基于层次分析法的模糊综合评价模型.doc

2016江西财经大学数学建模竞赛

A题
城市交通模型分析
参赛队员: 黄汉秦、乐晨阳、金霞
参赛队编号：2016018
2016年5月20日~5月25日
2016江西财经大学数学建模竞赛
承 诺 书
我们仔细阅读了江西财经大学数学建模竞赛的竞赛章程。
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C中选择一项填写）： A
我们的参赛队编号为 2016018
参赛队员 (打印并签名) ：
队员1. 姓名 专业班级 计算机141
队员2. 姓名 专业班级 计算机141
队员3. 姓名 专业班级 计算机141
日期： 2016 年 5 月 25 日
2016江西财经大学数学建模竞赛
编号和阅卷专用页
参赛队编号：2016018
参赛队员填写
参赛队
员姓名
所有数学类与计算机类课程成绩
（意愿参加全国竞赛者填写）
是否选修建模课程
是否愿参加全国竞赛
在校获
奖项目
黄汉秦

是
否

金霞

是
否

乐晨阳

是
否

阅卷填写，参赛者不得填写
评分(百分制)

评阅人

最 终 得 分

小组评价负责人

阅卷
专家
评语

备注
1、是否选修数学建模：指本学期是否选修了数学建模课程
2、是否有意愿参加全国竞赛：指参加今年的全国大学生数学建模竞赛，一经选定，不得退赛，否则将建议学生所在学院给予处分。培训时间：2016年8月5日开始。
江西财经大学数学建模竞赛组委会
2016年5月15日制定
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城市交通模型分析
摘要
随着国民经济的高速发展和城市化进程的加快，我国机动车保有量及道路交通流量急剧增加，交通出行结构发生了根本变化，城市道路交通拥挤堵塞问题已成为制约经济发展、降低人民生活质量、削弱经济活力的瓶颈之一。本篇论文针对道路拥挤的问题采用层次分析法进行数学建模分析，讨论拥堵的深层次问题及解决方案。
首先建立绩效评价指标的层次结构模型，确定了目标层，准则层（一级指标），子准则层（二级指标）。
其次，建立评价集V=(优，良，中，差)。对于目标层下每个一级评价指标下相对于第m个评价等级的隶属程度由专家的百分数u评判给出，即U＝[0,100]应用模糊统计建立它们的隶属函数A(u)， B(u)， C(u) ，D(u)，最后得出目标层的评价矩阵Ri，（i=1,2,3,4,5）。利用A,B两城相互比较法，根据实际数据建立二级指标对于相应一级指标的模糊判断矩阵i（i=1,2,3,4,5）
然后，我们经过次试验调查，明确了各层元素相对于上层指标的重要性排序，构造模糊判断矩阵，利用公式

