《密码学数学基础》习题集.doc
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1、北京电子科技学院密码学数学基础习题集信息安全系密码教研室2015 年 10 月目录第一章 带余除法.3一、整数的最大公因子及其表示.3二、多项式的最大公因子及其表示. 7三、标准分解和最小公倍数. 9四、其他类型题. 11第二章同余方程. 12一、同余性质(剩余系). 12二、模幂运算. 14三、模逆运算. 16四、一次同余方程求解. 18第三章 原根计算.26一、阶、原根、指数. 26二、阶的计算. 30三、原根的计算. 32四、综合. 36第四章 二次剩余.38第五讲群. 49一、群的概念. 49二、循环群的生成元求解(可求原根) . 49三、子群及其陪集. 50四、置换群上的计算. 53
2、五、群同态. 54第六章环的性质. 55一、环的概念. 55二、商环. 57第七章域上计算. 58第一章 带余除法重点概念:最大公因子、辗转相除法、标准分解式重点内容:用辗转相除法求解最大公因子及其表示。一、整数的最大公因子及其表示1.(288,392)8,2.设 a = 1435, b = 3371,计算 (a, b)。答: 3371 = 2 ?1435 + 5011435 = 2 ? 501+ 433501 = 433 + 68433 = 6 ? 68 + 2568 = 2 ? 25 + 1825 = 18 + 718 = 2 ? 7 + 47 = 4 + 34 = 3 +13 = 3?1
3、所以 (1435,3371) = 13.用辗转相除法求整数 x,y,使得 1387x - 162y = (1387, 162)。答:用辗转相除法,如下表计算:x-yq138710162018911-8171-191202-17311-760199-7712-161374173-625x=73,y=625, (1387, 162)=1.4.计算:(27090, 21672, 11352)。答:(27090, 21672, 11352) = (4386, 10320, 11352) = (4386, 1548, 2580)= (1290, 1548, 1032) = (258, 516, 1032
4、) = (258, 0, 0) = 258。5.用辗转相除法计算以下数组的最大公因子。(1) (1046,697)(2) (2030 1044)解:(1) 1046 = 1 697 + 349697 = 1349+ 348349 = 1?348 +1348 = 348?1因此 (1046,697)=1(2)2030 = 1?1044+9861044 = 1? 986 + 58986 = 17 ?58因此 (2030 1044)=586.用辗转相除法计算以下数组的最大公因子(1) (2104,2720,1046)(2) (27090, 21672,11352)解:(1) 先求出 (2104,27
5、20) 的公因子 d1 ,再求 (d1,1046) 的公因子 d 2 , d 2 即为最终要求的公因子。因此:2720 = 1? 2104+6162104 = 3? 616+256616=2? 256+104256 = 2?104+48104=2? 48+848=6?8因此 (2104, 2720) = 8,再求 (8,1046),1046 = 130?8 + 6,8 = 1? 6 + 26 = 3? 2因此 (2104, 2720,1046) = 2(2) 先求出 (27090, 21672)的公因子 d1 ,再求 (d1,11352) 的公因子 d 2 , d 2 即为最终要求的公因子。因
6、此:27090 = 1? 21672+541821672 = 4 ? 5418因此 (27090, 21672) = 5418,再求 (5418,11352),11352 = 2 ? 5418 + 5165418 = 10 ? 516 + 258516 = 2 ? 258因此 (27090, 21672,11352) = 2587.用辗转相除法求以下数组的最大公因子,并把它表示为这些数的整系数线性组合。(1) 1387,162(2) 2046,1620解:(1) 用列表法可求出 (1387,162) 的公因子及相应的系数组合,如表 1 所示:表 1 求 (1387,162) 的公因子及相应系数
7、uvq138710162917120119201-12-79-161-89-1760-771378113114173-62520由上表可得: (1387,162) = 1 = 1387? 73 + 162? (-625) 。(2) 用列表法可求出 (2046,1620) 的公因子及相应的系数组合,如表 2 所示:表 2 求 (2046,1620) 的公因子及相应的系数组合uvq204610162042634284601-34-191-14-5241314140由上表可得: (2046,1620) = 6 = 1387 ? (-19) + 162? 24 。8.计算 4389,5313,399
