非单频声场中耦合双泡振动特性研究.pdf

非单频声场中耦合双泡振动特性研究李娜*(宁夏医科大学医学信息与工程学院，宁夏银川750004)摘要：利用 Keller-Miksis 方程，计算了初始半径分别为 2、5m 的耦合气泡在非单频声场中气泡半径、次Bjerknes 力的变化规律.计算结果表明，非单频驱动声场中耦合双泡的半径、次 Bjerknes 力与驱动声压幅值、声压幅值之比、驱动频率有关.当声压幅值比、驱动频率一定时，驱动声压越大，最大膨胀半径越大、次Bjerknes 力越大；驱动声压、驱动频率一定时，声压幅值比越大，最大膨胀半径越大、次 Bjerknes 力越大；当驱动声压的振幅、声压幅值比一定时，驱动频率越大，最大膨胀半径越小、次 Bjerknes 力越小.关键词：非单频驱动；耦合双泡；最大膨胀半径；次 Bjerknes 力中图分类号：O421文献标志码：A文章编号：02587971(2024)01006707声空化效应及其应用是当前声学、物理学中的一个热门话题.声空化理论研究始于 Rayleigh 气泡动力学模型，经过 Neppiras 等1-2的不断修正，最终得到了单个空化泡的动力学模型，即 Rayleigh-plesset（Rp）方程.但是实际液体中的空化现象是以多泡系统组成的空化云形式存在的，而形成空化云的原因是由于组成空化云的各气泡之间的相互作用力，即次 Bjerknes 力3-4，双泡是最简单的多泡系统，是研究空化云的切入点5.Mettin 等6计算了强声场中小气泡之间次 Bjerknes 力与气泡大小、气泡间距及驱动声压幅值的关系.王德鑫7通过考虑双泡之间的辐射压力波，利用 Keller-Miksis 方程，计算了不同大小、不同间距、含不同惰性气体的双泡在声空化过程中半径、次 Bjerknes 力及双泡内温度的变化规律.马艳等5从双气泡耦合振动方程出发研究了强声场中一对初始半径与气泡间距相当的气泡对的耦合振动及气泡之间相互作用的特征.清河美等8依据超声场下形成的空化多泡的形状结构，建立了 2 种简化的多泡模型，即三泡模型和五泡模型，并利用考虑气泡之间相互作用和液体可压缩性的非线性 Keller-Miksis 方程，数值研究了三泡和五泡模型中周围大气泡对中间小气泡空化效应的影响.文献 9 考虑了气泡间次级声辐射影响，得到了表征气泡间相互作用的气泡基本动力学方程以及次 Bjerknes 力的表达式，计算分析了气泡平衡半径、声波频率和声压对可能出现的气泡所受到的次 Bjerknes 力.Doinikov10推导了在弹性介质包围的空腔中填充液体后 2 个耦合气泡的非线性动力学方程，并计算分析了气泡之间的耦合振荡.以上问题的研究过程中均采用单频超声驱动的方式，相关研究表明当用非单频超声驱动单个空化泡时，可以有效提升声空化强度，这对研究空化泡在缩塌时产生更极端的物理条件有重要的意义11-14.那么如果采用非单频超声驱动，双泡系统将有怎样的规律呢？本文将以双频驱动为例，对非单频驱动下耦合双泡半径、次 Bjerknes 力的变化规律进行研究.1数学模型耦合双泡的动力学方程为考虑了气泡之间相互作用的 Keller-Miksis 方程，即1R1cR1R1+32R12cR21=11+R1cps1+R1cdps1dt1L(2R22R2+2R22R2)，(1)收稿日期：2022-10-08；接受日期：2023-06-16；网络出版日期：2023-11-01基金项目：国家自然科学基金（12204258）；宁夏自然科学基金（2022AAC03151）；宁夏医科大学特殊人才启动项目（XT2020004）.*通信作者：李娜（1984），女，宁夏人，博士，副教授，主要研究功率超声、非线性声学、医学超声.E-mail：.云南大学学报（自然科学版），2024,46（1）:6773JournalofYunnanUniversity:NaturalSciencesEditionDOI:10.7540/j.ynu.202204951R2cR2R2+32R22cR22=11+R2cps2+R2cdps2dt1L(2R21R1+2R21R1),(2)式中：R1、R2表示任意时刻球形气泡 1、2 的半径，L 表示气泡 1、2 中心间距，为液体密度，c 为液体中声速，ps1、ps2如式（3）、（4）：ps1=p0+2R10R10R132R14R1R1pexp0,(3)ps2=p0+2R20R20R232R24R2R2pexp0,(4)式中：p0为液体的静压力，为液体的表面张力，为液体的黏滞系数，pex为外部驱动声压，f 为驱动频率，为气体绝热压缩系数，R10、R20分别表示气泡 1、2 的初始半径，气泡间次 Bjerknes 力为5FB=4d2V1V2.(5)若 FB0，气泡 1、2 之间相互排斥.2数值计算本文计算所用参数：液体中的静态压强 p0=1.013105Pa，液体密度=998kg/m3，液体中的声速 c=1450m/s，液体表面张力=0.0725N/m，液体黏滞系数=0.001Pas，气体绝热压缩系数=1.4.2.1单频驱动外部驱动声压 pex=p1cos2ft，其中声压幅值 p1=1.32p0，驱动频率 f=20kHz，即采用了频率为 20kHz 单频超声驱动方式.令 R10=2m，R20=5m，数值计算结果如图 1 所示，图 1（a）中横坐标 t/T 表示时间与驱动周期的比值，纵坐标表示气泡半径，曲线、表示无耦合作用时（即气泡中心间距很大）.