计算出权重值，经过一致性检验公式检验后，均有，由此得出各层次的权向量。然后后，给出建立绩效评价模型（其中O是评价结果向量），应用模糊数学中最大隶属度原则，对被评价城市交通的绩效进行分级评价。
接着在改进方案中，我们具体以交叉口为中心建立模型，其中包括道路长度、宽度、车辆平均长度、车速等等考虑因素。通过车辆排队长度可以间接判断交通拥堵情况，不需要测量车速、时间等因素而浪费的人力物力和财力，有效的提高了工作成本和效率。为管理城市交通要道提供了良好的模型和依据。
【关键字】交通拥堵 层次分析法 模糊综合评判 绩效评价 隶属度
一、问题重述
随着我国经济社会持续快速发展，群众购车刚性需求旺盛，汽车保有量继续呈快速增长趋势，2015年新注册登记的汽车达2385万辆，保有量净增1781万辆，均为历史最高水平。汽车占机动车的比率迅速提高，近五年汽车占机动车比率从47.06%提高到61.82%，群众机动化出行方式经历了从摩托车到汽车的转变，交通出行结构发生了根本性变化。
2015年，小型载客汽车达1.36亿辆，其中，以个人名义登记的小型载客汽车（私家车）达到1.24亿辆，占小型载客汽车的91.53%。与2014年相比，私家车增加1877万辆，增长17.77%。全国有40个城市的汽车保有量超过百万辆，北京、成都、深圳、上海、重庆、天津、苏州、郑州、杭州、广州、西安11个城市汽车保有量超过200万辆。全国平均每百户家庭拥有31辆私家车，北京、成都、深圳等大城市每百户家庭拥有私家车超过60辆。
随着城市人口以及城市交通流的增加，城市特别是大城市的交通问题普通成为焦点问题。路网不畅、设施不足、交通拥堵等问题越来越突出；行车难、停车难、交通秩序混乱等问题日益突显，对城市交通管理造成的冲击和压力越来越大。城市道路交通拥挤堵塞问题已成为制约经济发展、降低人民生活质量、削弱经济活力的瓶颈之一。据美国得克萨斯州运输研究所2006年底公布的数据显示，被称为“汽车王国”的美国每年因交通堵塞造成的经济损失高达1000亿美元。2007年中国社科院数量经济与技术经济研究所测算，北京市每天因为堵车造成的社会成本达到4000万元，每年损失146亿元。对于交通堵塞这个世界性难题，各国政府和民间都在为解决这个问题进行广泛的研究。
交通拥堵的因素很多，其中一个就是交通管理技术低下。请你建立模型分析在现有交通路网架构的条件下，如何提高交通管理技术，改善城市交通。
二、问题分析
在本文中，我们采用层次分析法从车辆因素、道路因素、人为因素、社会因素四个个方面对城市交通进行综合评估，最终得出一个综合评分。车辆因素主要从车辆自身对交通问题影响，包括车流量，车辆运载效率等；道路因素指标目的在于衡量道路的交通运输能力，以及道路交通标线的设计；人为因素体现人为主观行动对交通的影响；社会因素从社会现象上分析对交通的影响。利用A,B两城市比较法，通过实际数据对比计算相似度，构建模糊矩阵得出二级指标权重向量，再利用专家打分法一级指标权重向量，综合得出应用上述评价体系和评价指标体系，可以对城市交通进行评价，以判断城市交通的现状，诊断其发展进程中的问题，为城市交通的优化提供决策参考。
考虑到用层次分析法计算各因素权重的过程中专家评分具有主观性，各指标具有离散性，因而会有误差，所以我们最后用模糊数学的知识对模型进行了优化处理，对有些变量进行连续化处理，并建立其关于上级指标的隶属函数，进而计算出隶属度，由此隶属度构成的矩阵，综合各因素的权重列向量，经过矩阵运算，得出技术效益的综合结果。由这些因素集的综合结果构成上一层的因素集，再根据上一层的权重分配方案，采取同样的计算方法，得到最终的综合分数。
三、模型假设
假设一：我们的模型只列出了16项影响城市交通绩效的指标，因为宏观因素及微观因素，影响因素远远不止这些，我们假设除本文所列项目，其他因素的影响甚微，可以忽略不计。
假设二：文中层次分析模型建构过程中涉及到了专家打分，但由于评分专家对所评方案的评分受个人因素影响，我们假设5个专家的打分是客观、公正的, 且对指标无明显偏好。
假设三：假设受评规划方案均满足城市交通规划方案的优化选择模型的基本要求。
四、符号说明
.................................................................................... 人为因素的评价矩阵
.................................................................................... 人为因素的模糊判断矩阵
.................................................................................... 人为因素的权向量
.................................................................................. 道路因素的评价矩阵
..................................................................................... 道路因素的模糊判断矩阵
..................................................................................... 道路因素的权向量
..................................................................................... 车辆因素的评价矩阵
....................................................................................... 车辆因素的模糊判断矩阵
...................................................................................... 车辆因素的权向量
...................................................................................... 社会因素的评价矩阵
....................................................................................... 社会因素的模糊判断矩阵
....................................................................................... 社会因素的权向量
....................................................................................... 功能特征的评价矩阵
........................................................................................ 功能特征的模糊判断矩阵
....................................................................................... 功能特征的权向量
......................................................................................... 总目标的模糊判断矩阵
........................................................................................ 总目标的权向量
O ......................................................................................... 评价结果向量
....................................................................................... 权系数
......................................................................................... 综合评价
五、模型建立
5.1 数学知识回顾
5.1.1 层次分析法
AHP(Analytic Hierarchy Process)方法[1]，是由20世纪70年代由美国著名运筹学学家T.L.Satty提出的。它是指将决策问题的有关元素分解成目标、准则、方案等层次，在此基础上进行定性分析和定量分析的一种决策方法。这一方法的特点，是在对复杂决策问题的本质、影响因素及其内在关系等进行深入分析之后，构建一个层次结构模型，然后利用较少的定量信息，把决策的思维过程数学化，从而为求解多准则或无结构特性的复杂决策问题提供了一种简便的决策方法。
定理1（Perron定理）：设阶方阵，为的最大特征根，则：
,而且它所对应的特征向量为正向量；
为的单特征根，且 ;
对应的特征向量除差一个常数因子外是唯一的。
定理2: 阶正互反矩阵 是一致阵的充要条件是
5.1.2 隶属函数
隶属函数是指:给定论域U上的一个模糊子集A,对于任意u∈U,都确定了一个数A(u),0≤μA(u)≤1,那么A(u)叫做u对A的隶属程度,A叫做A的隶属函数。
5.1.3 模糊综合评价
模糊综合评价是应用模糊变换原理，考虑与评价对象相关的各种因素，对其所作的综合评价。
其基本原理是：
（1）根据评价的标准构造多个隶属函数。
（2）通过评测指标在各个隶属函数中对应的程度不同（即隶属度不同），可以形成一个模糊关系矩阵。
（3）构造权重系数矩阵。
（4）将权重系数模糊矩阵和模糊关系矩阵通过模糊运算，最终就可以得到综合指标对各个评价等级的隶属度矩阵。通常根据最大隶属度原则，在最后的隶属度矩阵中，综合指标对哪个评价等级的隶属度更高，那么我们就将其所要评价的目标定为该评价等级。
5.2 建立层次分析结构模型[2]
利用层次分析法解决问题可分如下三步进行：
第一层：目标层。这一层只有一个元素，即交通状况综合评分。
第二层：准则层。包括所有为实现目标所涉及的所有中间环节，它们属于一级指标。
第三层：子准则层：由准则层的各个因素构成，受准则层的支配。子准则层的因素构成二级指标。（如下表）
城市交通绩效评价指标
总目标
一级指标
二级指标

