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第一篇 函数、极限与连续

第一章 函数、极限与连续

高等数学的主要内容是微积分，微积分是以变量为研究对象，以极限方法为基本研究手段的数学学科.本章首先复习函数相关内容，继而介绍极限的概念、性质、运算等知识，最后通过函数的极限引入函数的连续性概念，这些内容是学习高等数学课程极其重要的基础知识.

第1节 集合与函数

1.1 集合

1.1.1 集合

讨论函数离不开集合的概念.一般地，我们把具有某种特定性质的事物或对象的总体称为集合，组成集合的事物或对象称为该集合的元素.
通常用大写字母、、、表示集合，用小写字母、、、表示集合的元素.
如果是集合的元素，则表示为，读作“属于”；如果不是集合的元素，则表示为，读作“不属于”.
一个集合，如果它含有有限个元素，则称为有限集；如果它含有无限个元素，则称为无限集；如果它不含任何元素，则称为空集，记作.
集合的表示方法通常有两种：一种是列举法，即把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合.例如，有1,2,3,4,5组成的集合，可表示成
={1,2,3,4,5}；
第二种是描述法，即设集合所有元素的共同特征为，则集合可表示为
.
例如，集合是不等式的解集，就可以表示为
.
由实数组成的集合，称为数集，初等数学中常见的数集有：

（1）全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作，即
；
（2）所有正整数组成的集合称为正整数集，记作，即
；
（3）全体整数组成的集合称为整数集，记作，即
；
（4）全体有理数组成的集合称为有理数集，记作，即
；
（5）全体实数组成的集合称为实数集，记作.

1.1.2 区间与邻域

在初等数学中，常见的在数集是区间.设，且，则
（1）开区间 ；
（2）半开半闭区间 ，；
（3）闭区间 ；
（4）无穷区间 ， ，，
，.
以上四类统称为区间，其中（1）-（4）称为有限区间，（5）-（8）称为无限区间.在数轴上可以表示为（图1-1）：

（1） （2）

（3） （4）

（5） （6）

（7） （8）
图 1-1
在微积分的概念中，有时需要考虑由某点附近的所有点组成的集合，为此引入邻域的概念.
定义1 设为某个正数，称开区间为点的邻域，简称为点的邻域，记作，即
.
在此，点称为邻域的中心，称为邻域的半径，图形表示为（图1-2）：

图1-2
另外，点的邻域去掉中心后，称为点的去心邻域，记作，即
,
图形表示为（图1-3）：

图1-3
其中称为点的左邻域，称为点的右邻域.
1.2函数的概念

1.2.1函数的定义
定义2 设、是两个变量，是给定的数集，如果对于每个，通过对应法则，有唯一确定的与之对应，则称为是的函数，记作.其中为自变量，为因变量，为定义域,函数值的全体成为函数的值域，记作，即
.
函数的记号是可以任意选取的, 除了用 外, 还可用“”、“”、“”等表示. 但在同一问题中, 不同的函数应选用不同的记号.
函数的两要素：函数的定义域和对应关系为确定函数的两要素.
例1 求函数的定义域.
解 的定义区间满足：；的定义区间满足：，解得.
这两个函数定义区间的公共部分是
.
所以，所求函数定义域为.
例2 判断下列各组函数是否相同.
（1），；
（2），；
（3），.
解 （1）的定义域为，的定义域为.两个函数定义域不同，所以和不相同.
（2）和的定义域为一切实数.,所以和是相同函数.
（3），,故两者对应关系不一致，所以和不相同.
函数的表示法有表格法、图形法、解析法(公式法)三种.常用的是图形法和公式法两种.在此不再多做说明.
函数举例:
例3 函数，函数为符号函数，定义域为，值域. 如图1-4：

图1-4
例4 函数，此函数为取整函数，定义域为， 设为任意实数, 不超过的最大整数，值域. 如图1-5：

图1-5
特别指出的是，在高等数学中还出现另一类函数关系，一个自变量通过对于法则有确定的值与之对应，但这个值不总是唯一.这个对应法则并不符合函数的定义，习惯上我们称这样的对应法则确定了一个多值函数.

