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14数学教学研究第42 卷第6 期2 0 2 3 年1 1 月解题教学中“转化与化归”思想的运用与思考刘海涛1，金奎2（1.安徽省芜湖市第一中学2 41 0 0 0；2.安徽省芜湖市教育科学研究所2 41 0 0 0）摘要：文章基于课标中四基四能的要求，从六个不同的角度，例谈转化与化归思想方法在解题中的应用。关键词：转化与化归；四基四能；核心素养；SOLO分类理论解题中,对于一些复杂的、困难的数学问题，教师若教会学生合理转化题意，更好的理解问题的“背景”和“立意”，进而顺利的化归，则可使得解题过程简约、自然.如何能帮助学生在解题中学会合理地使用“转化与化归”思想方法呢？笔者在高三复习备考教学中，经过对近年来的高考题及各级各类模考进行梳理、分析、归纳、总结，从六个方面给出了“转化与化归”思想的应用.1转化与化归思想的含义与解题价值普通高中数学课程标准（2 0 1 7 年版2 0 2 0 年修订)指出：“通过高中数学课程的学习，学生能获得进一步学习以及未来发展所必需的数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验（简称四基)；提高从数学角度发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力（简称四能).”1 由此，中学阶段对数学的学习，不仅要掌握基本概念、性质、法则、公式、公理、定理，还要求学生掌握基本的思想方法，并在实际的解题过程中应用这些思想方法.转化与化归是高中数学解题中的常用思想方法，其中转化法主要有数形转化、构造转化、联想转化、类比转化，化归法主要有特殊转化、等价转化、复杂转化、简单转化.SOLO分类理论将学生的各项思维水平做了细致的水平划分，而解题中能否合理使用转化与化归方法来简化解题过程，正是学生思维水平的实质体现.对于一些复杂的数学问题，若能合理转化与化收稿日期：2 0 2 3-0 5-1 1基金项目：安徽省芜湖市2 0 2 2 年度教育科学研究课题“基于SOLO理论的发展学生数学核心素养的实践研究”（课题编号：JK22019）。作者简介：刘海涛（1 9 8 8 一），男，安徽滁州人，一级教师，数学竞赛金牌金牌教练员，主要从事高中数学教学，高考试题解法研究，高中数学奥林匹克竞赛研究归,则可化繁杂为简单、化困难为容易、化隐蔽为显现、化陌生为熟悉、化抽象为直观，从而提高解题效率.2通过转化与化归思想优化解题思路，提高思维的严谨性与创新性2.1函数、方程与不等式间的转化在人教版数学必修一的预备知识中，教材通过“一元二次函数、方程与不等式”这一章节，帮助学生通过函数的观点来看方程与不等式，而函数、方程与不等式又是中学数学的三个重要内容，三者相互关联,联系紧密,若能在解题中利用三者间的关系，合理转化与化归问题，定能高效解题.例1 已知函数f()=ln十a+l.(1)若a=l,求f()在点 P(l,f(1)处的切线方程；(2)当 0 e 时,函数g()=f()一a-3+一有最小值2,求的值.分析(1)y=3-1;（2)该题若直接研究函数g（），则需通过讨论参数来得到函数g（）的单调性，从而得到最小值，但过程复杂很多.由最值的定义，将问题转化为不等式恒成立(等号可取)，知ln+4对VE（o,e 恒成立，且等号成立，即4一ln对第42 卷第6 期2 0 2 3 年1 1 月VE（O,e)恒成立，且等号成立.设h（）=4一ln(0OG得0 5-6一55当且仅当a=b(r+-4即(a,b,)=(54+b的最小值为一5(法2)由题得,方程f（）=0 可整理为（十11=)a+b+?