浙江省2018年1月份普通高中学业水平考试数学试题.doc

浙江省2018年1月份普通高中学业水平考试数学试题
选择题部分
一、选择题（共25小题，1－15每小题2分，16－25每小题3分，共60分.每小题给出的选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分.）
1、设集合M={0,1,2}，则 （　　）
A.1∈M B.2ÏM C.3∈M D.{0}∈M
2、函数的定义域是 （　　）
A. [0，+∞） B.[1，+∞） C. （－∞，0] D.（－∞，1]
3、若关于x的不等式mx－2>0的解集是{x|x>2}，则实数m等于 （　　）
A.－1 B.－2 C.1 D.2
4、若对任意的实数k，直线y－2=k(x+1)恒经过定点M，则M的坐标是 （　　）
A.（1，2） B.（1，－2） C.（－1，2） D.（－1，－2）
5、与角－终边相同的角是 （　　）
A. B. C. D.
6、若一个正方体截去一个三棱锥后所得的几何体如图所示，则该几何体的正视图是（　　）

（第6题图）
A.
B.
C.
D.
7、以点（0，1）为圆心，2为半径的圆的方程是 （　　）
A.x2+(y－1)2=2 B. (x－1)2+y2=2 C. x2+(y－1)2=4 D. (x－1)2+y2=4
8、在数列{ an }中，a1=1，an+1=3an(n∈N*)，则a4等于 （　　）
A.9 B.10 C.27 D.81
9、函数的图象可能是 （　　）

A.
B.
C.
D.
10、设a,b是两个平面向量，则“a＝b”是“|a|＝|b|”的 （　　）
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
11、设双曲线C：的一个顶点坐标为（2，0），则双曲线C的方程是（　　）
A. B. C. D.
12、设函数f(x)＝sinxcosx，x∈R，则函数f(x)的最小值是 （　　）
A. B. C. D.－1
13、若函数f(x)=(a∈R)是奇函数，则a的值为 （　　）
A.1 B.0 C.－1 D.±1
14、在空间中，设α，b表示平面，m，n表示直线.则下列命题正确的是 （　　）
A.若m∥n，n⊥α，则m⊥α
B. 若α⊥b，mÌα，则m⊥b
C.若m上有无数个点不在α内，则m∥α
D.若m∥α，那么m与α内的任何直线平行
15、在△ABC中，若AB=2，AC=3，∠A=60°，则BC的长为 （　　）
A. B. C.3 D.
16、下列不等式成立的是 （　　）
A.1.22>1.23 B.1.2－3<1.2－2 C. log1.2 2>log1.2 3 D.log0.2 2<log0.2 3
17、设x0为方程2x+x=8的解.若x0 ∈(n,n+1)(n∈N*)，则n的值为 （　　）
A.1 B.2 C.3 D.4
18、下列命题中，正确的是 （　　）
A. $ x0∈Z，x02<0 B. "x∈Z，x2≤0 C. $ x0∈Z，x02=1 D."x∈Z，x2≥1
19、若实数x,y满足不等式组，则2y－x的最大值是（　　）
A.－2 B.－1 C.1 D.2
20、如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为线段A1C1的中点，
则异面直线DE与B1C所成角的大小为　　　　　　　　（　　）
A.15° B.30° C.45° D.60°

（第20题图）
21、研究发现，某公司年初三个月的月产值y（万元）与月份n近似地满足函数关系式y=an2+bn+c（如n=1表示1月份）.已知1月份的产值为4万元，2月份的产值为11万元，3月份的产值为22万元.由此可预测4月份的产值为 （　　）
A.35万元 B.37万元 C.56万元 D.79万元
22、设数列{ an }，{ an 2} (n∈N*)都是等差数列，若a1＝2，则a22+ a33+ a44+ a55等于（　　）
A.60 B.62 C.63 D.66
23、设椭圆G：的焦点为F1，F2，若椭圆G上存在点P，使△P F1F2是以F1P为底边的等腰三角形，则椭圆G的离心率的取值范围是 （　　）
A. B. C. D.
24、设函数，给出下列两个命题：
①存在x0∈(1,+∞)，使得f(x0)<2；
②若f(a)=f(b)(a≠b)，则a+b>4.其中判断正确的是 （　　）
A.①真，②真 B. ①真，②假 C. ①假，②真 D. ①假，②假
25、如图，在Rt△ABC中，AC=1，BC=x，D是斜边AB的中点，将△BCD沿直线CD翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得CB⊥AD，则x的取值范围是 （　　）
A. B. C. D.（2，4]

