2023年数学竞赛中的数论问题.doc
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1、2-4 数学竞赛中数论问题(09-10-28)数论是研究自然数一种数学分支.一、数学竞赛中数论问题基本内容重要有8个定义、15条定理.定义1 (带余除法)给定整数假如有整数满足 ,则和分别称为除以商和余数尤其,时,则称被整除,记作,或者说是倍数,而是约数定义2 (最小公倍数)非零整数最小公倍数是能被其中每一种所整除最小正整数,记作定义3 (最大公约数)设整数中至少有一种不等于零,这个数最大公约数是能整除其中每一种整数最大正整数,记作定理1 对任意正整数,有 定义4 假如整数 满足,则称与是互素(此前也称为互质)定义5 不不不小于1且除1及其自身外没有别正整数因子正整数,称为素数(此前也称为质数
2、)别旳不不不小于1正整数称为合数;数1既不是素数也不是合数定理2 素数有无穷多种,2是唯一偶素数定义6 对于整数,且,若,则称有关模同余,记作若则称有关模不一样余,记作 定理3 (整除性质)设整数为非零整数,(1) 若,则;(2) 若,则;(3) 若,则对任意整数,有;(4) 若,且,则;(5) 若,且,则(6) 若为素数,且,则或定理4 (同余性质)设为整数,(1) 若且,则;(2) 若且,则且(3) 若,则对任意正整数有,且;(4) 若,且对非零整数有,则定理5 设为整数,为正整数,(1) 若,则;(2) 若,则;(3) 若,则定义7 设为正整数,为不不不小于2正整数,是不不小于非负整数,
3、且若 ,则称数为进制体现定理6 给定整数,对任意正整数,均有唯一进制体现定理7 任意一种正整数与它十进制体现中所有数字之和有关模9同余定理8 (分解唯一性)每个不不不小于1正整数都可分解为素数乘积,并且不计因数次序时,这种体现是唯一 .定理9 若正整数素数分解式为 则约数个数为,一切约数之和等于 定义8 对任意实数,是不超过最大整数亦称为整数某些,定理10 在正整数素因子分解式中,素数作为因子出现次数是 定理11 假如素数不能整除整数,则定理12 设为素数,对任意整数,有定理13 设正整数,则不不不不小于且与互素正整数个数为 定理14 整系数二元一次方程存在整数解充足必要条件是定理15 若是整
4、系数二元一次方程一种整数解,则方程一切整数解可以体现为 二. 数学竞赛中数论问题重点类型重要出现8类问题.:1.奇数与偶数(奇偶分析法、01法);2.约数与倍数、素数与合数;3.平方数;4.整除;5.同余;6.不定方程;7.数论函数、高斯函数、欧拉函数;8.进位制(十进制、二进制).三. 例题选讲 例1 有100盏电灯,排成一横行,从左到右,咱们给电灯编上号码1,2,99,100.每盏灯由一种拉线开关控制着.最初,电灯全是关着.此外有100个学生,第一种学生走过来,把但凡号码为1倍数电灯开关拉了一下;接着第2个学生走过来,把但凡号码为2倍数电灯开关拉了一下;第3个学生走过来,把但凡号码为3倍数
5、电灯开关拉了一下,如此等等,最终那个学生走过来,把编号能被100整除电灯开关拉了一下,这样过去之后,问哪些灯是亮?讲解 (1)直接计算100次记录,会眼花缭乱.(2)拉电灯开关有什么规律:电灯编号包括正约数(学生)才能拉、不是正约数(学生)不能拉,有几种正约数就被拉几次.(3)灯被拉次数与亮不亮(开、关)有什么关系:0123456789关开关开关开关开关开 灯被拉奇多次亮!(4)哪些数有奇数个约数:平方数.(5)1100中有哪些平方数:共10个:1,4,9,16,25,36,49,64,81,100.答案:编号为1,4,9,16,25,36,49,64,81,100共10个还亮.例2 用体现不
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