结构动力方程的一种自适应步长增维精细积分法.pdf
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1、振动与冲击第42 卷第14期JOURNAL OFVIBRATION AND SHOCKVol.42 No.14 2023结构动力方程的一种自适应步长增维精细积分法黄宇熙,崔颖,杨国刚(1.大连海事大学轮机工程学院,辽宁大连116 0 2 6;2.大连海事大学船舶与海洋工程学院,辽宁大连116 0 2 6)摘要:增维精细积分法是一种求解结构动力方程的高精度逐步积分算法,其步长的选取会对计算精度产生极大的影响,在实际应用中存在难以确定合适步长的问题。为满足实际工程中对计算精度和效率的要求,提出了一种计算误差的估计方法,并以估计误差和迭代收敛速度为基准,建立了一种自适应步长增维精细积分法。针对三种结
2、构动力方程的算例结果表明,在计算各类线性及非线性振动问题时,该方法均可以在保证计算精度的前提下快速有效地控制算法的计算步长,并且仅需较少的额外计算消耗,显著提高了增维精细积分法的计算效率,使该方法在求解结构动力方程时更具计算优势和实用价值。关键词:增维精细积分法;步长自适应;结构动力方程;误差估计中图分类号:TH212;TH213.3文献标志码:AD0I:10.13465/ki.jvs.2023.014.023Adaptive time-stepping increment-dimensional precise integration methodfor solving structural
3、 dynamic equationsHUANG Yuxil,CUI Ying,YANG Guogang(1.Marin Engineering College,Dalian Maritime University,Dalian 116026,China;2.Naval Architecture and Ocean Engineering College,Dalian Maritime University,Dalian 116026,China)Abstract:The increment-dimensional precise integration method is a high-pre
4、cision step-by-step integrationalgorithm for solving structural dynamic equations.The step size has a great influence on the calculation accuracy of thealgorithm,and it is difficult to determine the appropriate step size in practical applications.To meet the requirements ofaccuracy and efficiency in
5、 the calculation,an estimation method for error calculation was proposed,and an adaptive time-stepping increment-dimensional precise integration method was established based on the estimation error and iterativeconvergence speed.The numerical results of three structural dynamic equations show that w
6、hen considering all kinds oflinear and nonlinear vibration problems,the proposed method can quickly and effectively control the calculation step sizeunder the premise of ensuring the calculation accuracy,and only requires less additional calculation consumption,whichsignificantly improves the effici
7、ency of the increment-dimensional precise integration method,and offers morecomputational advantage and more practical value in solving structural dynamic equations.Key words:increment-dimensional precise integration;adaptive time-stepping;structural dynamic equation;error estimate为求解工程振动问题中的结构动力方程,
8、钟万翘提出了精细时程积分法,该方法在计算齐次方程时具有极高的计算精度,而在计算非齐次方程时会面临Duhamel积分难以求积或对系统矩阵求逆导致的稳定性及适用范围降低等问题。一些学者对精细时程积分算法进行了改进,其中一类方法是利用解析或数值基金项目:辽宁省自然科学基金指导计划(2 0 16 0 2 0 7 0)收稿日期:2 0 2 2-10-13修改稿收到日期:2 0 2 2-12-0 5第一作者黄宇熙男,博士生,198 9年生通信作者崔颖女,博士,副教授,197 7 年生方法对Duhamel项进行求积,此外基于齐次化思想提出的增维方法也是一类常见的改进方法,顾元宪等6 提出了增维精细积分方法,
