数学建模教案市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx

数学建模教案数学建模教案长安大学理学院董安国董安国第1页序言n应用和创新是数学建模特点，也是素质教育灵魂；不论用数学方法处理哪类实际问题，还是与其它学科想结合形成交叉学科，首先和关键一步是用数学语言表述所研究对象，即建立数学模型。在高科技时代，尤其是计算机技术快速发展今天，计算和建模正成为数学科学技术转化主要路径。本课程意在提升学生数学应用能力和数学知识获取能力。第2页一 数学建模和数学关系n数学定义数学定义:数学作为一门研究现实世界数量关系和空间形式科学，它内容是从实际中抽象出来，与实际想脱离，但在它生产和发展历史长河中，一直是和人们生活实际需要亲密相关。n数学含有三大特点：数学含有三大特点：n1 抽象性n2 严密性n3 应用广泛性n数学任务和发展动力数学任务和发展动力n应用是数学主要任务，也是数学发展主要动力。第3页n数学建模定义数学建模定义:n数学建模是指用数学语言和方法对实际问题进行近似地刻划和描述，数学建模并不是新事物，自从有了数学并用数学去处理问题时，就有了数学建模。纵观人类历史上进行过三次重大科学技术革命，每一次都是渗透着数学应用，都是数学建模过程。但将数学建模作为一门专门学科和课程历史还很短。n数学建模教学培养目标数学建模教学培养目标:n1 培养翻译能力n2 应用已学到数学方法和思想进行综合应用和分析，并能学习一点新数学知识，并能了解合理抽象和简化，尤其是进行数学分析主要性n3 发展联想能力n4 逐步发展形成一个洞察力n5 熟练使用技术伎俩第4页数学理论实际实际起源于服务于学到数学课堂学习数学建模推进发展数学家几千年努力无限多问题有限多知识必须发挥主观能动性学会数学建模方法第5页二数学建模竞赛（二数学建模竞赛（MCM）由来和规则）由来和规则n1985年以前美国只有一个大学生数学竞赛(普特南数学竞赛）。1985年在美国创办了一个名为数学建模竞赛(Mathematical in Modeling,缩写为)；一年一度数学建模竞赛是一个彻底公开竞赛。每年只有若干个来自不受限制任何领域实际问题，学生以三人组成一个队形式参赛，在小时内任选一题，完成该实际问题数学建模全过程，并就问题重述、简化和假设及合理性叙述、数学建模叙述与求解、检验和改进、模型优缺点及其可能应用范围自我评述等内容写出论文。由教授组成评阅组进行评阅，评出优异论文。在竞赛期间不得与队外任何人讨论，但能够利用任何资料软件。第6页三数学假模普通步骤三数学假模普通步骤n建模要经过哪些步骤并没有一定模式，通常与问题性质、建模目标等相关。下面介绍是机理分析方法建模普通过程，以下列图所表示.模型准备模型假设模型组成模型求解模型检验模型分析模型应用第7页n模型准备模型准备 了解问题实际背景，明确建模目标，搜集必要信息如现象、数据等，尽可能搞清对象主要特征形成一个比较清楚“问题”，由此初步确定用哪一类模型。情况明才能方法对。在模型准备阶段要深入调查研究，虚心向实际工作者请教，尽可能掌握第一手资料。n模型假设模型假设 依据对象特征和建模目标，抓住问题本质，忽略次要原因，作出必要、合理简化假设。对于建模成败这是非常主要和困难一步。假设作不合理或太简单，会造成错误或无用模型；假设作得过分详细，试图把复杂对象众多原因都考虑进去，会使你极难或无法继续下一部工作。经常需要再合理与简化之间作出恰当折衷。n模型组成模型组成 依据所作假设，用数学语言、符号描述对象内在规律，建立包含常量、变量等数学模型，如优化模型、微分方程模型、差分方程模型、图模型等。建模时应遵照一个标准是：尽可能采取简单数学工具，因为你模型总希望更多人了解和使用，而不是只供少数教授观赏。n模型求解模型求解 能够采取解方程、画图形、优化方法、数值计算、统计分析等各种数学方法，尤其是数学软件和计算机技术。n模型分析模型分析 对求解结果进行数学上分析，如结果误差分析、统计分析、模型对数据敏感性分析、对假设健壮性分析等。n模型检验模型检验 把求解和分析结果翻译回到实际问题，与实际现象、数据比较，检验模型合理性和适用性。