1.2.2 函数的性质
设函数，定义域为，.
（1）函数的有界性
定义3 若存在常数，使得对每一个，有，则称函数在上有界.
若对任意，总存在，使，则称函数在上无界.如图1-6：

图1-6
例如 函数 在上是有界的:.函数 在内无上界，在内有界.
（2）函数的单调性
设函数在区间上有定义, 及为区间上任意两点, 且.如果恒有, 则称在上是单调增加的；如果恒有, 则称在上是单调递减的.单调增加和单调减少的函数统称为单调函数（图1-7）.

图1-7
（3）函数的奇偶性
设函数的定义域关于原点对称.如果在上有, 则称为偶函数；如果在上有, 则称为奇函数.
例如，函数，由于，所以是偶函数；又如函数，由于，所以是奇函数.如图1-8：

图1-8
从函数图形上看，偶函数的图形关于轴对称，奇函数的图形关于原点对称.

(4)函数的周期性
设函数的定义域为. 如果存在一个不为零的数,使得对于任一有, 且, 则称为周期函数, 称为的周期.如果在函数的所有正周期中存在一个最小的正数，则我们称这个正数为的最小正周期.我们通常说的周期是指最小正周期.
例如，函数和是周期为的周期函数，函数和是周期为的周期函数.
在此，需要指出的是某些周期函数不一定存在最小正周期.
例如，常量函数，对任意实数，都有，故任意实数都是其周期，但它没有最小正周期.
又如，狄里克雷函数
，
当时，对任意有理数，，必有，故任意有理数都是其周期，但它没有最小正周期.

1.3 反函数
在初等数学中的函数定义中，若函数为单射,若存在，称此对应法则为的反函数.
习惯上,的反函数记作
.
例如，指数函数的反函数为，图像为（图1-9）

图1-9
反函数的性质：
（1）函数 单调递增(减)，其反函数存在，且也单调递增（减）.
（2）函数与其反函数的图形关于直线对称.
下面介绍几个常见的三角函数的反函数：
正弦函数的反函数，正切函数的反函数.
反正弦函数的定义域是，值域是；反正切函数的定义域是，值域是，如图1-10：
9
图1-10

1.4复合函数

定义4 设函数，函数，则

称为由复合而成的复合函数，其中为中间变量.
注：函数与函数构成复合函数的条件是，否则不能构成复合函数.
例如，函数，.在形式上可以构成复合函数
.
但是的值域为，故没有意义.
在后面的微积分的学习中，也要掌握复合函数的分解，复合函数的分解原则：
从外向里，层层分解，直至最内层函数是基本初等函数或基本初等函数的四则运算.
例5 对函数分解.
解 由，复合而成.
例6 对函数分解.
解 由，，复合而成.

1.5初等函数

在初等数学中我们已经接触过下面各类函数：
常数函数：（为常数）；
幂函数：；
指数函数：；
对数函数：；
三角函数：；
反三角函数：.
这六种函数统称为基本初等函数.

定义5 由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合步骤所构成的并用一个式子表示的函数，称为初等函数.
例如，，，等都是初等函数.
需要指出的是，在高等数学中遇到的函数一般都是初等函数，但是分段函数不是初等函数，因为分段函数一般都有几个解析式来表示.但是有的分段函数通过形式的转化，可以用一个式子表示，就是初等函数.例如，函数
，
可表示为.

习题 1-1

1.求下列函数的定义域.
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）； （6）.
2.下列各题中，函数和是否相同，为什么？
（1），； （2），；
（3），； （4），.
3.已知的定义域为，求下列函数的定义域.
（1）； （2）； （3）.
4.设，求，.
5.判断下列函数的奇偶性.
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）.
6.设下列考虑的函数都是定义在区间上的，证明：
（1）两个偶函数的和是偶函数，两个奇函数的和是奇函数；
（2）两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数，偶函数和奇函数的乘积是奇函数.
7.下列函数中哪些是周期函数？如果是，确定其周期.
（1）； （2）；
（3）； （4）.
8.求下列函数的反函数.
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）.
9.下列函数是有哪些函数复合而成的.
（1）； （2）；
（3）； （4）.
10.设，，求，，.

第2节 极限

极限在高等数学中占有重要地位，微积分思想的构架就是用极限定义的. 本节主要研究数列极限、函数极限的概念以及极限的有关性质等内容.