计算结果表明气泡 1 在 31.62s时达到最大膨胀半径 15.57m，最大值为初始值的 7.88 倍；气泡 2 在 34.38s 时达到最大膨胀半径 45.32m，最大值为初始值的 9.06 倍.曲线、分别表示气泡 1、2 相互耦合时（气泡间距 L=0.2mm），半径在 1 个驱动周期内的演化曲线，其中气泡 1 在 27.47s 时达到最大膨胀半径 5.40m；气泡 2 在 34.38s 时达到最大膨胀半径 45.32m，其耦合作用时的半径演化曲线与无耦合时半径演化曲线重合，这是由于耦合气泡之间大气泡对小气泡有着较强的抑制作用.图 1（b）所示为耦合气泡间次 Bjerknes 力在 1 个驱动周期内呈现出先吸引、后排斥的振荡变化，其平均值为 3.59109N，这表明气泡之间相互排斥.2.2双频驱动外部驱动声压 pex=p1cos2f1t+p2cos2f2t=p1cos2ft+p2cos（32ft），其中 f=20kHz，即采用了频率 f1=20kHz 与频率 f2=60kHz 的双频驱动.令 R10=2m，R20=5m，p1=1.32p0，p2=0.66p0（p2p1=12）.计算结果如图 2 所示，气泡 1、2 在34.35s 时同步膨胀达到最大半径 60.97、73.68m，半径最大值依次为各自初始值的 30.49、14.74 倍；次 Bjerknes 力在 1 个周期内的平均值为3.85106N，气泡之间相互吸引，1 个周期时间内次 Bjerknes力并未呈现出较强烈的振荡变化.与图 1 计算结果比较，双频驱动下耦合双泡半径、次 Bjerknes 力的图1单频驱动f=20kHzFig.1Singlefrequencyf=20kHzdrive68云南大学学报（自然科学版）http:/第46卷变化规律与单频驱动时不同.如图 4 所示，当驱动声压幅值 p2p1=0.21一定，p1=1.10p0时气泡 1 在 28.19s 时达到膨胀半径最大值 7.60m，气泡 2 在 31.73s 时达到最大膨胀半径 33.97m，气泡间次 Bjerknes 力在 1 个驱动周期内的变化规律如图 7（b）所示，此时气泡间次 Bjerknes 力出现激烈的振荡变化，其在 1 个周期内的平均值为 4.721010N，气泡间相互排斥；当p1=1.25p0时气泡 1、2 分别在 32.85、33.89s 达到最大膨胀半径 33.76、52.23m，气泡间的次 Bjer-knes 力在 1 个周期内的平均值为3.14107N，气泡之间相互吸引；当 p1=1.32p0时气泡 1 在 33.43s时达到最大膨胀半径 42.86m，气泡 2 在 34.84s时达到最大膨胀半径 60.08m，次 Bjerknes 力在 1个周期内的平均值为7.63107N.计算结果表明p2p1比值一定时，随着 p1的增加，气泡 1、2 的最大膨胀半径随之增加、膨胀时间逐渐滞后、气泡间次 Bjerknes 力的数量级从 1010N 增加到 107N、次Bjerknes 力由较弱的排斥力逐渐变为较强的吸引力.如图 37 所示，当驱动声压幅值 p1=1.25p0一定，p2p1比值分别为 0.11、0.21、0.41、0.81 时，气泡1 分别在31.43、32.85、32.94、34.14s时达到最大膨胀半径 20.69、33.76、48.70、67.55m；气泡 2 分别在 33.76、33.89、34.05、34.14s 时达到最大膨胀半径 45.68、52.23、62.75、78.84m；气泡间次 Bjerknes 力在 1 个周期内的平均值依次为2.75108、3.14107、1.26106、5.34106N.计算结果表明当驱动声压幅值 p1一定时，p2p1比值越大，耦合双泡 1、2 的最大膨胀半径增大、膨胀时间延迟、气泡间次 Bjerknes 力的数量级从图2双频驱动f1=20kHzf2=60kHzFig.2Dualfrequencydrivewithf=20kHzandf=60kHzrespectively图3声压幅值之比p2p1=0.11Fig.3Ratioofsoundpressureamplitudep2p1=0.11第46卷李娜：非单频声场中耦合双泡振动特性研究69图4声压幅值之比p2p1=0.21Fig.4Ratioofsoundpressureamplitudep2p1=0.21图5声压幅值之比p2p1=0.41Fig.5Ratioofsoundpressureamplitudep2p1=0.41图6声压幅值之比p2p1=0.81Fig.6Ratioofsoundpressureamplitudep2p1=0.8170云南大学学报（自然科学版）http:/第46卷108增加到 106、次 Bjerknes 力逐渐增强，气泡间引力增强；当驱动声压幅值为 p1=1.10p0、p1=1.32p0时，耦合双泡间次 Bjerknes、气泡半径变化规律与p1=1.25p0时相似.如 图 8 所 示，当 驱 动 声 压 幅 值 p1=1.32p0，p2=0.66p0，驱动频率 f1=40kHz，f2=120kHz 时，气泡 1、2 分别在 16.60、17.20s 时达到最大膨胀半径 30.81、40.20m，次 Bjerknes 力在 1 个周期内的平均值为4.26107N.