假如结果与实际不符，问题经常出在模型假设上，应该修改、补充假设，重新建模，如图中虚线所表示。这一步对于模型是否真有用非常关键，要以严厉认真态度对待。有些模型要经过几次重复，不停完善，直到检验结果取得某种程度上满意。n模型应用模型应用 应用方式与问题性质、建模目标及最终结果相关，本课程普通不讨论这个问题。第8页n数学建模过程分为表述、求解、解释、验证几个阶段，而且经过这些阶段完成从现实对象到数学模型，再从数学模型回到现实对象循环，以下列图所表示。现实对象信息现实对象解答数学模型解答数学模型表述（归纳）求解（演绎）解答 验证 四 数学建模全过程第9页n表述是将现实问题“翻译”成抽象数学问题，属于归纳法。数学模型求解则属于演绎法。归纳是依据个别现象推出一般规律；演绎是按照普遍原理考查特定对象，导出结论。因为任何事物本质都要经过现象来反映，必然要透过偶然来表露，所以正确归纳不是主观、盲目，而是有客观基础，但也往往是不精细、带感性，不易直接检验其正确性。演绎利用严格逻辑推理，对解释现象、作出科学预见具有重大意义，但是它要以归纳结论作为公理化形式前提，只能在这个前提下保证其正确性。所以，归纳和演绎是辨证统一过程：归纳是演绎基础，演绎是归纳指导。n解释是把数学模型解答“翻译”回到现实对象，给出分析、预报、决策或者控制结果。最后，作为这个过程重要一环，这些结果需要用实际信息加以验证。n上图揭示了现实对象和数学模型关系。一方面，数学模型是将现象加以归纳、抽象产物，它源于现实，又高于现实。其次，只有当数学建模结果经受住现实对象检验时，才可以用来知道实际，完成实践理论实践这一循环。第10页 五数学模型特点和建模能力培养五数学模型特点和建模能力培养经过前面学习，我们看到用建模方法处理实际问题，首先是用数学语言表述问题，即结构模型，其次才是用数学工具求解组成模型。用数学语言表述问题，包含模型假设、模型结构等，除了需要广博知识和足够经验之外，尤其需要丰富想象力和敏锐洞察力。n想象力想象力指人们在原来知识基础上，将新感知形象与记忆中形象相互比较、重新组合、加工处理，创造出新形象，是一个形象思维活动。洞洞察力察力知人们在充分占有资源基础上，经过初步分析能快速抓住主要矛盾，舍弃次要原因，简化问题层次，对能够用哪些方法处理面临问题，以及不一样方法优劣作出判断。n比类方法和理想化方法是建模中惯用方法，它们利用与想象力、洞察力有亲密关系。类比法类比法注意到研究对象与已熟悉另一对象含有一些共性，比较二者相同之处以取得对研究对象新认识。选择什么对象进行类比，比较哪些相同属性，在一定程度上是靠想象进行。将交通流与水流类比来建立交通流模型是这方面例子。理想化方法理想化方法是从观察和经验中经过想象和逻辑思维，把对象简化、纯化，使其升华到理想状态，以期更本质地揭示对象固有规律。在一定条件下把物体看作质点，把实际位置看成数学上点、线等理想化结果。第11页n直觉和灵感在数学建模中往往也起着不可忽略作用。直觉直觉是人们对新事物本质极敏锐领悟、了解或推断，灵感灵感指在人们有意识或下意识思索过程中迸发出来猜测、思绪或判断。二者都含有突发性，且思维者本人往往说不清它来路和道理。当因为各种限制利用已经有知识难以对研究对象作出有效推理和判断时，凭借相同、类比、猜测，外推等思维方式及不完整、不连续、不严密，带启发性直觉和灵感，去“战略性”地认识对象，是人类创造性思维特点之一，也是人脑比按程序逻辑工作计算机、机器人高明之处。直觉和灵感不是凭空产生，它要求人们含有丰富背景知识，对问题进行重复思索和艰难探索对各种思维方法利用娴熟。相互讨论和思想交锋，尤其是不一样专业组员之间探讨，是激发直觉和灵感主要原因。n掌握建模这门艺术，培养想象力和洞察力，需要作好这么两条：第一，学习、分析、评价、改造他人作过模型。首先弄懂它，分析为何这么作，然后找出它优缺点，并尝试改进方法。第二，要亲自动手，踏实地做几个实际题目。为了这个目标，本课程主要将采取实例研究实例研究方法。第12页第一章初等模型n所谓初等模型就是能够经过初等数学或高等数学中一些基本方法建立模型。n以下主要是希望经过一些初等模型分析和讲解，首先让学生体会到怎样将一个实际问题归结为数学问题，并用数学原理进行分析求解；其次是让学生体会数学建模普通步骤；再是让学生知道编程计算在数学建模中主要性。