2.1 数列的极限

2.1.1 数列的概念
定义1 若按照一定的法则，有第一个数，第二个数a2，…，依次排列下去，使得任何一个正整数n对应着一个确定的数，那么，我们称这列有次序的数a1，a2，…，an，…为数列.数列中的每一个数叫做数列的项。第n项叫做数列的一般项或通项.
例如
；
；
；

都是数列，它们的一般项依次为
，，，.
我们可以看到，数列值随着n变化而变化，因此可以把数列看作自变量为正整数的函数，即

另外，从几何的角度看，数列对应着数轴上一个点列，可看作一动点在数轴上依次取a1，a2，，，，在数轴上表示为（图1-11）：

图1-11
2.1.2 数列极限的定义

数列极限的思想早在古代就已萌生，我国《庄子》一书中著名的“一尺之锤，日取其半，万世不竭”，魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，用圆内接多边形的
面积去逼近圆的面积，都是极限思想的萌芽.
设有一圆，首先作圆内接正六边形，把它的面积记为；再作圆的内接正十二边形，其面积记为；再作圆的内接正二十四边形，其面积记为；依次进行下去，一般把内接正边形的面积记为，可得一系列内接正多边形的面积：
，，，…，，…，
它们就构成一列有序数列.可以发现，当内接正多边形的边数无限增加时，也无限接近某一确定的数值(圆的面积)，这个确定的数值在数学上被称为数列当时的极限.
在上面的例子中，数列如图1-12：

图1-12
当时，无限接近于常数0，则0就是数列当时的极限.
再如数列：当时，无限接近于常数1，则1就是数列当时的极限；而数列：当时，在1和-1之间来回震荡，无法趋近一个确定的常数，故数列当时无极限.由此推得数列的直观定义：
定义2 设是一数列，是一常数.当n无限增大时（即），无限接近于，则称为数列当时的极限，记作
或 an→a （n→∞）．
在上例中，
，，
对于数列，其极限为，即当n无限增大时，无限接近于.如何度量与无限接近呢？
一般情况下，两个数之间的接近程度可以用这两个数之差的绝对值来度量，并且
越小，表示与越接近.
例如数列，通过观察我们发现当n无限增大时，无限接近0，即0是数列当时的极限.下面通过距离来描述数列的极限为0.
由于

当n越来越大时，越来越小，从而越来越接近于0. 当n无限增大时，无限接近于0.
例如，给定，要使，只要即可.也就是说从101项开始都能使

成立.
给定，要使，只要即可.也就是说从10001项开始都能使

成立.
一般地，不论给定的正数多么的小，总存在一个正整数，使得当时，不等式

都成立.这就是数列当时极限的实质.
根据这一特点得到数列极限的精确定义.
定义3 设是一数列，是一常数.如果对任意给定的正数，总存在正整数，使得当时，不等式

都成立，则称是数列的极限，或称数列收敛于.记作.
反之，如果数列的极限不存在，则称数列发散.
在上面的定义中，可以任意给定，不等式表达了与无限接近程度.此外与有关，随着的给定而选定.表示了从项开始满足不等式.
对数列的极限为也可以略写为：

数列的极限为的几何解释：
将常数与数列在数轴上用对应的点表示出来，从项开始，数列的点都落在开区间内，而只有有限个(至多只有N个)在此区间以外（图1-13）.

图1-13
例1 证明数列极限.
证明 由于

对，要使

即取当时，有由极限的定义知

例2 证明数列极限.

证明 由于

对，要使

即取当时，有由极限的定义知
.
注：在利用数列极限的定义来证明数列的极限时，重要的是要指出对于任意给定的正数，正整数确实存在，没有必要非去寻找最小的.
例3 证明数列极限.
证明 由于

对，要使

即取对数得.取，当时，有由极限的定义知
.

2.2 数列极限的性质

定理1(极限的唯一性) 收敛数列的极限必唯一.
证明 （反证法）假设同时有及, 且，不妨设a<b.
按极限的定义, 对于>0, 由于，存在充分大的正整数, 使当时, 有
,
有
.
由于，存在充分大的正整数, 使当时, 有
,
有
.
取，则当时，同时有和成立，这是不可能的，故假设不成立.收敛数列的极限必唯一.
定理2(收敛数列的有界性) 如果数列收敛, 那它一定有界. 即对于收敛数列，必存在正数，对一切，有
证明 设， 根据数列极限的定义, 取e =1, 存在正整数N, 当时, 不等式