8、的最大公因子,并把它表示为这些数的整系数线性组合。解:先求 4389 与 5313 的最大公因子,如下表 3,公因子为 213。再求 213与 399 的最大公因子,如表 4,公因子为 21。表 3 求 4389 与 5313 的最大公因子表 4 求 213 与 399 的最大公因子uvquvq53131039910438992469323101-451-15-61413231168634201-131-12-51121021-4720又由表 3、4 可分别得到如下两式:231 = 5313? 5 + 4389 ? (-6)21 = 399 ? (-4) + 231? 7(1)(2)将(2)式
9、的 231 用(1)式等式右边代替并化解可得如下式:21 = 399 ? (-4) + 5313? 35 + 4389 ? (-42)所以得到 4389,5313,399 的最大公因子为 21,及其相应系数组合为-42,35,-4。二、多项式的最大公因子及其表示1、求有理数域上多项式的最大公因式 ( f (x), g(x) ,其中f (x) = x5 + x4 + x2 + 2x + 1,g (x) = x4 + x3 + x2 + 2x + 1.答:用辗转相除法计算如下x5 + x4 + x2 + 2x + 1 = x(x4 + x3 + x2 + 2x + 1) - x3 - x2 + x
10、 + 1x4 + x3 + x2 + 2x + 1 = -x(-x3 - x2 + x + 1) + (2x2 + 3x + 1)-x3 - x2 + x + 1 =12x(2x2 + 3x + 1) +3x 34 48 4 3x 33 3 4 4因此 ( f (x), g(x) = x + 12、求有理数域上多项式的最大公因式 ( f (x), g(x) ,并计算 u(x), v(x) ,使得( f (x), g(x) = u(x) f (x) + v(x)g(x) ,其中f (x) = x5 + x3 + x2 + 1,g (x) = x 4 + x 2 + x - 1.答:由列表法可求出
11、 ( f (x), g(x) 的公因子及相应系数组合,如表 5 所示:表 5 求 ( f (x), g(x) 的公因子及相应的系数组合u( x)v( x)q+2x2 + 3x + 1 = ( x + )(+ ) = (2x + 1)(x + 1)x5 + x3 + x2 + 110x4 + x2 + x -1x +1011- xxx3 - x2 + 2x -10因此 ( f (x), g(x) = x + 1 = (1)(x5 + x3 + x2 + 1) + (-x)(x4 + x2 + x - 1)m ( x) = 1v( x) = - x3、求二元域上多项式的最大公因式 ( f (x),
12、 g(x) ,其中f (x) = x5 + x3 + x2 + 1,g (x) = x4 + x 2 + 1.答:用辗转相除法计算如下x5 + x3 + x2 + 1 = x(x4 + x2 + 1) + x2 + x + 1x4 + x2 + 1 = (x2 + x + 1)(x2 + x + 1)因此 ( f (x), g(x) = x2 + x + 14、 f (x), g(x) ? F2x 且有f (x) = x6 + x5 + x4 + x3 ,g (x) = x5 + x 2 + x + 1.求 m(x) 和n (x) ,使得 ( f (x), g(x) = m(x) f (x)
13、+ g(x)n (x)。答:由列表法可求出 ( f (x), g(x) 的公因子及相应系数组合,如表 6 所示:表 6 求 ( f (x), g(x) 的公因子及相应的系数组合u( x)v( x)qx6 + x5 + x4 + x310x5 + x2 + x + 101x +1x 4 + 1x 2 + 11xx +1x2 + x +1xx 2 + 10因此 ( f (x), g(x) = x2 + 1 = x(x6 + x5 + x4 + x3 ) + (x2 + x + 1)(x5 + x2 + x + 1)m(x) = xv(x) = x2 + x + 15.求有理数域上多项式的最大公因式
14、( f (x), g(x) ),其中f (x) = x5 + x4 + x2 + 2x + 1,g (x) = x4 + x3 + x2 + 2x + 1.答: ( f (x), g(x) = x + 1。6.求有理数域上多项式的最大公因式( f (x), g(x) ),并计算 u(x), v(x) ,使得( f (x), g(x) = u(x) f (x) + v(x)g(x) ,其中f (x) = x5 + x3 + x2 + 1,g (x) = x 4 + x 2 + x - 1.答: x +1 = f (x) - xg(x) 。三、标准分解和最小公倍数1. 288,392 14112。
15、212600 的标准分解式是_2332527。3.547 是_.(填“素数”或“合数”)。3528 的标准分解式是_23*32*72_。4.计算以下数组的最小公倍数。(1) 1046,697(2) 2030 1044(3) 195, 72,90(4) 2104,2720,1046,解:(1) 由第 2 题计算得 (1046,697)=1,因此 1046,697=1046? 697=729062。(2) 由第 2 题计算得 (2030 1044)=58 ,因此 2030 1044=2030 ?1044 ? 58=36540 。(3) 由辗转相除法可计算得 (195,72,90) = 3,因此19
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