数学分析十讲习题册、课后习题答案.doc
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1、习 题 1-11计算下列极限(1), 解:原式=(2);解:原式(3) 解:原式 (4),解:原式(5) 解:原式=(6) ,为正整数;解:原式2设在处二阶可导,计算.解:原式 3设,存在,计算.解:习 题 1-2 1.求下列极限 (1); 解:原式 ,其中在与之间(2);解:原式=,其中在与之间(3) 解:原式 ,其中在与之间(4) 解:原式,其中其中在与之间2设在处可导,计算.解:原式 习 题 1-31求下列极限(1), 解:原式(2);解:(3); 解:原式(4);解:原式2. 求下列极限(1); 解:原式(2);解:原式习 题 1-41求下列极限(1); 解:原式 (2)求; 解:原式
2、(3); 解:原式(4); 解:原式此题已换3设在处可导,.若在时是比高阶的无穷小,试确定的值.解:因为 ,所以从而 解得:3设在处二阶可导,用泰勒公式求解:原式4. 设在处可导,且求和.解 因为 所以 ,即所以 习 题 1-5 1. 计算下列极限(1) ; ; 解:原式(2)解:原式2 设,求 (1) ;解:原式(2) ,解:由于,所以3设,求和.解:因为,所以且从而有stolz定理,且所以,4设,其中,并且,证明:.证明:因,所以,所以,用数学归纳法易证,。又,从而单调递减,由单调有界原理,存在,记在两边令,可得所以习 题 1-61. 设在内可导,且 存在. 证明:证明:2. 设在上可微,
3、 和存在.证明:.证明:记(有限),(有限),则 从而 所以3. 设在上可导,对任意的,,证明:.证明:因为,所以,由广义罗必达法则得4设在上存在有界的导函数,证明:.证明:,有界,所以习 题 2-1(此题已换) 1. 若自然数不是完全平方数,证明是无理数. 1.证明是无理数证明:反证法. 假若且互质,于是由可知,是的因子,从而得即,这与假设矛盾2. 求下列数集的上、下确界.(1) 解:(2)解:(3) 解:(4).解:3设,验证.证明:由得是的一个下界.另一方面,设也是的下界,由有理数集在实数系中的稠密性,在区间中必有有理数,则且不是的下界.按下确界定义, .4用定义证明上(下)确界的唯一性
4、.证明:设为数集的上确界,即.按定义,有.若也是的上确界且.不妨设,则对有即 矛盾.下确界的唯一性类似可证习 题 2-21用区间套定理证明:有下界的数集必有下确界.证明:设是的一个下界,不是的下界,则. 令,若是的下界,则取;若不是的下界,则取. 令,若是的下界,则取;若不是的下界,则取;, 按此方式继续作下去,得一区间套,且满足:是的下界,不是的下界. 由区间套定理 ,且. 下证: 都有,而,即是的下界.由于,从而当充分大以后,有.而不是的下界不是的下界,即是最大下界2. 设在上无界.证明:存在,使得在的任意邻域内无界.证明:由条件知,在上或上无界,记使在其上无界的区间为;再二等分,记使在其
5、上无界的区间为,继续作下去,得一区间套,满足在上无界.根据区间套定理,且.因为对任意的,存在,当时,有,从而可知在上无界3.设,在上满足,若在上连续, 在上单调递增.证明:存在,使.证明:记且二等分.若,则记若则记.类似地,对已取得的二等分,若,则记;若,则记按此方式继续下去,得一区间套,其中根据区间套定理可知,且有 .因为在上连续,所以 注意到 可得 ,再由 可知 , .习 题 2-31. 证明下列数列发散.(1), 证 因为, 所以发散. (2), 证明:因为 所以发散.2证明:单调数列收敛的充要条件是其存在一个收敛子列.证明:由收敛数列与子列的关系,结论显然 不妨假设数列单调递增,且存在
6、收敛子列,由极限定义对任意给定的,总存在正整数,当时,从而有;由于,对任意,存在正整数,当时,取,则任意时,所以,即3. 设极限存在,证明:.证明:记由海茵定理,取,得取,得取,得,解得(此题取消)4. 数列收敛于的充要条件是:其偶数项子列和奇数项子列皆收敛于(此题改为4)5. 已知有界数列发散,证明:存在两个子列和收敛于不同的极限.证明:因为有界,由致密性定理,必有收敛的子列,设. 又因为不收敛,所以存在,在以外,有的无穷多项,记这无穷多项所成的子列为,显然有界.由致密性定理,必有收敛子列,设 ,显然 .习 题 2-51. 用柯西收敛准则判定下列数列的收敛性(1) 解:所以,对,即为柯西列
7、(2) .解:所以,对,即为柯西列2. 满足下列条件的数列是不是柯西列?(1) 对任意自然数,都有解:不是柯西列,如,对任意的自然数,但数列不收敛。 (2), 解:所以,对,即为柯西列 (3).证明:记,则单调递增有上界,从而必有极限,记对从而 故 是柯西列习 题 3-11.设定义在上的函数在内连续,且和存在(有限). 问在上是否有界? 是否能取得最值?解:在闭区间上构造辅助函数 则在上连续,从而在上有界. 由于,故在上也有界,即存在,使得 . 令 ,则有 .条件同上,但在上却不一定能取得极值. 例如:2.设在内连续,且.证明在内可取得最小值.证明:因为,所以,当时,有因为,所以,当时,有从而
8、当时,有又在连续,从而一定可以取到最小值,即,使当时,且;故时,有所以在处取到最小值习 题 3-2(此题已换)1. 设,. 证明:方程在和内恰好各有一个实根.1. 证明开普勒(Kepler)方程有唯一实根证明:令,则在连续且,由零点原理,使,即方程至少有一实根又,所以在单调递增,所以方程有唯一实根(此题已换)2. 设函数在()内连续且有极值点. 证明: 存在使得 2.设,讨论方程实根的个数解:step1.令,则,由零点原理,在至少有一实根,又,所以在单调递增,从而方程在内有且仅有一实根。step2.令,则,且,所以当时,函数单调递减;当时,函数单调递增,所以函数在点取得极小值。所以,当时,方程
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