都成立. 于是当时,
.
取，那么数列中的一切都满足不等式.这就证明了数列是有界的.
定理2说明了收敛数列一定有界，反之不成立.
例如，数列有界，但是不收敛.
定理3(收敛数列的保号性)
如果, 且(或), 那么存在正整数N, 当时, 有(或).
证明 就的情形. 由数列极限的定义, 对,, 当时, 有
,
从而
.
推论 如果数列从某项起有(或), 且, 那么(或).
定理4(夹逼准则) 如果数列、及满足下列条件:
(1),
(2), ,
那么数列的极限存在, 且.
证明 因为, , 以根据数列极限的定义, "e >0, $, 当时, 有
.
又, 当时, 有
.
现取, 则当 时, 有
,
同时成立. 又因 , 所以当 时, 有
,
即 .
这就证明了.
例4 求证.
证明 由于
，
而，，由夹逼准则知，
.
如果数列满足条件
,
就称数列是单调增加的.
如果数列满足条件
,
就称数列是单调减少的.
单调增加和单调减少数列统称为单调数列.
定理5(单调有界准则) 单调有界数列必有极限.
例5 求数列的极限.
解 证明数列的有界性.
令则 其中，.设，则
.
由归纳法知，对所有的，有故有界.
证明数列的单调性.
已知，，则.设，则
.
由归纳法知，对所有的，有故单调递增.
由单调有界准则知，数列存在极限，设为. 在两边取极限，得
,
解得或.由于收敛数列保号性知舍去. 故所求数列的极限是.
2.3 函数的极限

由于数列可以看做是自变量为的函数：.所以数列的极限为，可以认为是当自变量取正整数且无限增大时，对应的函数值无限接近于常数.对一般的函数而言，在自变量的某个变化过程中，函数值无限接近于某个确定的常数，那么这个常数就叫做在自变量在这一变化过程的极限.这说明函数的极限与自变量的变化趋势有关，自变量的变化趋势不同，函数的极限也会不同.
下面主要介绍自变量的两种变化趋势下函数的极限.

2.3.1 自变量时函数的极限

引例 观察函数当时的变化趋势（图1-14）.

图1-14
从图1-14可以看出，当无限增大时，函数无限接近于0（确定的常数）.
由此推得函数在时极限的直观定义：
定义4 设当 x 大于某一正数时有定义，当 x 无限增大时,函数值无限接近于一个确定的常数 ,称为当 x→+∞时的极限. 记作
或 ．
引例中，
类比于数列极限的定义推得当时函数的极限的直观定义：
定义5 设当 x 大于某一正数时有定义，如果存在常数，对任意给定的正数，总存在正数，使得当时，不等式

都成立，则称是函数在时的极限，记作
.
对定义5的简单叙述：

类比当时函数的极限定义，当时函数的极限定义：
定义6 设当 大于某一正数时有定义，如果存在常数，对任意给定的正数，总存在正数，使得当时，不等式

都成立，则称是函数在时的极限，记作
.
对定义6的简单叙述：

在引例中，
结合定义5和定义6，推得函数在时的极限定义：
定义7 设当 大于某一正数时有定义，如果存在常数，对任意给定的正数，总存在正数，使得当时，不等式

都成立，则称是函数在时的极限，记作
.
对定义7的简单叙述：

结合定义7，函数在时的极限存在的充要条件是：

例6 证明.
证明 由于

对，要使

即取当时，有由极限的定义知
.
从几何上看，表示当时，曲线位于直线和之间（图1-15）.

图1-15
这时称直线为曲线的水平渐近线.
例如 ，则是曲线的水平渐近线.
2.3.2 自变量时函数的极限
引例1 观察函数和在时函数值的变化趋势（图1-16）：

图1-16
从图1-16中得出，函数和在时函数值都无限接近于2，则称2是函数和在时的极限.
从上例中看出，虽然和在处都有极限，但在处不定义. 这说明函数在一点处是否存在极限与它在该点处是否有定义无关. 因此，在后面的定义中假定函数在的某个去心邻域内有定义，函数在时函数极限的直观定义：
定义7 函数在的某个去心邻域内有定义.当时，函数的函数值无限接近于确定的常数，称为函数在时的极限.
在定义7中，函数的函数值无限接近于某个确定的常数，表示能任意小，在此同样可以通过对于任意给定的正数，表示. 而可以表示为（>0），体现了接近的程度. 由此得到函数在时函数极限的精确定义：
定义8 函数在的某个去心邻域内有定义.对于任意给定的正数，总存在正数，当满足不等式时，函数满足不等式
，
称为函数在时的极限.记作
或.
定义8简单表述为：