第13页n问题跑步问题n某人在任何5min时间区间内均不能恰好跑500m，问10min 内能否恰好跑1000m。提醒：n问题方桌问题 n把椅子往不平地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而只需稍微挪动几次，就能够使四只脚同时着地，放稳了。这个看来似乎与数学无关现象能用数学语言给以表述，并用数学工具来证实吗？第14页n问题商人过河问题n三名商人各带一个随从乘船过河，一只小船只能容纳两人，有他们自己划船。随从们密约，在河任何一岸，一旦随从人数比商人多，就杀人越货，不过怎样乘船渡河大权掌握在商人们手中，商人们怎样才能安全渡河呢？模型组成 记分别表示地k次渡河前此岸定义为状态，商人数和随从数，显然允许状态集为第15页分别表示地k次渡船上商人数和随从数，为决议变量；允许决议集为状态转移方程第16页n问题相识问题问题相识问题n在6人集会上，假定认识是相互，则总能找到或者3个人相互都认识，或者3个人谁都不认识谁。请问这个结论正确吗？n问题棋子颜色改变问题问题棋子颜色改变问题n任意拿出黑白两种颜色棋子共8个，排成以下列图所表示一个圆圈。然后在两颗颜色相同棋子中间放一颗黑色棋子，在两颗颜色不一样棋子中间放一颗白色棋子，放完后撤掉原来所放棋子。在重复以上过程，这么放一圈后就拿走前次一圈棋子，问这么重复进行下去各棋子颜色会怎样改变呢？第17页n问题双层玻璃功效问题问题双层玻璃功效问题n你是否注意到北方城镇一些建筑物窗户是双层，你是否注意到北方城镇一些建筑物窗户是双层，即窗户上装两层玻璃且中间留有一定空隙，以即窗户上装两层玻璃且中间留有一定空隙，以下列图所表示，两层厚度为下列图所表示，两层厚度为d玻璃夹着一层厚玻璃夹着一层厚度为度为l空气。听说这么做是为了保暖，即降低空气。听说这么做是为了保暖，即降低室内向室外热量流失。我们要建立一个模型来室内向室外热量流失。我们要建立一个模型来描述热量经过窗户传导（即流失）过程，并将描述热量经过窗户传导（即流失）过程，并将双层玻璃窗与用一样多材料做成单层玻璃窗双层玻璃窗与用一样多材料做成单层玻璃窗（以下列图，玻璃厚度为（以下列图，玻璃厚度为2d）热量传导进行对）热量传导进行对比，对双层玻璃窗能够降低多少热量损失给出比，对双层玻璃窗能够降低多少热量损失给出定量分析结果。定量分析结果。第18页记双层窗内层玻璃外侧温度是，外层玻璃内侧温度是，玻璃热传导系数是，空气热传导系数是 故单位时间单位面积热量传导（热量流失）为第19页 由上式能够得二者之比为显然 由物理学相关知识，有 第20页n问题水流出时间问题问题水流出时间问题n一横截面积为常数，高为水池内盛满了水，由池底一横截面积为小孔放水。设水从小孔流出速度为，在任意时刻水面高度和将水放空所需时间。第21页n问题公平席位分配问题问题公平席位分配问题n某学校有某学校有3个系共个系共200名学生，其中甲系名学生，其中甲系100名，名，乙系乙系60名，丙系名，丙系40名。若学生代表会议设名。若学生代表会议设20个席位，公平而又简单席位分配方法是按学生个席位，公平而又简单席位分配方法是按学生人数百分比分配，显然甲乙丙三系分别应占有人数百分比分配，显然甲乙丙三系分别应占有10，6，4个席位。个席位。n现在丙系有现在丙系有6名学生转入甲乙两系，各系人数名学生转入甲乙两系，各系人数如表如表1第第2列所表示。仍按百分比（表中第三列）列所表示。仍按百分比（表中第三列）分配席位时出现了小数（表中第分配席位时出现了小数（表中第4列），在将列），在将取得整数取得整数10席分配完成后，三系同意剩下席分配完成后，三系同意剩下1席席参考所谓通例分给百分比中小数最大丙系，于参考所谓通例分给百分比中小数最大丙系，于是三系仍分别占有是三系仍分别占有10，6，4席（表中第席（表中第5列）。列）。第22页n因为有20个席位代表会议在表决提案时可能出现10：10局面，会议决定下一届增加1席。他们按照上述方法重新分配席位，计算结果见表6，7列。显然这个结果对丙系太不公平，因为总席位增加1席，而丙系却由4席减为3席。