.设在可导,且,则 . 2.设,则 . 3. . 4.设,其中可导,则 . 5.设,则 . 6.曲线在点的切线方程为 . 二、单项选择题(每小题3分,共15分) 1.下列函数中,在处可导的是 . A. B. C. D. 2.设在处可导,且,则 . A. B. C. D. 3.设函数在区间内有定义,若当时恒有,则是的 . A.间断点 B.连续而不可导的点 C.可导的点,且 D.可导的点,且 4.设,则在处的导数 . A. B. C. D.不存在 5.设函数可导,当自变量在处取得增量时,相应的函数增量的线性主部为,则 . A. B. C. D. 三、解答题(共67分) 1.求下列函数的导数(每小题4分,共16分) (1) (2) (3) (4) 2.求下列函数的微分(每小题4分,共12分) (1) (2) (3) 3.求下列函数的二阶导数(每小题5分,共10分) (1) (2) 4.设在可导,试求与.(本题6分) 5.设,求.(本题6分) 6.设函数由方程所确定,求.(本题6分) 7.设由参数方程,求.(本题6分) 8.求曲线在处的切线方程和法线方程.(本题5分) 第三章 自测题 一、 填空题(每小题3分,共15分) 1.若均为常数,则 . 2. . 3. . 4.曲线的凹区间 ,凸区间为 . 5.若,则在点 处取得极小值. 二、单项选择题(每小题3分,共12分) 1.设为方程的两根,在上连续,内可导,则在内 . A.只有一个实根 B.至少有一个实根 C.没有实根 D.至少有两个实根 2.设在处连续,在的某去心邻域内可导,且时,,则是 . A.极小值 B.极大值 C.为的驻点 D.不是的极值点 3.设具有二阶连续导数,且,,则 . A.是的极大值 B.是的极小值 C.是曲线的拐点 D.不是的极值,不是曲线的拐点 4.设连续,且,则,使 . A.在内单调增加. B.在内单调减少. C.,有 D.,有. 三、解答题(共73分) 1.已知函数在上连续,内可导,且, 证明在内至少存在一点使得.(本题6分) 2.证明下列不等式(每小题9分,共18分) (1)当时,. (2)当时,. 3.求下列函数的极限(每小题8分,共24分) (1) (2) (3) 4.求下列函数的极值(每小题6分,共12分) (1) (2) 5.求的极值点、单调区间、凹凸区间和拐点.(本题6分) 6.证明方程只有一个实根.(本题7分) 第一章 自测题 一、填空题(每小题3分,共18分) 1. 2. 3. , 4. 5. 水平渐近线是,铅直渐近线是 6. 二、单项选择题(每小题3分,共18分) 1. C 2. D 3. D 4. A 5. D 6.C 三、求下列极限(每小题5分,共35分) 解:1.. 2. . 3. , 又. 4.. 5. . 6., , 所以,原式. 7.. 四、确定下列极限中含有的参数(每小题5分,共10分) 解:1.据题意设,则,令得 ,令得,故. 2.左边,右边 故,则. 五、解:,故在 处不连续,所以为得第一类(可去)间断点. 六、解:,而 ,故,都是 的间断点,,故为的第一类(可去)间断点, 均为的第二类间断点. 七、证明:设,显然在上连续, 而,, , 故由零点定理知:一定存在一点,使,即. 第二章 自测题 一、填空题(每小题3分,共18分) 1. 2. 3. 4. 5. 6.或 二、单项选择题(每小题3分,共15分) 1. D 2. A 3. C 4. D 5. D 三、解答题(共67分) 解:1.(1) . (2) . (3) . (4) 两边取对数得,两边求导数得 ,. 2.求下列函数的微分(每小题4分,共12分) (1) . (2). (3) . 3.求下列函数的二阶导数(每小题5分,共10分) (1), . (2),. 4.首先 在处连续,故,故, 其次,, , 由于在 处可导,故,故,. 5.,, 故,由于在,时均可导,故. 6.方程可变形为 ,两边求微分得 ,故. 7., . 8.,故.当时,. 故曲线在处的切线方程为,即, 法线方程为,即. 第三章 自测题 一、 填空题(每小题3分,共15分) 1. 2. 3. 4., 5. 二、单项选择题(每小题3分,共12分) 1.B 2.A 3.B,提示:由题意得,,当时,;即当时,,当时,,从而在取得极小值 4. C,提示:由定义,由极限的保号性得,当时,,即 三、解答题(共73分) 证明:1.令,则在上连续,内可导,且;由罗尔定理知,至少存在一点,使得, 故,即. 2.(1)令,则在区间上满足拉格朗日中值定理的条件.由拉格朗日中值定理得,至少存在一点,使得即,又,得到,从而. (2)令,则,从而当时单调递增,即,故;令,则,即当时单调递减,即,故;从而当时,. 解:3.(1). (2). (3) . 4.⑴ 函数的定义域为;,令得驻点,不可导点;当时,;当时,;当时,;当时,;故为极大值点,极大值为;为极小值点,极小值为. ⑵ ,令得驻点,为不可导点. 当时,;当时,;当时,;故为极大值点,极大值为;为极小值点,极小值为. 5.定义域为;,,令得驻点,令得;列表得: - - + + + - + + + - 单减 凸 单减 凹 极小值点 单增 凹 拐点 单增 凸 6.证明:令,显然,;令得唯一驻点,且;故在上当时取得极小值;当时,,所以方程只有一个实根.- 配套讲稿:
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