人为因素A1
单线高峰客流量（万人次/小时）A11
居民品均出行耗时(小时）A12
人均城市道路占有量（平方米）A13
道路因素A2
道路利用率% A21
红绿灯效率% A22
公交站点密度 A23
车辆因素A3
万人车辆标台数（标台/万人）A31
公交出行数量（辆）A32
主干道平均车速（千米/小时）A33
汽车燃油消耗(元/公里）A34
社会因素 A4
路段空气质量超标率% A41
干道的昼间噪声（百分贝）A42
油耗比 A43
功能特征B1
降雨量(毫米/年）B11
交通基础设施 B12
日增车辆 （辆）B13
5.3 确定各指标的相对隶属度，建立评价矩阵。
根据一级指标对评价集合V的隶属关系,建立评价矩阵Rn：

其中，rpm为第n个一级评价指标下第p个二级评价指标相对于第m个评价等级的隶属度，通过德尔菲法由专家打分给出。各专家的评判用百分数表示，并作为论域，即U＝[0,100]，各项指标的测评分为（优,良,中,差），都是U 上的模糊子集，分别用 (A,B,C,D) 表示，应用模糊统计建立它们的隶属函数如下：
0 ，0≤u＜85
A(u)＝ 1/2+1/2sinπ/10(u-90) ，85≤u＜95
1 ，95≤u＜100
0 ，0≤u＜75
1/2+1/2sinπ/5(u-77.5) ，75≤u＜80
B(u)＝ 1 ，80≤u＜85
1/2-1/2sinπ/10(u-90) ，85≤u＜95
0 ，95≤u≤100
0 ，0≤u＜60
1/2+1/2sinπ/10(u-65) ，60≤u＜70
C(u)＝ 1 ，70≤u＜75
1/2-1/2 sinπ/5(u-77.5) ，75≤u＜80
0 ，80≤u＜100
1 ， 0≤u＜60
D(u)＝ 1/2-1/2 sinπ/10(u-65) ，60≤u＜70
0 ，70≤u＜100
上述隶属度函数确定的合理性在于，假定1个专家对某项指标测评为87分，则在A(U)所属函数中的值为0.0955，在B(U)所属函数中的值为0.9045，在C(U) 所属函数中的值为0，在D(U)所属函数中的值为0。与实际中以百分制为计的87 分为良吻合。同时，也注意到87分也有可能向优的趋势发展。但不可能是中和差，从所属函数中的值为0可完全得到验证。上述隶属度函数如图1。