n请提出新分配方法。第23页这种席位分配方法称为Q值法 经过分析结构指标以下：第24页初等模型及其计算n划艇比赛成绩问题划艇比赛成绩问题n 赛艇是一个靠桨手划桨前进小船，分单人艇、双人艇、四人艇，八人艇四种。各种艇即使大小不一样，但形状相同。T.A.McMahon比较了各种赛艇1964-1970年四次m比赛最好成绩（包含1964年和1968年两次奥运会和两次世界锦标赛），见表5第1到6列，发觉它们之间有相当一致差异，他认为比赛成绩与桨手数量之间存在着某中联络，于是建立了一个模型来解释这种关系。第25页n上机试验题：n一利用二分法计算以下方程根nsinx=x2n ex+1=5+x+3x2n二问题仿真计算n三问题计算（包含值法和你设计方法）第26页n问题分析：问题分析：赛艇前进时受到阻力主要是艇浸没部分与水之间摩擦力。艇靠桨手力量克服阻力保持一定速度前进。桨手越多，划艇前进动力越大。不过艇与桨手总重量增加会使艇浸没面积加大，于是阻力加大。建模目标是寻找桨手数量与比赛成绩之间数量规律。第27页n从上表中能够看出，桨手数增加时，艇尺寸，及艇重都随之增加，但比值和改变不大。若假定是常数，即各种艇形状一样，则可得到艇浸没面积与排水体积之间关系。若假定是常数，则可得到艇和桨手总重量与桨手数之间关系。另外还需对桨手体重、划桨功率、阻力与艇速关系等方面作出简化且合理假定，才能利用适当物理定律建立需要模型。第28页n模型假设模型假设n各种艇集合形状相同，为常数；艇重与桨手数成正比。这是艇静态特征。n艇速是常数，前进时受阻力与成正比（是艇浸没部分面积）。这是艇动态特征。n全部桨手体重都相同，记作；在比赛中每个桨手划浆功率保持不变，且与成正比。第29页n模型组成模型组成n有名桨手艇总功率np 与阻力f 和速度v乘积成正比，即 （1）由假设2，3代入（1）式可得（2）第30页由假设1，各种艇几何形状相同，若艇浸没面积S与艇某特征尺寸c平方成正比,则艇排水体积A必与c立方成正比于是有 又依据艇重w0与桨手数n成正比，所以艇和桨手总重量也与成正比，即（4）而由阿基米德定律，艇排水体积与总重量w 成正比，即（5）由（3），（4），（5）有 （6）第31页将（6）代入（2）式，当w是常数时得到（7）因为比赛成绩t（时间）与v成反比，所以就得到了（8）模型检验模型检验设t与n关系为对上式两边取对数，得到 利用最小二乘法依据所给数据拟合上式，得到第32页能够看出（8）式与这个结果吻合得相当好。录象机计数器问题录象机计数器问题传统录象机上都有计数器，而没有计时器，一些录音机也有类似情况。这种计数器有什么用呢，让我们从这么一个问题开始：一盘表明180分钟录象带从头转到尾，用时184分钟，计数器从0000变到6061。在某一次使用中录象带已经转过大半，计数器读数为4450，问剩下一段还能否录下一小时节目。假如计数器读数伴随录象带转动是均匀增加，那么因为4450已经显著地超出6041三分之二，即录象带已经转了两小时多，所以显然不能再录一小时节目。不过你细心地观察一下就会发觉，读数并非均匀增加而是先快后慢，这么，回答上面问题就需要知道读数器读数与录象带转过时间之间关系。本节目标就是建立表述这个关系数学模型。第33页首先，我们要找出计数器读数（记n）与录象带转过时间（记t）之间关系，即建立一个数学模型 模型假设模型假设1 录象带线速度是常数v;2 计数器读数n与右轮盘转圈数（m）成正比，m=kn,k为百分比系数；3 录象带厚度是常数w,空右轮盘半径为r；4 初始时刻t=0时n=0 模型建立模型建立由录象带转m圈长度和线速度关系得 考虑到w比r小得多及m=kn易得第34页当然还能够用其它方法得到此式。将上式两个系数分别记为a和b即得 经过试验数据（以下表）经拟合得 a=0.00000261,b=0.0145这么题目中问题就能够处理了。t0102030405060708090n06171141160124032760309634133715t100110120130140150160170184n400442804545480350515291552557526061第35页第36页第37页第38页第39页