函数在时极限为的几何解释：
对，当时，曲线位于直线和之间，如图1-17：

图1-17
例7 证明为常数.
证明 由于

对，对，当时，都有故

例8 证明
证明 由于

对，要使，即取，当时，都有故

在函数的极限中，既包含从左侧向靠近，又包含从右侧向靠近. 因此，在求分段函数在分界点处的极限时，由于在处两侧函数式子不同，只能分别讨论.
左侧向靠近的情形，记作. 从右侧向靠近的情形，记作.
在定义8中，若把空心邻域改为，则称为函数在时的左极限.记作
或 .
类似地，若把空心邻域改为，则称为函数在时的右极限.记作
或 .
我们把左极限和右极限统称为单侧极限.
根据在时极限的定义推出在时的极限存在的充要条件是左、右极限都存在并且相等，即：
.

例9 讨论函数

当时极限不存在.
解 函数图形（图1-18）如下：

图1-18
载处的左极限为
；
右极限为
.
由于，故不存在.

2.3.3 函数的极限的性质

类比数列极限的性质，可以推得函数极限的性质.由于函数极限自变量的变化趋势有不同的形式，下面仅以为代表讨论.
性质1（唯一性） 若，则极限值是唯一的.
性质2（局部有界性） 若，若存在常数及，当时，有.
性质3（保号性） 若，且（或），若存在，当时，有（或）.
性质4（夹逼准则） 设、、是三个函数，若存在，当时，有
，，
则
.
2.4无穷大与无穷小

在研究函数的变化趋势时，经常会遇到两种特殊情形：一是函数的极限为零，二是函数的绝对值无限增大，即是本节讨论的无穷小和无穷大，以为代表讨论.
2.4.1 无穷小

若，则称函数为时的无穷小.
例如 ，则是时的无穷小.，则是时的无穷小.
在此需要指出的是：（1）无穷小不是很小的数，它表示当时，的绝对值可以任意小的函数. （2）在说一个函数是无穷小时，一定要指明自变量的变化趋势. 同一函数，在自变量的不同变化趋势下，极限不一定为零；在常数里面. （3）0是唯一的无穷小.

2.4.2 无穷大
函数在的某个去心邻域内有定义.对于任意给定的正数，总存在正数，当满足不等式时，函数值满足不等式
，
则称函数为时的无穷大.
按照函数极限的定义，当时无穷大的函数极限是不存在的.为了便于叙述函数的这一性态，习惯上称作函数的极限是无穷大，记作
.
若把定义中改为，称函数极限为正无穷大（或负无穷大），记作
.
在此，同样注意无穷大不是很大的数，不能和很大的数混为一谈.
例如 由于，为时的无穷大，如图1-19.

图1-19
从图形上看，当时，曲线无限接近于直线.
一般地，若，则直线为曲线的铅直渐近线.
在上例中，是曲线的铅直渐近线.

2.4.3 无穷小的性质

性质1 充要条件是，其中为时的无穷小.
证明 ，，当时，都有
.
令，则，即，说明为时的无穷小.
此时.
性质2 在自变量的同一变化过程中，若为无穷大，则为无穷小；若为无穷小，且，则为无穷大.
例如 由于，则.
性质3 有限个无穷小的和是无穷小.
性质4 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
例10 求极限.
解 由于，是有界函数，而.由性质4得
推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小.
推论2 有限个无穷小的乘积是无穷小.
习题1-2

1.根据数列的变化趋势，求下列数列的极限：
（1）； （2）；
（3）； （4）.
2.根据数列极限的定义，证明：
（1）； （2）.
（3）； （4）.
3.设，求证.
4.设数列有界，，求证.
5.根据函数极限的定义，证明：
（1）； （2）；
（3）； （4）.
6.求下列函数在指定点处的左、右极限，并判断在改点处极限是否存在.
（1），在处； （2），在处；
（3），在处.
7.指出下列函数在什么情况下是无穷小，什么情况下是无穷大.
（1）； （2）；
（3）； （4）.
8.求下列函数的极限.
（1）； （2）；
（3）； （4）.
9.求函数的图形的渐近线.
10.利用极限存在准则证明：
（1）； （2）；
（3）数列的极限存在；
（4）数列，的极限存在.