各专家对每项指标测评。例如，有5个专家对A11项进行测评分别为62、73、84、92、53，则：
A(U)＝1/5[A(62)+A(73)+A(84)+A(92)+A(53)]＝0.1588
B(U)＝1/5[B(62)+B(73)+B(84)+B(92)+B(53)]＝0.2412
C(U)＝1/5[C(62)+C(73)+C(84)+C(92)+C(53)]＝0.2191
D(U)＝1/5[D(62)+D(73)+D(84)+D(92)+D(53)]＝0.3809
5.4 构造模糊判断矩阵
先构造一级评价指标间两两比较判断矩阵P；由次调查，就某因素对其相关的同一层的全部因素的重要性(本文中由于条件所限，我们根据讨论的结果给各个因素的重要性做了排序）进行两两比较，结果以模糊数定量表示，得模糊判断矩阵。，其中是三角模糊数。二级指标的模糊判断矩阵分别记为P1 ，P2 ，P3 ，P4，P5构造方法与P的一致。
根据上述各符号的意义得矩阵P

5.5 确定各评价指标的权重。
5.5.1 一、二级评价指标的权重确定
标度
含义
1
表示因素与比较，具有同等重要性
3
表示因素与比较，比稍微重要
5
表示因素与比较，比明显重要
7
表示因素与比较，比强烈重要
9
表示因素与比较，比极端重要
2，4，6，8
2，4，6，8分别表示相邻判断1和3，3和5，5和7，7和9的中值
倒数
表示因素与比较得判断，则与比较得判断
1. 和积法计算各因素的权重值：
(1)将判断矩阵每一列归一化：
(2)每一列正规化的判断矩阵按行相加：
(3)对向量作正规化处理： 依次所得到的即为所求的特征向量，亦为权重。
2．检验权重的分配是否合理，需要对判断矩阵进行一致性检验，如果一致性不满足要求，则需要调整判断矩阵直到其达到一致性的要求。
（1）计算判断矩阵的最大特征根；
（2）检验

其中，RI为判断矩阵的平均随机一致性指标。
对于1～9阶判断矩阵，RI取值如下表：
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
RI
0.00
0.00
0.58
0.90
1.12
1.24
1.32
1.41
1.45
当CR＜0.10时，判断矩阵满足一致性，说明权重分配是合理的；
同理， 求得各二级评价指标的权重，记为：W1 ,W2 ,W3 ,W4，W5。
5.6 建立绩效评价模型
依据城市交通绩效影响因素的特点，本文采用二级综合评价模型。二级综合评价模型的思想是：将评价因子集分成若干子集（即城市交通绩效评价指标体系中的两级结构），对每个二级指标的子集进行评价后， 再以各二级指标的评价结果为因子，对一级指标进行评价。
其中，O是评价结果向量。
最后，应用模糊数学中最大隶属度原则，对被评价城市交通的绩效进行分级评价。
六、模型求解
6.1 权重计算法
由于本模型涉及多项数据指标，所以我们采用A，B类城市相比较的方式由模糊矩阵方法得出二级指标的权重。其中A类是交通绩效相对比较高的城市，B类是交通绩效有待改进的城市。最终我们在考虑到功能特征后以接近A类城市为最优解。
相似程度S=A类指标/（B类指标—A类指标）
见附表6—1
（一）人为因素的模糊判断矩阵