9、通过增维将非齐次方程转变为齐次方程,避免了状态矩阵的求逆运算和Duhamel积分的计算,该方法将方程的维数增大了一倍。张素英等7 基于相似的思想,提出了另一种增维精细积分方法,该方法仅需增加一个维度便可以实现方程的齐次化,具有较高的计算精度和稳定性,且易于编程实现。对于增维精细积分算法,由于对非齐次项的常数化假设,计算步长会极大的影响计算精度。通常情况第14期下,计算步长越小计算精度越高,但计算耗时也会相应增加。在实际的计算中,往往需要根据经验选择步长,或是通过进行重复计算和校验的方式来确定合适的步长,这使得该算法在应用中存在难以确定合适步长的问题。为此,有必要探索该算法中的步长自适应方法,以
10、平衡实际应用中计算效率和精度的要求。目前,已经有了一些基于精细积分法的步长自适应方法。梅树立等8 在精细积分算法中引入外推法,利用龙格贝积分法的特点实现了精细积分算法的步长自适应。王海波等9利用Adams公式对Duhamel项进行积分,给出了算法的误差估计方法,并以误差为步长变化标准提出了自适应时间步长精细积分算法。这两种自适应方法均需要通过特定的方式计算Duhamel项,无法应用在增维精细积分法中。李建等10 利用步长减半后的计算结果对计算误差进行了估算,提出了一种自适应的离散精细时程积分算法,算法中采用的步长自适应方法通用性较强,可用在不同的精细积分法衍生算法中,能够有效地控制计算误差,但
11、会使计算量大为增加。本文在上述研究的基础上,提出了一种能够估计增维精细积分法的计算误差的方法,之后以估计误差和迭代收敛速度为基准,建立了一种额外计算消耗较低的自适应步长增维精细积分法,并通过算例验证了步长自适应方法对步长控制的有效性,对各类不同结构动力方程的适应性,以及对增维精细积分算法的计算效率的影响。1增维精细积分法算法解析常见的n维动力系统控制方程如下所示Mn XnxI+Cnn XnxI+Knxn Xnx1=fax(t)(1)通过增维的方式,可以将方程变换为如下的形式X0X-M-K-M-c M-f(t)000设Y=X,X,1T,在形式上,式(1)由2 阶非齐次常微分方程,转化为式(3)所
12、示的1阶齐次微分方程Y=HY(3)01H=-M-IK-M-IcM-f(t)00通常式中的H矩阵并非一个常矩阵。在进行计算时,由于步长t通常取得很小,H变化不大。设积分区间为to,ma x,则在每一个时间间隔t,t+1中,可以将H视为常矩阵H,设fi=f(t),则可得t+1时刻方黄宇熙等:结构动力方程的一种自适应步长增维精细积分法H=0其中,0A=-M-K-M-CJ0 1H=LM-f.J则通过分块计算,e可以写成Z六(Ar)(Z六(Ar)eH=I+0B。D.FT1I+=I+Th.0L00设 Bi+1=2B;+B,Di+1=2D,+B,D,Tk,i+1=2Th,+T s,则Th,可以经由分块计算得
13、到Th.N=BNDFT100当K,M与C为常矩阵时,B和D也为常矩阵,每一步仅需重新计算DF即可得到Th,N。由于Y的最后一个维度没有实际的意义,在此基础上,可以将式(5)所示的逐步积分式重新进行降维,并对D矩阵进行分块,使得 D=D,Dx.,设 Z=X,xX 则10 rXX(2)0L10 0199程的解为(4)此时,根据适用于齐次方程的精细积分算法,可得式(5)所示的逐步积分式,N通常取2 0。由于H会发生变化,所以Tk,N需要在计算中反复重新计算。YrI=(e)Y,=(I+Ta.)Y,针对增维精细积分法中存在的问题,任伟等11-13提出了多种改进措施。为了规避由于H矩阵变化导致的重复计算,
14、可以对矩阵进行分块计算,如式(6)所示A2mx2mF2mx1100可以得到Z+I=(I+BN)Z+D2,M-fiT在计算中f.会对算法的精度产生较大的影响,相较于设f=f(t),采用式(10)的方式可以使得计算的精度得到提高:=)+/2相较于原本的增维精细积分法,改良后的算法在计算精度和效率等方面均有较大的提升。2自适应步长增维精细积分法的建立为了实现算法的步长自适应变化,首先要确定步长改变的依据。本文以估计误差和步中迭代次数作为基准判断步长是否合适,并在此基础上提出了一种增(5)(6)(7)(8)(9)(10)200维精细积分算法的步长自适应变化方法。2.1计算误差的估计方法根据张庆云等14
15、的研究可知,在对增维精细积分法的非齐次项进行常数化时,假设f=f(t)时的计算误差远大于假设f=0.5f(t)+f(t k+1)时。设当假设f.=f(t)时计算结果为z(),设fi=0.5f(t)+(t#+1)】时计算结果为Z(2),准确结果为Z,则两种情况的计算误差分别为e=z(2)-Z2,e=lz()-Zl2。由于eie,可认为相对于z(2),z(1)Z,所以可设e=Il z(2)-z(1 Il 2 e(2)如果计算步长使得e*小于给定的误差界限e,则可认为实际的计算误差eie或8*L,若判断为假,则继续计12算;若判断为真,则给定:k=k-1,t i,=0.5t i,,重/I+1Il 2
16、(13)新计算该步;2122023年第42 卷(15)步骤3为了避免步长反复变化,并保证计算的精度,设定在一个子区内步长仅会缩小而不会增大。该设计确保了在计算过程中不会出现ti,ti+1.o的情况,且必定存在一个正整数km,使得ti.m=ti+1.0,如图1所示。当一个子区间的计算完成后,下一个子区间的初始计算步长可以为当前计算步长的2 倍,如式(16)所示。t.o上图1子区间示意图Fig.1Diagram of the subintervalAti+1,1=min(2At,m,Atmax)为了计算准确,初始步长可以给一个很小的值,如t ma x/2 1,在给定了初始步长后,即可以逐步得到后续
17、的计算步长,算法会在几个子区间后将步长自动调节至合适的值。在没有迭代运算的情况下,应用步长自适应方法时算法流程如图2 所示。Afmax产(16)ti+1.0第14期tu+i=tu+Atikk-k+1AfikI=Atik图2 自适应步长算法计算流程图Fig.2Flow chart of the adaptive step algorithm若计算中存在迭代运算,则可根据迭代速度进行步长自适应工作:(1)设最大迭代次数为Nim。当在计算Zi,时,迭代次数N,Nm或迭代不收敛,则需给定k=k-1,并将步长缩小为原步长的一半,重新计算Zi,k。(2)设在一个子区间中的计算中,平均迭代次数为kmN,=Z