第3节 极限的运算

本节讨论极限的求法，主要内容是极限的四则运算、复合函数的极限运算法则，以及利用这些法则，求某些特定函数的极限.由于函数极限自变量的变化趋势有不同的形式，下面仅以为代表讨论.
3.1 极限的四则运算法则

定理1 如果，则
（1）；
（2）；
（3）若，则
证明 只证.
由于，则
，,
其中是时的无穷小.于是
.
由于仍然是时的无穷小，则
.
其它情况类似可证.
注：本定理可推广到有限个函数的情形.
例1 求
解

例2 求
解
注：在运用极限的四则运算的商运算时，分母的极限.但有时分母的极限，这时就不能直接应用商运算了.
例3 求
解 由于，分母中极限为0，故不能用四则运算计算.
由于，根据无穷小的性质，知

例4 求
解 由于时，分子、分母的极限都为0，记作型.分子分母有公因子，可约去公因子，所以

总结：在求有理函数除法的极限时，
（1）当时，应用极限四则运算法则，；
（2）当，且时，由无穷小的性质，；
（3）当，且时，约去使分子、分母同为零的公因子，再使用四则运算求极限.
例5 求
解 由于时，分子、分母的极限都为，记作型.用去除分子及分母，即

例6 求（1） （2）
解 （1）用去除分子及分母，得
.
（2）用去除分子及分母，求极限得

总结：型的函数极限的一般规律是：当，，为正整数，则
.
例7 求
解 这是型，可以先通分，再计算.

例8 求
解 这是型无理式，可以先进行有理化，再计算.
.
3.2 两个重要极限
3.2.1
作单位圆（图1-20）,

图1-20
取圆心角，设，由图1-20可知，
的面积，
即
，
整理，得
.
不等式两边同时除以，取倒数，得
.
当取值范围换成区间，不等式符号不改变.
当时，，有夹逼准则知

注意：在利用求函数的极限时，要注意使用条件：
（1）极限是型；（2）式中带有三角函数；（3）中的变量一致，都趋向于0.
例9 求
解
例10 求
解
例11 求
解
3.2.2
考虑（正整数）的情形.记，下面证明是单调有界数列.
由于

.
类似地，

.
比较和的展开式，除前两项外，的每一项都小于的对应项，且比多了最后的正数项，所以，即是单调递增数列.
由于

.
即是有界数列.
由极限存在准则知，当时，的极限存在，通常用字母来表示,即
.
可以证明，当取实数而趋向（或）时，函数的极限也存在，且等于. 故当时，
.
令，当时，，上式可变为
，
故极限的另一种形式是

注意：在利用求函数极限时，要注意使用条件：
（1）极限是型；（2）和中的变量一致，且括号内与括号右上角处互为倒数.
例12 求
解
例13 求
解

例14 求
解

3.3 无穷小的比较

引例 当时，、、都是无穷小，而极限
，，.
引例中，在时，三个函数都是无穷小，但比值的极限结果不同，这反映了不同的无穷小趋于0的速度“快慢”不同.
定义 在时，和为无穷小，
（1）如果则称是为高阶无穷小，记作；
（2）如果则称是为低阶无穷小；
（3）如果则称与为同阶无穷小；
（4）如果则称是关于的阶无穷小；
（5）如果则称与为等价无穷小，记作.
显然等价无穷小是同阶无穷小的特殊情形，即.
在上面的例子中，
由于，则当时，是的高阶无穷小，记作；
由于，则当时，是的低阶无穷小；
由于，则当时，是的同阶无穷小；
由于，则当时，是的等价无穷小.
在此，列举出当时，常见的等价无穷小有
；；；；；
；；.
在上述几个无穷小的概念中，最常见的是等价无穷小，下面给出等价无穷小的性质：
定理2 的充要条件是.
证明 以自变量时的极限为例.
必要性 设，则
.
故，即.
充分性 设，则
，
故.
注：其他自变量的变化趋势下同上.
定理3 ，，且存在，则
.
证明 以自变量时的极限为例.