=
1.将判断矩阵每一列归一化得到归一化后的判断矩阵：

=
2、 每一列正规化的矩阵按行相加
对向量做正规化处理

=

=
得到权重向量：
3.一致性检验：

因为CR＜0.10，所以判断矩阵满足一致性，说明权重分配是合理的
人为因素相应权重
人为因素
单线高峰客流量（万人次/小时）
居民品均出行耗时(小时）
人均城市道路占有量（平方米）
相应权重
0.5714
0.2857
0.1429
（二）道路因素的模糊判断矩阵

道路利用率A21：
表示交通道路利用率，n表示某一时刻某一面积道路的车台数，s表主干道路线数。
交叉口红绿灯效率A22：
m表示红灯时停车台数，t表示红灯时间，p表示穿过马路的人数。

=
设权重向量为：
1.将判断矩阵每一列归一化得到归一化后的判断矩阵：
=
2.每一列正规化的矩阵按行相加：
对该向量做正规化处理：
3.一致性检验：
=3.0092
由于 =0.008<0.10
所以判断矩阵满足一致性，权重分配是合理的
道路因素相应权重
道路因素
主干道利用率%
红绿灯效率%
公交站点密度%
相应权重
0.5389
0.3151
0.1460
（三） 车辆因素模糊判断矩阵

=
1. 将判断矩阵每一列归一化得到归一化后的判断矩阵：

=

2.每一列正规化的矩阵按行相加

正规化处理：

=

得到权向量:

由

=
得：

因为CR＜0.10，所以判断矩阵满足一致性，说明权重分配是合理的
车辆因素相应权重
车辆因素
万人车辆标台数（标台/万人）
公交出行数量（辆）
主干道平均车速（km/h）
汽车燃油消耗(元/公里
相应权重
0.3518
0.1858
0.2766
0.1858
（四）社会因素的模糊判断矩阵
=
经计算权重向量为：
3. 一致性检验

=3.0657
<0.10
所以判断矩阵满足一致性，权重分配是合理的。
社会因素相应权重
社会因素
路段空气质量超标率
干道的昼间噪声（分贝）
油耗比
相应权重
0.3932
0.3343
0.2724
（五）功能特征的模糊判断矩阵

=
设权重向量为：
1.将判断矩阵每一列归一化得到归一化后的判断矩阵

=
2.每一列正规化的矩阵按行相加：
对该向量做正规化处理：
3.一致性检验：
=3.0536

=0.04621<0.10所以判断矩阵满足一致性，权
重分配是合理的。
功能特征相应权重
功能特征
降雨量
交通设施
日增车辆（辆/日）
相应权重
0.3338
0.1416
0.5246
6.2由专家打分确立各一级指标相应权重
专家 一级指标
专家1
专家2
专家3
专家4
专家5
平均分
A1
80
75
77
82
84
79.6
A2
89
83
90
87
89
87.6
A3
86
80
82
84
87
83.8
A4
83
80
85
80
82
82
B1
89
93
87
96
90
92.5
记总目标的模糊判断矩阵为：