+二0,该方程可理解为平面直角坐2标系aOb的一条直线（记作1)，点A（a，b)在l上，不难明白|OAd o-（当且仅当OAl时取等号），则2+6下同法1.2.51正难则反的转化正难则反的转化思想，本质是逆向思维，即从问题的对立面、反面思考问题，寻求解题的突破口.有些问题从正面考虑，或因难度较大，思维要求高，推(+)+19一6121)或(5551421)时，第42 卷第6 期2 0 2 3 年1 1 月杂，运算量大，而使解题受阻，这时，若能另辟蹊径，选择正难则反的策略，逆向思维，则可能轻松攻克问题，化难为易，化繁为简.事实上，教材中介绍的反证法、分析法、补集法等均为正难则反转化思想的体现，通过这样逆向思维的解题思想的训练，一方面可以发散学生的解题思维，拓宽学生的解题视野，另一方面可以增强学生思维的严密性，提高学生逻辑推理的规范性、合理性、创新性，发展学生的数学核心素养和数学关键能力.常见的正难则反策略有两种，一是处理原命题的等价命题（逆否命题）；二是利用补集思想研究原命题的对立面（反面）.例9 已知数列(,)有1 0 0 项,a1=,对任意nE2,100,存在a,=a,十d,iE1,n一1 若a与前n项中某一项相等,则称k具有性质P.(1)若ai=1,d=2,求4所有可能的值；(2)若(,)不是等差数列,求证：数列(,)中存在某些项具有性质P；(3)若(a，)中恰有三项具有性质P，这三项和为c,试用a,d,c 表示ai+a2+ao.分析（1)3,5,7;(2)由于(a，)不是等差数列，数列的类型无法判断，因而没法研究其项的性质，想证明存在具有性质P的项，感到“无从下手”，不得不另辟蹊径，注意到命题中的“不”“存在”等关键词，考虑研究其逆否命题（等价命题）：若数列（，）中不存在某些项具有性质P,则(an)是等差数列.若数列(a，）中不存在某些项具有性质P,则数列(an)的项互不相等.由题知ai=,a=a十d,则a=a2十d=a十2 d否则的话,as=ai十d=2,不成立),依次类推，可得a，=a 十(n一1)d,所以(an)是等差数列,故原命题得证.(3)97a+c+4656d.例1 0 每次从集合(1,2，9)中随机取一个数字,选择n（n 2)次，试问这些数字的乘积是1 0的倍数的概率是说多少？分析该题是一道看似普通，实则复杂的概率竞赛小题，若我们按照解决计数问题的常规方法，从事情的正面考虑，先分类再分步，很快就会发现正面考虑情况较多且复杂，更为关键是没有一个好的分类标准，于是转化思路，考虑对立事件，从反面考虑数学教学研究问题,思考取出的n(n2)个数字乘积不能被1 0 整除，结合1 0=2 5，不难得到对立事件只需分为三类.由题知每一次取出的数字均有9 种可能性，试验的样本空间可以表示为Q=（a i,a 2，,a）l a iE(1,2,9),iE(1,2,n),n2),其中共有 9 个样本点，记A=“取出的n（n 2)个数字之积是1 0的倍数”,B=“取出的n(n2)个数字有偶数但没有5 ,C=“取出的n（n 2）个数字有5 但没有偶数”,D=“取出的n（n 2)个数字既没有偶数也没有5”,不难注意到A=BUCUD,且事件 B,C,D两两互斥，则P(A)=1-P(A)=1-P(BUCUD)=1-P(B)-P(C)-P(D)n(B)+n(C)+n(D)=1一n(2)对于事件B,我们可以考虑E=“n（n 2)个数字中没有5 ,F=n（n 2)个数字中没有5 也没有偶数”,则E=BUF,且事件B,F互斥,所以n(B)=n(E)一n(F)=8一4.对于事件C,我们可以考虑G=“n(n2)个数字均为奇数”,H=“n（n 2)个数字均为奇数但没有 5”,则G=CUH,且事件C,H互斥,所以n(C)=n(G)一n(H)=5一4.对于事件D,即为取出的n（n 2)个数字在(1，3,7,9)中选择,则n(D)=4.