（第25题图）
非选择题部分
二、填空题（共5小题，每小题2分，共10分）
26、设函数f(x)=，则f(3)的值为
27、若球O的体积为36pcm3，则它的半径等于 cm.
28、设圆C：x2+y2=1，直线l: x+y=2，则圆心C到直线l的距离等于 .
29、设P是半径为1的圆上一动点，若该圆的弦AB=，则的取值范围是
30、设ave{a,b,c}表示实数a,b,c的平均数，max{a,b,c}表示实数a,b,c的最大值.设A= ave{}，M= max{}，若M=3|A－1|，则x的取值范围是
三、解答题（共4小题，共30分）
31、（本题7分）已知，求和的值.

32、（本题7分，有（A），（B）两题，任选其中一题完成，两题都做，以（A）题记分.）
（A）如图，已知四棱锥P－ABCD的底面为菱形，对角线AC与BD相交于点E，平面PAC垂直于底面ABCD，线段PD的中点为F.
（1）求证：EF∥平面PBC；
（2）求证：BD⊥PC.

（第32题（A）图）

（B）如图，在三棱锥P－ABC中，PB⊥AC，PC⊥平面ABC，点D，E分别为线段PB，AB的中点.
（1）求证：AC⊥平面PBC；
（2）设二面角D－CE－B的平面角为θ，若PC=2，BC=2AC=2，求cosθ的值.

（第32题（B）图）

33、（本题8分）如图，设直线l: y=kx+(k∈R)与抛物线C：y=x2相交于P，Q两点，其中Q点在第一象限.
（1）若点M是线段PQ的中点，求点M到x轴距离的最小值；
（2）当k>0时，过点Q作y轴的垂线交抛物线C于点R，若＝0，求直线l的方程.

（第33题图）

34、（本题8分）设函数f(x)=x2－ax+b,a,b∈R..
（1）已知f(x)在区间(－∞,1)上单调递减，求a的取值范围；
（2）存在实数a，使得当x∈[0,b]时，2≤f(x)≤6恒成立，求b的最大值及此时a的值.

浙江省2018年1月份普通高中学业水平考试
数学试题参考答案
一、选择题（共25小题，1－15每小题2分，16－25每小题3分，共60分.每小题给出的选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分.）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
答案
A
B
C
C
C
A
C
C
A
A
D
B
B
A
D
题号
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25

答案
B
B
C
C
B
B
A
D
C
A

25题解答
（1）由题意得，AD=CD=BD=，BC=x，取BC中点E，
翻折前，在图1中，连接DE,CD,则DE=AC=，
翻折后，在图2中，此时 CB⊥AD。
∵BC⊥DE，BC⊥AD，∴BC⊥平面ADE，∴BC⊥AE，DE⊥BC，
又BC⊥AE，E为BC中点，∴AB=AC=1∴AE=，AD=，
在△ADE中：①，②，③x>0；
由①②③可得0<x<.
（2）如图3，翻折后，当△B1CD与△ACD在一个平面上，AD与B1C交于M，且AD⊥B1C，AD=B1D＝CD=BD，∠CBD=∠BCD=∠B1CD，又∠CBD+∠BCD+∠B1CD＝90°，
∴∠CBD=∠BCD=∠B1CD＝30°，∴∠A=60°，BC=ACtan60°，此时x=1×
综上，x的取值范围为(0,]，选A。

