线性方程组的迭代省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx
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1、第第3章章 线性方程组迭代求解法线性方程组迭代求解法 n3.1 问题提出问题提出 n3.2 简单迭代简单迭代 n3.3 紧凑迭代紧凑迭代 n3.4 松弛迭代松弛迭代 n3.5 高斯消去法高斯消去法 n3.6 三角分解法三角分解法 n3.7 带状方程组三角分解法带状方程组三角分解法 总目录总目录第1页3.1 问题提出问题提出n化工设计和计算中经常要用到线性方程组。n在精馏塔计算中,依据物料平衡、能量平衡、相平衡等建立了MESH方程后,首先要处理是依据ME方程,计算出各塔板上各组分浓度。依据建立ME方程,经过处理,我们能够得到以下线性方程组:Bi,1 xi,1+Ci,1 xi,2=D1Ai,2 x
2、i,1+Bi,2 xi,2+C2 xi,3=D2Ai,3 xi,2+Bi,3xi3+Ci,3xi,4=D3Ai,jxi,j-1+Bi,jxij+Ci,jxi,j+1=DjAi,N-1 xi,N-2+Bi,N-1 xi,N-1 +Ci,N-1 xi,N=DN-1AiN xi,N-1+Bi,N xiN =DN本章目录本章目录总目录总目录3.13.23.33.43.53.63.7第2页3.1 问题提出问题提出n对方程组AX=t 进行等价变换,结构同解方程组X=MX+y,以此结构迭代关系式:任取初始向量,代入迭代式中,经计算得到迭代序列X(1),X(2),。n若迭代序列X(k+1)收敛,设X(k)极限
3、为X*,对迭代两边取极限即X*=MX*+y,X*是方程组AX=t解,此时称迭代法收敛,不然称迭代法发散。n线性方程组迭代收敛充分必要条件是迭代谱半经:本章目录本章目录总目录总目录3.13.23.33.43.53.63.7第3页3.2 简单迭代简单迭代本章目录本章目录总目录总目录3.13.23.33.43.53.63.7n3.2.1 简单迭代公式简单迭代公式n3.2.2 简单迭代计算机算法简单迭代计算机算法n3.2.3 程序实例程序实例 第4页3.2.1 简单迭代公式简单迭代公式n设有N元线性方程组:写成矩阵形式为AX=t。得到下面同解方程组:(3-1)本章目录本章目录总目录总目录3.13.23
4、.33.43.53.63.7第5页3.2.1 简单迭代公式简单迭代公式n记 ,结构迭代公式:收敛充分必要条件:迭代矩阵B 谱半径迭代矩阵某范数 时,迭代收敛。范数小于1只是判断迭代矩阵收敛充分条件.本章目录本章目录总目录总目录3.13.23.33.43.53.63.7第6页3.2.1 简单迭代公式简单迭代公式 当方程组系数矩阵含有一些性质时,可直接判定由它生成简单迭代矩阵是收敛。其条件以下:n(1)为行对角优阵,即 ,。n(2)为列对角优阵,即 ,。以上两个条件只要满足一个,简单迭代过程就收敛。本章目录本章目录总目录总目录3.13.23.33.43.53.63.7第7页3.2.2 简单迭代计算
5、机算法简单迭代计算机算法为了简单起见,在算法中假定矩阵满足简单迭代要求,即,设系数矩阵满足迭代收敛条件:n1、进行变量定义工作,普通需要系数矩阵变量a()、迭代计算变量x1()、初值变量x0()、方程数n、收敛精度及其它一些可能要用到中间变量。n2、利用循环语句和Inputbox()语句输入方程数、系数矩阵与常数项向量元素及收敛精度要求。精度要求也可直接在程序中表达而不进行输入。本章目录本章目录总目录总目录3.13.23.33.43.53.63.7第8页3.2.2 简单迭代计算机算法简单迭代计算机算法n3、依据公式(3-2)计算bij和yi,并置 n4、利用DOLoop Until 语句进行迭
6、代循环计算及偏差计算,当偏差符合要求时,停顿计算,若偏差不符合要求则将向量X0和X1交换,继续进行迭代循环计算。n5、输出方程组解,。本章目录本章目录总目录总目录3.13.23.33.43.53.63.7第9页3.2.2 简单迭代计算机算法简单迭代计算机算法 实例实例n例 3.1:用简单迭代格式解以下方程组:n解:方程迭代格式:简单迭代收敛。本章目录本章目录总目录总目录3.13.23.33.43.53.63.7第10页n取初始值 ,计算结果由表3-1所表示。012345671-1.5-1.25-0.915-0.9575-1.01445-1.00722-0.99754311.62.082.068
7、1.98641.988442.002312.0019710.91.091.0170.98470.997111.00261.000490.60.480.3550.04250.056950.007230.0013.2.2 简单迭代计算机算法简单迭代计算机算法 实例实例方程组准确解是-1,2,1 表3-1 计算结果本章目录本章目录总目录总目录3.13.23.33.43.53.63.7第11页3.2.3 程序实例程序实例 n(1)求解方程组开启VB程序依次输入2,2,1,5,3,7,10,就能够得到方程解。方程解为:本章目录本章目录总目录总目录3.13.23.33.43.53.63.7第12页3.2.
8、3 程序实例程序实例n(2)求解方程组 开启上面VB程序依次输入3,5,1,3,5,2,7,-1,10,1,3,10,9,就能够得到方程解。方程解为:本章目录本章目录总目录总目录3.13.23.33.43.53.63.7第13页3.3 紧凑迭代紧凑迭代本章目录本章目录总目录总目录3.13.23.33.43.53.63.7n3.3.1 紧凑迭代公式紧凑迭代公式n3.3.2 紧凑迭代计算机算法紧凑迭代计算机算法第14页3.3.1 紧凑迭代公式紧凑迭代公式n在简单迭代中,我们用 值代入方程(3-2)中计算出 值,计算公式是:已算出分量直接代入迭代式中,及时使用最新计算出分量值。所以 计算 公式可改为
9、:本章目录本章目录总目录总目录3.13.23.33.43.53.63.7第15页3.3.1 紧凑迭代公式紧凑迭代公式n结构 方程组紧凑迭代格式步骤与简单迭代类似,设 ;n将式(3-1)中每个方程 留在方程左边,其余各项都移到方程右边;方程两边除以 ,得到下面同解方程组:本章目录本章目录总目录总目录3.13.23.33.43.53.63.7第16页3.3.1 紧凑迭代公式紧凑迭代公式n记,对方程组对角线以上取第步迭代数值,对角线以下取第步迭代数值,结构紧凑迭代形式:(3-3)本章目录本章目录总目录总目录3.13.23.33.43.53.63.7第17页3.3.1 紧凑迭代公式紧凑迭代公式 实例实
10、例n例3.2:用紧凑迭代格式解方程组n解:方程迭代格式:取初始值 有 时,时,本章目录本章目录总目录总目录3.13.23.33.43.53.63.7第18页3.3.1 紧凑迭代公式紧凑迭代公式 实例实例计算结果由表3.2所表示。012340-2.5-0.93-1.0062-0.99970802.11.9941.99962.000701.040.99360.9999640.9999641.50.570.070.006本章目录本章目录总目录总目录3.13.23.33.43.53.63.7第19页3.3.2 紧凑迭代计算机算法紧凑迭代计算机算法 比较二者程序,能够发觉,紧凑迭代格式程序上所作修改:n
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