18、N/km则下一子区间初始步长如式(17)所示,其中Ni为平均最小迭代次数的值可以按需求设定。Ati+1,1=minf($)Ati,km,2Ati,km,Atmx$=uN.mf($2)J1,2 12,else考虑了迭代的步长自适应变化流程如图3所示,在图2 流程的基础上额外考虑了迭代的收敛速度,并采用式(17)代替式(16)来确定下一子区间的步长。在这两种方式的基础上,也可以根据算法的特点以及实际需求,采用其他的步长改变准则来修改自适应方法。3算例分析算例1考虑一个二自由度系统,动力方程为0005cos(ot)初始条件为x=0,x2=0,=0,x=0,步长调节参数*=0.0 1,tmx=1s。分
19、别计算为2 或2 0 的情况,结果如表1、表2 所示。黄宇熙等:结构动力方程的一种自适应步长增维精细积分法开始开始i=0,k=1,Afo,1i=0,k=1,Ato.1文计算t,时刻的解Z计算t时刻的解Z.YesAf;=0.5Afik或*,t=tk-i+AikNoYestu=tmx结束NoYestu=+1.0No用式(16)计算时间步长201N.NmYesAfi=0.5Atik或发散tu=tuk-i+AlikNo7eLe或*NoYest+1,/=tu+Ati+.,til+I=tu+Atkk-1;i=i+1k=k+1Afik+I=Afik图3考虑代运算时自适应步长算法计算流程图Fig.3 Flow
20、 chart of the adaptive step algorithm with iteration表1=2 时不同步长计算结果Tab.1FResults of different step sizes with =2At/s11.0000.568 24-0.505 750.619 870.5001.083 390.1001.280 74-1.08732-1.386 640.0101.289 24(17)0.0011.289 32-1.094 6001.395 933.904 64自适应1.28932-1.094 591.395 90(18)表2=2 0 时不同步长计算结果(19)Tab.
21、2Results of different step sizes with =20At/s11.0001.370 420.100-2.62 10 3 9.40 10 48.60 10-30.0100-6.32 10 3 2.27 10-3 2.07 10-2 1.37 10-3-2.26 10-20.001-6.36 10-3 2.28 10-32.08 10-2 1.38 x10-3-2.28 10-2自适应-6.36 10-3 2.33 10-32.0 8 10-2 1.3910-3-2.2 7 10-2根据计算结果可知,当系统外激励频率较低时,步长在0.1s附近即可得到较好的计算结果,当
22、外激励频率提高,则需要步长在0.0 1s附近才能得到较为精确的计算结果。采用自适应方法计算时步长变化如图4所示,两种情况下计算步长均稳定在合适的区间。如果希望提高计算精度,可以调节*等步长控制参数,如果希望步长变化速度更快,则可以缩小tmtmax.oYes结束NoYestiu=+.0No用式(17)计算时间步长t/s510-0.921 87-1.173 391.094 53-1.395 84t/s5101.039 37-1.661 80ti+1,=t,t+Ati+1k=1;i=i+115201.764 59-0.887 953.284 92-1.656 283.878 66-1.955 843
23、.904 38-1.968 81-1.968 943.904 38-1.968 5515200.603 901.074 455.70 10-4-9.40 10-3202S/IV10-210-30图4计算中步长变化图Fig.4Step size in calculation算例2 考虑一典型的单摆非线性振动问题15,x为单摆幅角,系统的控制方程为 ml x+mgsin x=0,方程可改写为:+=(-sinx),其中=g/l。设参数为g=9.8,单摆摆长l=1,初值为x=/2,x。=0,步长调控参数*=0.0 1,Nm=5,设为0.8,Atmax=1s,则计算结果如表3及图5所示。表3不同步长计算
24、结果Tab.3Results of different step sizest/sAt/s11.00-1.532.3-64.346 0-2.14 1030.50-1.556 00.05-1.404 90.011.404 1自适应-1.404 110-110-210-30图5计算中的步长变化图Fig.5 Step size in calculation根据计算结果可知,当步长为0.5s和1s时,计算精度较差,尤其1s时结果趋向于发散;随着步长缩短,计算精度增大,当步长小于0.0 5s时,计算结果受步长的影响较小。采用自适应方法时算法的步长变化见图5,在5s之后算法的步长主要稳定在0.0 312
25、5s,步长适中,且具有一定的计算精度。算例3考虑一刚度硬化问题16,系统控制方程为+45x/9=0,方程可改写为如下形式振动与冲击1000=20-2010-1550.512.7-1.433 81.227 00.272.5-0.840 91.495 21.235 60.299 7-0.808 1-1.479 61.235 70.295 30.805 91.477 3510t/s2023年第42 卷x+x=(1-45/9)x设初值为xo=0.1,x=0,步长调节参数Nm=5,MN=0.6,t m a x=0.5s,则计算结果如图6 所示。当步长为0.1s时,在3.5s位置算法就已经产生了很大的计算
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