如图 9 所示，当驱动声压p1=1.32p0，p2=0.66p0，频率 f1=60kHz，f2=180kHz 时，图7次 Bjerknes 力Fig.7ThesecondaryBjerknesforce图8双频驱动f1=40kHzf2=120kHzFig.8Dualfrequencydrivewithfrequenciesf=40kHzandf=120kHzrespectively第46卷李娜：非单频声场中耦合双泡振动特性研究71气泡 1、2 分别在 11.25、11.61s 时达到最大膨胀半径 20.78、28.92m，次 Bjerknes 力在 1 个周期内的平均值为1.23107N.与图 2 计算结果比较可知，驱动频率越高，气泡最大膨胀半径越小，气泡间的次 Bjerknes 力也随之减小，这是由于驱动频率越高，气泡生长周期变短，从而使气泡生长受到了抑制.3结论本文对外部驱动声压pex=p1cos2f1t+p2cos2f2t=p1cos2ft+p2cos（32ft），初始半径分别为 R10=2m、R20=5m 的耦合双泡的半径演化曲线及气泡间次Bjerknes 力随驱动声压幅值的变化关系进行了计算研究，结果表明：当声压幅值之比 p2p1一定时，随着 p1的增加，气泡 1、2 的最大膨胀半径随之增加、气泡间次Bjerknes 力逐渐增大；当驱动声压幅值 p1一定时，随着声压幅值之比 p2p1的增加，气泡 1、2 的最大膨胀半径随之增加，p2p1比值越大、耦合双泡的最大膨胀半径越大，气泡间次 Bjerknes 力越强.当驱动声压幅值 p1、声压幅值比 p2p1均一定时，双频驱动频率越高，气泡最大膨胀半径越小，气泡间的次 Bjerknes 力随之减小.参考文献：NeppirasEA,NoltingkBE.Cavitationproducedbyul-trasonics:Theoreticalconditionsfortheonsetofcavita-tionJ.ProceedingsofthePhysicalSociety(SectionB),1951,64:1032-1038.DOI:10.1088/0370-1301/64/12/302.1张鹏利,林书玉,乔辉,等.声场中双空化泡的运动特性J.应用声学,2017,36(2):142-148.DOI:10.11684/j.issn.1000-310X.2017.02.008.ZhangpL,LinSY,QiaoH,etal.Themovementchar-acteristicsofdoublecavitationbubbleunderthesoundfieldJ.JournalofAppliedAcoustics,2017,36(2):142-148.2DoinikovAA,ZavtrakST.Onthebubblegrapesin-ducedbyasoundfieldJ.JournaloftheAcousticalSo-cietyofAmerica,1996,99(6):3849-3850.DOI:10.1121/1.415003.3CrumLA.BjerknesforcesonbubblesinastationarysoundfieldJ.TheJournaloftheAcousticalSocietyofAmerica,1975,57(6):1363-1370.DOI:10.1121/1.380614.4马艳,申学鹏,徐洁.声场中双空化气泡之间的相互作用及气泡动力学研究J.云南大学学报(自然科学版),2019,41(4):718-723.DOI:10.7540/j.ynu.20180461.MaY,ShenXP,XuJ.InteractionbetweentwobubblesanddynamicofbubblesinanacousticfieldJ.Journalof Yunnan University(Natural Sciences 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drivingfrequencywereconstant,thelargerthedrivingsoundpressure,thelargerthemaximumradiusandthegreaterthesecondarybjerknesforce;Whenthedrivingsoundpressureanddrivingfrequencywereconstant,thelargertheamplituderatio,thelargerthemaximumradiusandthegreaterthesecondarybjerknesforce;Whenthedrivingsoundpressureandtheamplituderatiowereconstant,Thelargerthedrivingfrequency,thesmallerthemaximumradiusandthesmallerthesecondarybjerknesforce.Keywords:nonsinglefrequencydrive；themutualinteractionbetweencavitationbubbles；maximumexpansionradius；thesecondaryBjerknesforce第46卷李娜：非单频声场中耦合双泡振动特性研究73