综上，所求事件的概率8-4+54+4P(A)=1985=19作为一道竞赛题，该题能很好的考查学生思维的灵活性,若不用“正难则反”转化，不断地从所研究事件的对立事件考虑，很难想象问题会复杂到什么程度.2.6“隐含”向“明朗”的转化在解题中，我们经常遇到一些蕴含着丰富的几何背景的数学问题，若是能够识别出题中隐含的几何要素，借助几何图形，数形结合地直观出题意，定能达到化繁为简，巧妙解题的目的.问题是，如何才19220能够识别出题中隐含的几何要素呢？笔者认为，我们在日常的学习中，一方面要重视教材中的例、习题，通过教材积累一些几何图形的定义，如圆锥曲线的统一定义（动点到定点的距离与到定直线的距离比为定值，其中定点不在定直线上），椭圆、双曲线的第三定义（动点与两定点连线的斜率之积为定值），阿波罗尼斯圆的定义（动点与两定点距离比为定值，定值不为1)等；另一方面要做一个“收纳者”，平常注意收集、整理、归类、总结，将隐圆、隐椭圆、隐球等问题做成微专题，供学生复习备考练习，形成一定的解题意识.这样，学生在遇到隐含几何要素问题时，才能准确、快速地识别，高效、巧妙地解题.例1 1 设A,B是半径为3 的球体O表面上的两定点，且ZAOB=60球体O表面上动点P满足PA=2PB,则点 P 的轨迹长度为（12/114V15(A)11一元6/14(C)元7B.C分析该题考查了立体几何中的球，平面几何中的解三角形,解析几何中的阿波罗尼斯球等知识，是一道全面综合高中三类几何知识，思维要求高，难度大的模考题，需要学生有很好的空间想象、逻辑推理和数学运算能力.解答该题的关键在于能识别出空间(平面)解析几何中的阿波罗尼斯球(圆)，即空间(平面)中满足到两顶点的距离比为定值（不为1)的动点轨迹为球（圆）由题意知OAB是边长为3的等边三角形,如图5 所示,以AB中点O为坐标原点，AB，O O 所在直线分别为，y 轴，建立空间直角坐标系O-y,则 A（-号.0 0),设点P(，3,3),则由PA=2PB,得3(+）2+2+=4(一22整理得数学教学研究5（2)?+y2+?=4,(号 0.0),点 P 的轨迹为半径为 2 的球 C 和半5设C(径为3 的球O的交线（圆）.由两球球心距3/3OC=VOC2+0O=2=/13=/2+3=/PO+PC,得PO工PC，则点P的轨迹（圆）的半径r=POXPC6，所以点P的轨迹长度为OCV1312/132元=元，13故选D.例1 22已知锐角ABC的周长为6,BC=2，）求ABC的最大值为(B)5一元12/13(D)元13图53+y22+?），第42 卷第6 期2 0 2 3 年1 1 月52分析由题知CA十CB=4AB=2,不难明白动点C在以A,B为焦点，4为长轴长的椭圆上.如图6 所示，在平面直角坐标系Oy中,A（一1 0,B（1，0），注意到椭圆长半轴长等于焦距，由椭圆几何性质知,ABC的内角C最大为6 0,又题目要求A BC 为锐角三角形，则角A，B为锐角即可,因此，动点C的轨迹为图9 所示椭圆的实线部分（不包含端点P,Q,R,S)，显然当点C位于短轴端点时，A BC的面积取最大值，为2/3=/3.PAS3对“转化与化归”思想解题的思考与认识由于“转化与化归”思想对学生思维要求高，需要学生能对所学数学知识，尤其是基本概念、性质、法则、公式、公理、定理等有着清晰的认识，能够掌握其生成过程，因此，日常教学中一定要注重基本概念的教学，让学生经历知识的发生、发展过程，“吃透”教材，这样，在教师指导学生运用“转化与化归”思想方法解题时，学生才能“知其然，知其所以然”，而不是靠着记忆来模仿，机械刷题.另外，在平常给学生BR图6第42 卷第6 期2 0 2 3 年1 1 月的训练备考题中，要注重学生学情，切莫盲目拔高，应准备一些学生“跳一跳，够得着”的问题，循序渐进，遵循“最近发展区”原则.