图1 图2 图3
▲对25题的本人想法

（学业水平考试选择题的最后一题）

折纸时得到灵感！
这题应该是图2变化而来的吧。

（图1）

（图2）
【分析】
平面AEF是BD的垂面（如图1），翻折时AC至少得达到AF位置，
此时必须∠CAD≥∠DAE，
【解答】
∠CAD≥∠DAE，∠CAD＝∠C=∠BAE≥∠DAE， ∠CAD+∠DAE+∠BAE =90°≤3∠C,
从而可得∠C≥30°，∠B≤60°，x=tanB≤，故x的范围是(0, ]

二、填空题（共5小题，每小题2分，共10分）
26、７ 27、３ 28、 29、 30、{x|x=－4或x≥2}
29题解答

∴与共线时，能取得最值。
①若与同向，则取得最大值，∴取得最大值
②若与反向，则取得最小值，∴取得最小值
∴的取值范围是
30题解答
由题意易得A=，故3|A-1|=|x|=,M=
∵M=3|A－1|
∴当x<0时，－x=，得x=－4
当0<x<1时， x=，得x=，舍去
当1<x<2时， x=，得x=2，舍去
当x≥2时， x=x，恒成立
综上所述，x=－4或x≥2
注：此题数形结合更好得解。
三、解答题（共4小题，共30分）
31、（本题7分）已知，求和的值.
解：∵∴
∴

32、（本题7分，有（A），（B）两题，任选其中一题完成，两题都做，以（A）题记分.）
（A）如图，已知四棱锥P－ABCD的底面为菱形，对角线AC与BD相交于点E，平面PAC垂直于底面ABCD，线段PD的中点为F.
（1）求证：EF∥平面PBC；
（2）求证：BD⊥PC.

（第32题（A）图）

（1）证明：∵菱形对角线AC与BD相交于点E∴AC与BD互相平分，即AE=CE，BE=DE
又∵线段PD的中点为F∴EF为△PBD的中位线∴EF∥PB
又EF平面PBC，PBÌ平面PBC∴EF∥平面PBC
（2）证明：∵平面PAC⊥底面ABCD，平面PAC∩底面ABCD＝AC，
菱形ABCD中，AC⊥BD，BDÌ平面ABCD∴BD⊥平面PAC∴BD⊥PC

（B）如图，在三棱锥P－ABC中，，PC⊥平面ABC，.
（1）求证：AC⊥平面PBC；
（2）设二面角D－CE－B的平面角为θ，若PC=2，BC=2AC=2，求cosθ的值.

（第32题（B）图）

（1）证明：∵PC⊥平面ABC∴PC⊥AC，又∵PB⊥AC，PC∩PB=P∴AC⊥平面PBC
（2）解：∵PC⊥平面ABC∴PC⊥AC，PC⊥BC，
又AC⊥平面PBC∴AC⊥PC，AC⊥BC即CA，AB，CP互相垂直。
如图，取BC的中点为F，连接DF,EF
∵点D，E分别为线段PB，AB的中点
∴EF∥AC，DE∥PA，DF∥PC
∴EF⊥BC，DF⊥BC，DF⊥平面ABC，
且EF＝AC＝，DF＝PC=1，CF＝CB=1
∴，
∴BC=CE=BE=2∴△BCE是等边三角形
过F用FM⊥CE交CE于M，连接DM,FM

（第32题（B）图）
∴
∴
33、（本题8分）如图，设直线l: y=kx+(k∈R)与抛物线C：y=x2相交于P，Q两点，其中Q点在第一象限.
（1）若点M是线段PQ的中点，求点M到x轴距离的最小值；
（2）当k>0时，过点Q作y轴的垂线交抛物线C于点R，
若＝0，求直线l的方程.

（第33题图）
解：（1）设
由消去y，整理得 ∴
∴
点M到x轴距离的最小值为
（2）由题意得
∴
＝
∴，从而，故
∴，
解得（负根舍去）∵ k>0 ∴
所以，直线l的方程为
34、（本题8分）设函数f(x)=x2－ax+b,a,b∈R..
（1）已知f(x)在区间(－∞,1)上单调递减，求a的取值范围；
（2）存在实数a，使得当x∈[0,b]时，2≤f(x)≤6恒成立，求b的最大值及此时a的值.