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数量值函数的积分学市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx
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1、 第九章第九章 数量值函数积分学数量值函数积分学 9.1 9.1 二重积分概念及性质二重积分概念及性质 9.2 9.2 二重积分计算二重积分计算 9.3 9.3 三重积分及其计算三重积分及其计算 9.4 9.4 第一型(对弧长)曲线积分第一型(对弧长)曲线积分 9.5 9.5 第一型(对面积)曲面积分第一型(对面积)曲面积分 9.6 9.6 数量值函数积分学应用数量值函数积分学应用第1页曲顶柱体体积曲顶柱体体积=?特点特点:曲顶:曲顶.1.曲顶柱体体积曲顶柱体体积问题提出问题提出一一.二重积分定义二重积分定义9.1 二重积分概念及性质曲顶柱体曲顶柱体.柱体体积柱体体积=底面积底面积高高特点特点
2、:平顶:平顶.第2页求曲顶柱体体积采取求曲顶柱体体积采取“分割、近似代替、求分割、近似代替、求和、取极限和、取极限”方法,以下动画演示方法,以下动画演示第3页求曲顶柱体体积采取求曲顶柱体体积采取“分割、近似代替、求分割、近似代替、求和、取极限和、取极限”方法,以下动画演示方法,以下动画演示第4页求曲顶柱体体积采取求曲顶柱体体积采取“分割、近似代替、求分割、近似代替、求和、取极限和、取极限”方法,以下动画演示方法,以下动画演示第5页求曲顶柱体体积采取求曲顶柱体体积采取“分割、近似代替、求分割、近似代替、求和、取极限和、取极限”方法,以下动画演示方法,以下动画演示第6页求曲顶柱体体积采取求曲顶柱体
3、体积采取“分割、近似代替、求分割、近似代替、求和、取极限和、取极限”方法,以下动画演示方法,以下动画演示第7页返回返回求曲顶柱体体积采取求曲顶柱体体积采取“分割、近似代替、求分割、近似代替、求和、取极限和、取极限”方法,以下动画演示方法,以下动画演示第8页(3)曲顶柱体体积曲顶柱体体积:曲顶柱体体积为曲顶柱体体积为:步骤以下步骤以下 第9页2.求平面薄板质量求平面薄板质量(3)薄板总质量:薄板总质量:第10页定义第11页积分区域积分区域积分区域积分区域积分和积分和积分和积分和被积函数被积函数被积函数被积函数积分变量积分变量积分变量积分变量被积表被积表被积表被积表示式示式示式示式面积元素面积元素
4、面积元素面积元素积分号积分号积分号积分号第12页用平行于坐标轴直线网来划分区域用平行于坐标轴直线网来划分区域 ,故二重积分可写为故二重积分可写为第13页二重积分几何意义:二重积分几何意义:物理意义:物理意义:平面薄板质量平面薄板质量第14页二.二重积分性质性质性质1性质性质 2性质性质 3(积分区域(积分区域可加性)可加性)第15页性质性质 4性质性质 5(不等式性质)(不等式性质)第16页性质性质 6(估值定理)(估值定理)证证证毕证毕第17页性质性质 7(中值定理)(中值定理)中值公式中值公式 .第18页证证证毕证毕第19页性质性质8(对称性对称性)xyOD1D第20页 xyOD1Dxy第
5、21页解解由性质由性质 6 得得第22页解解由性质由性质 6 得得第23页解解第24页解解第25页解解(1)积分区域如图所表示)积分区域如图所表示xy1-11OD第26页-111xyD解解第27页积分区域如图所表示,积分区域如图所表示,解解第28页9.2 二重积分计算直角坐标系下二重积分计算直角坐标系下二重积分计算一.化二重积分为二次积分第29页其中函数其中函数 、在区间在区间 上连续上连续.是平行于是平行于 y 轴直线部分除外)轴直线部分除外)特点特点:假如积分区域为假如积分区域为 :第30页第31页其中函数其中函数 、在区间在区间 上连续上连续.特点特点:是平行于是平行于 轴直线部分除外)
6、轴直线部分除外)同理同理假如积分区域为假如积分区域为 :第32页二重积分在直角坐标下计算公式二重积分在直角坐标下计算公式第33页第34页若区域如图,若区域如图,在分割后三个区域上分别在分割后三个区域上分别使用积分公式使用积分公式:则必须分割则必须分割.第35页解解第36页解解第37页第38页解解第39页注注:化二重积分为二次积分化二重积分为二次积分,既要依据积分区域形状既要依据积分区域形状,又要注意被积函数特点选择简便易算积分次序又要注意被积函数特点选择简便易算积分次序.画出积分区域草图往往有利于做出正确选择画出积分区域草图往往有利于做出正确选择.第40页要改变积分次序!要改变积分次序!解解第
7、41页解解所围成所围成.说明积分区域说明积分区域由由第42页解解例例6 6第43页解解 曲面围成立体如图:曲面围成立体如图:第44页例例 证证 第45页二.二重积分变量代换1.极坐标变换第46页(不记高阶无穷小)(不记高阶无穷小)可看成以可看成以第47页在极坐标下二重积分化为二次积分公式在极坐标下二重积分化为二次积分公式:(1)极点位于积分区域极点位于积分区域 第48页第49页第50页极坐标系下区域面积极坐标系下区域面积第51页解解第52页第53页注注:第54页解解第55页解解第56页解解 第57页第58页解解 设设例例4求概率积分求概率积分第59页第60页解解第61页2.二重积分普通变量代换
8、第62页(证实略)(证实略)第63页解解第64页证证第65页 证毕证毕第66页解解(第一卦(第一卦 限部分)限部分)第67页9.3 三重积分及其计算问题提出问题提出 设有非均匀物体占有空间区域设有非均匀物体占有空间区域 ,其上各点其上各点(x,y,z)处密度为连续函数处密度为连续函数 f(x,y,z),求该物体质量求该物体质量.求空间非均匀物体求空间非均匀物体质量质量.yxzO第68页定义定义第69页三重积分物理意义三重积分物理意义:空间物体质量:空间物体质量第70页1.在直角坐标系下计算三重积分在直角坐标系下计算三重积分 三重积分计算化三重积分为三次积分化三重积分为三次积分第71页第72页依
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