教师是学生学习的引导者、启发者，也是学生思维的测量者、评价者，基于“四基四能”的高考备考教学要求，教师在平常应做一个“收纳者”，要善于梳理高考题和各级各类高质量的模考题，从思想和方法上予以归类、整合,形成适合学生学习的“题库”，随着积累与实践，“题库”不断地丰富、更新、完善、健全，教师能提供的备考训练题质量定是越来越高，学生的学习也定能越来越好，数学教学研究而不用“深陷题海”，从而实现教师的教学有策略、更艺术，学生的学习有素养、更高效，参考文献1 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2 0 1 7年版2 0 2 0 年修订)MI.北京：人民教育出版社，2 0 2 2.2刘海涛.从三道高考题谈“端点取等”不等式的解法策略 J.高中数理化，2 0 2 1(1 9)：6-9.3文刘海涛类比知识的抽象过程，寻找解题的最佳途径J.中小学数学（高中版），2 0 2 2（0 3）：5 1-5 4.21(上接第 5 页)3.2.4评析主题教学流程通过对内容要求的深入分析，划分内容要求结构，确定了教学主题内容，并进行相关的核心素养、知识逻辑、思想方法、教学方式、教科书等教学要素分析，制定出以与课标具有较高一致性和一体化的教学流程.在教学实施后，对学生的学习成果进行跟踪性评价，对教师的教学计划反思调整，使评价、反思与修改成为不断改进、不断提升教学设计的关键一环。代数式教学流程可以分如下三个阶段进行.第一阶段,在掌握有理数的基础上，学习用字母表示数，通过情境抽象概括形成代数式，理解用代数式进行运算和推理的基本思想，理解代数一般化这一关键问题，实现由“数”到“式”的升华.第二阶段，通过类比有理数可分为整数和分数，过渡到有理式分为整式和分式，再次感受数与式之间的关联；由整数的运算上升到整式的运算，体会数与字母在运算上一致性；抓住代数式的运算是等价变形这一代数本质，在此基础上加强对乘法公式和因式分解的理解.第三阶段，在小学分数和整式的基础上理解分式的概念，通过类比分数的四则运算体会分式运算的相同方法.形成有理数到有理式的体系结构，掌握有理式的混合运算.需要注意的是，在“代数式”整个主题教学阶段中，概念、运算性质、应用等的探索过程是培养学生推理能力的重要契机，教学中要有机把握内容要求所强调的代数推理。4结语核心素养是学生培养的集中体现，数学是学生培养的核心学科，以数学课程标准中“内容要求”结合数学核心素养来安排内容，是学生培养的载体保证.义务教育阶段的学生培养需要通过教学实践得以落实，教师要重视学生数学素养的生成，以课标为指引，进行教学导向转型,在基础性、整体性、发展性的牵引下重视和运用主题教学设计，促使“内容要求”落地得以真正实现。参考文献1 辛涛，姜宇，王烨辉，基于学生核心素养的课程体系建构J.北京师范大学学报（社会科学版），2 0 1 4（0 1）：5-11.2崔允，郭华，吕立杰，李刚，于泽元，王振华，刘学智，李美莹.义务教育课程改革的目标、标准与实践向度（笔谈）义务教育课程方案和课程标准（2 0 2 2 年版）解读.现代教育管理，2 0 2 2（0 9）：6-1 9.3 余文森.论学科核心素养形成的机制 J.课程教材教法，2 0 1 8,3 8(0 1)：4-1 1.4余文森。论核心素养导向的三大教学观.当代教育与文化，2 0 1 9,1 1(0 2)：6 2-6 6.5钟启泉.单元设计：撬动课堂转型的一个支点J.教育发展研究，2 0 1 5，3 5（2 4）：1-5.6吕世虎，杨婷，吴振英.数学单元教学设计的内涵、特征以及基本操作步骤 J.当代教育与文化，2 0 1 6,8（0 4)：41-46.7 熊梅，李洪修.发展学科核心素养：单元学习的价值、特征和策略 J.课程教材教法，2 0 1 8,3 8(1 2)：8 8-9 4.