定理3表明，在求两个无穷小之比的的极限时，分子或分母都可用等价无穷小来代替.
例15 求
解 当时，，，则

例16 求
解 当时，，，则

例17 求
解 （错误做法）当时，.则

（正确做法）当时，.则

说明：在代数和中各等价无穷小不能分别替换，在因式中可以用等价无穷小的替换.

习题1-3

1.求下列极限：
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）； （6）；
（7）； （8）；
（9）； （10）；
（11）； （12）；
（13）（常数）； （14）；
（15）； （16）（常数）；
（17）； （18）；
（19）； （20）；
（21）； （22）；
（23）； （24）.
2.已知，求常数.
3.已知，求常数.

第4节 函数的连续性

在自然界中，有许多现象都是连续变化的，如气温的变化、河水的流动、植物的生长等.这种现象在函数关系上的反映，就是函数的连续性.

4.1 函数连续的概念

4.1.1 函数的增量

定义1 设变量从它的一个值变到另一个值，其差称作变量的增量，记作，即.
例如，一天中某段时间，温度从到，则温度的增量.当温度升高时，；当温度降低时，；当时间的改变量很微小时，温度的变化也会很小；当时，.
定义2 对于函数，如果在定义区间内自变量从变到，对应的函数值由变化到，则称为自变量的增量，记作，即
或. （1-4-1）
为函数的增量，记作，即
或. （1-4-2）
注：增量不一定是正的，当初值大于终值时，增量就是负的.

4.1.2 函数连续的概念
设函数在点的某一邻域内有定义，当自变量在这邻域内从变到时，函数增量（图1-21）.

图1-21
假定不变，让变动，也随之变化.如果当无限变小时，也无限变小.根据这一特点，给出函数在处连续的概念.
定义3 设函数在点的某一邻域内有定义，如果
， （1-4-3）
则称函数在点处连续.
设，则当时，即是.而
，
由就是，即
.
定义3可以改写为如下定义：
定义4 设函数在点的某一邻域内有定义，如果
， （1-4-4）
那么就称函数在点处连续.
由定义4知，函数在点处连续，必须满足下列三个条件：
（1） 函数在点处有定义；
（2） 存在，即；
（3）
例1 讨论函数在处的连续性.
解 由于
，
而，故
.
由连续性的定义知，函数在处连续.
由于函数在处极限存在等价于在处左、右极限都存在并且相等，结合这一特点，下面定义左、右连续的概念.
如果，则称函数在点处的左连续.如果，则称函数在点处的右连续.
如果函数在点处连续，必有，则有
，
这说明了函数在点处连续，既包含了在点处左连续，又包含了在点处右连续.
定理1 函数在点处连续的充要条件是函数在点处既左连续又右连续.
注：此定理常用于判定分段函数在分段点处的连续性.
例2 讨论函数

在处的连续性.
解 函数图形如图1-22.

图1-22
由于，故在处左连续.
，故在处不右连续.
因此由定理1知，函数在处不连续.
以上是介绍函数在一点处连续的概念，下面介绍连续函数的概念.
定义5 如果函数在区间内每一点都连续,称为内的连续函数.
如果函数在内连续,且在左端点处右连续，在右端点处左连续，则称在闭区间上连续.
例3 证明函数在内是连续的.
证明 任取，则

由于
，
当时，由无穷小的性质知，.
由定义1，在处连续.而是在内任取的，故在内是连续的.
类似地，可以验证在定义区间内是连续的.

4.2 函数的间断点

定义6 如果函数在点处不连续，则称在处间断，称为的间断点.
根据定义3，函数在点处连续必须满足的三个条件知.换句话说，只要其中一个条件不满足，函数就在处间断.因此在处出现间断的情形有下列三种：
（1） 在处无定义；
（2）在处虽然有定义，但是不存在；
（3）在处有定义，存在，但是.
在处只要符合上述三种情形之一，则函数在处必间断.
下面举例函数间断的例子.
（1）函数在处无定义，所以是的间断点.
（2）符号函数，在处，由于
，.
由于在处函数左、右极限不相等，故不存在，因此是此函数的间断点.
（3）函数，在处，由于
，
而故，是此函数的间断点.
从上面的例子看出，函数在处虽然都是间断，但产生间断的原因各不相同.根据这一特点，下面对间断点进行分类:
如果与都存在，则称为的第一类间断点，否则称为第二类间断