得到相应权重为：
总目标
人为因素
道路因素
车辆因素
社会因素
功能特征
相应权重
0.0741
0.1957
0.1901
0.1776
0.3625
七、模型改进
前面的模型都只是针对单一道路，而现实生活中出现交通拥堵情况太多在交叉口处形成，或者更为复杂的道路地形，因此改进的话从一维转为二维，实现较为实用的交通模型
1、交通拥堵形成过程
交叉口是各个方向交通流的汇集地，受信号控制的影响，连续运行的车流受到中断，是引发交通拥堵的核心点之一。若交叉口的通行能力不能满足交通需求，车辆就会在某些通行方向出现二次排队，需要几个信号周期才能通过交叉口，出现拥堵现象。下面分析交通需求与通行能力的关系，阐述交叉口常发性交通拥堵的形成过程。设交叉口的通行能力为Ca，交通需求为A(t)，通行能力与交通需求随时间的变化关系如图1-1所示。
对于一个固定的交叉口，在不受到其他干扰的情况下，通行能力通常为一个固定值，随时间的推移，交叉口通过的流量为Ca(t)。在t0时刻，交叉口累积的车流量大于在有效绿灯时间内交叉口的通行能力，开始出现车辆滞留的现象。随着时间的推移，排队等候的车辆不断增加，排队长度不断延长，在[t0,t]时间段内，滞留车辆数为Nw(t)=A(t)-Ca(t)。当到达t1时刻时，滞留在交叉口处的车流数达到最大，排队长度达到最大值。在t1时刻之后，道路的交通需求开始减小，由于车流的到达率小于交叉口的通行率，在有效绿灯时间内，驶出交叉口的车辆数大于到达的车辆数，在绿灯时，滞留在交叉口的车辆开始逐渐消散，排队长度不断减小。当到达t2时，累积在交叉口的车辆等于交叉口的通行能力，在绿灯时间内恰好全部驶出交叉口，道路上没有出现滞留的车辆，交叉口交通状态恢复正常状态。从图1-1中可知，由于交通需求大于交叉口的通行能力，出现拥堵现象，增大了行车的延误，车辆总延误在数值上等于曲线A(t)和Ca(t)之间围成的面积。

图1-1
对于主干道路交叉口群来说，上游交叉口的交通状态受到下游交叉口交通状态的影
响。当下游交叉口的排队长度大于两交叉口之间的路段所能容纳的最大排队时，将会在交叉口出现排队溢出的现象，滞留的车辆将蔓延到上游交叉口的相关路段，形成关联交叉口的线拥堵状态。设两交叉口路段的最大排队车辆数为D，则
D=
式中，L为路段的长度(m)；d为平均车长(m)；s为饱和车头间距(m)。以上都为常量当下游交叉口进口道排队长度Nw(t)大于D时，排队车辆将占满整个路段，剩余车辆将滞留在上游交叉口的相关路段，造成交通拥堵蔓延。[3]
2、车辆排队长度检测
利用传统的机器时间算法进行路口车辆排队长度检测，能够获取在指定路口等待的车辆的数量，从而为智能交通系统提供准确的数据基础。其步骤如下所述设置指定路口的道路宽度是N，路口每次绿灯能够通过的车辆数目是 a，采集的全部车辆图像构成的数据集合是{d1，d2，…，dq} ，第i张车辆图像中的像素灰度构成的数据集合是{f1，f2，…，fm} ，车辆图像采集过程中的外界环境干扰系数是η，利用下述公式能够计算路口车辆图像机器时间: [4]

利用下述公式能够计算路口车辆排队长度:

实验数据表
算法检测与实际排队车辆如图所示

对数据进行进一步整理得到如下图所示

八、模型展望
该模型适用大多数并且拥堵的道路路段，通过车辆排队数与最大排队数量进行比较，若大于则视为拥堵情况，否则视为正常情况
附表6-1
二级评价指标的权重确定
二级指标
A城市
B城市
相似度
单线高峰客流量（万人次/小时）
0.8
1.9
1.38
居民品均出行耗时(小时）
0.6
1
0.67
人均城市道路占有量（平方米）
10
6.67
0.33
道路利用率%
71.14
102.5
2.27
红绿灯效率%
2.39
1.74
3.67
公交站点密度
30
24
5
万人车辆标台数（标台/万人）
1380
977
0.41
公交出行数量（辆）
2380
2000
0.19
主干道平均车速（千米/小时）
36
27.7
0.3
汽车燃油消耗(元/公里）
0.47
0.6
0.22
路段空气质量超标率/%
3.2
6.9
1.16
干道的昼间噪声（百分贝）
65
71
0.09
油耗比
46
66
2.3
降雨量(毫米/年）
1200
324
1.37
交通基础设施
75
50
2.5
日增车辆 （辆）
1000
150
1.18
[1] 杜栋、庞庆华：《现代综合评价方法与案例精选》，北京，清华大学出版社，2005
[2]李柏年：《模糊数学及其应用》，合肥，合肥工业大学出版社，2007。
[3] 黄艳国——城市道路交通拥堵机制及控制方法研究。2015年4月
[4] 周敏——路口车辆排队长度检测方法的研究与仿真。2013年10月