SARS的数学模型与分析.doc
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1、SARS的数学模型与分析张小五 牛双建 王冬梅指导教师:平顶山工学院数学建模辅导小组 摘要:本文研究了SARS疫情的预测问题。目的是建立数学模型反映SARS疫情的传播规律,在此情况上预测了SARS疫情的发展趋势和对经济的影响。本文首先就附件1的数学模型进行合理性和实用性的评价,并指出了它的不足之处。从这个模型我们受到启发,联想到人口预报的初步模型。按照人口模型建立的发展过程,我们相应地建立了逐步完善的SARS模型:指数模型,Logistic模型,SIR模型。主要采用数据拟合的方法来确定模型中的参数。对指数模型我们只作了一些定性的分析,重点讨论了Logistic模型,SIR模型。Logistic
2、模型我们从累计确诊病人数的变化和病人增长率的变化来进行研究,对每个参数的实际意义我们都作了详细的分析。最后简要讨论了提前或延迟5天进行隔离对病情的影响。模型(二)中我们先将函数反映到图形上,并结合图表对香港、北京两地的SARS疫情发展进行直观比较,得到了一些合理且有实用参考价值的数据。同时我们在建模过程中也遇到了一系列困难,对图表的分析能力不够,缺乏详细的流行病学方面的知识,很多参数的确定没经验概念,只能通过定性分析,简单假设,已知数据的拟合得到。对问题3,SARS对旅游业的影响,我们把原来离散的时间(天)看成连续变量,从众多影响因素中提炼出对旅游业影响最大的两个因素,建立常微分方程模型。最后
3、简要写了一篇给当地报社的短文,意在阐述建立传染病模型的重要性。关键词:SARS 指数模型 Logistic模型 SIR模型曲线拟合一、评价早期模型的合理性和实用性附件一提供的模型中参数K和L具有比较明显的实际意义, 在参数的范围控制上比较合理。在程序设计过程中,K值的确定考虑到与医疗机构隔离病人的时机和隔离的严格程度有关,采用不同阶段不同取值的方法,很好地描述了这一现象。其次该模型在已有数据的基础上拟合程度比较好,合理地反映了这一阶段香港疫情的实际情况。可以根据它的拟合曲线来预测近期内的病情走势,为政府和医疗机构提供一定的信息依据,使得他们能够对病人进行及时的管理和治疗,从而降低病毒在社会上的
4、蔓延程度。另外该模型具有广泛的适用性。它对不同地区的数据进行了仔细的对照分析,得出不同的统计结果,做到了具体问题具体分析的原则,使得我们可以对不同地区进行病情分析和预测。当然,该模型也有一些不足之处。例如文中所述,到达高峰期后,在10天的范围内逐步调整值到比较小,这个时间就缺乏理论依据,减小了可信度。但由于SARS传播系统是一个非线性的动态反馈复杂系统,做一些简化的假设和近似是必要的,因而该模型有一定的实用性,不能完全否定。下面我们建立自己的模型。二、 新模型的建立1).附件2的数据处理 观察分析“已确诊病例累积”一栏的数据,6月6日:2522,6月7日:2523,6月8日:2522,这说明6
5、月7日有误诊一例,实际确诊病例累计应为2522。再看6月11日:2523,6月12日:2523,6月13日:2522,说明6月11日有误诊一例,6月11日、12日的实际确诊病例应为2522。同样分析其他数据,我们可知5月31日到6月23日的实际确诊累计病例都为2521为此我们以下计算模拟都采用附件2经过处理后的数据。2).总体假设:1.SARS所有可能的传播途径视为与病源的直接接触。2.根据SARS的疾病传播期内,所考察的地区总人口视为常数。3).根据SARS的特点建立如下3个逐步完善的模型。模型1指数模型1.符号说明:N:累计确诊病例数K: 平均每个病人每天可传染的人数,即病例的相对增加率。
6、t:时间:表示=0时刻患病人数 2模型的假设:K是常数 3. 模型的建立设天内病例增加,则每天的病例增加数: 则 K= (1)由(1)得到 解得 N(t)=Ne (2)将t以天为单位离散化,(2)式表明N以e为公比的等比数列增长,又K远远小于1,因此e1+K则可将(2)式写成N(t) N(1+K)因此附件1所给出模型的数学表达只不过是该指数增长模型的近似表示。4.模型的分析 取4月20日以前的数据进行拟合,确定参数N、K ,代入(2),做出N(t)=Ne 的图像。考虑到我们建模的重点,在此我们不进行具体拟合,作图。但该模型的意义是明确的。若在同一图中描出4月20日以前公布的累计确诊病例数,两者
7、进行比较,这样可看出4月20日以前的数据是否有瞒报,缓报,漏报;若该模型在传染病初期就被建立,从函数的曲线上便可知呈现疫情爆发的大致时间,可及时控制疫情。也就是说该模型能为预防和控制提供可靠信息。当然一个正常的社会,决不会听任疫情按自然状态一直发展,当累计病例数到一定程度后,社会成员及各组织因此而感到威胁,社会也受到较大伤害,进而采取一系列措施,使K下降,而这个威胁和伤害程度取决于N,因此相对增加率K随着N的增加而减小,这是定性分析,我们也可做定量分析,在(1)式中逐个代入用公布的数据N,逐个算出K,并把K随N变化作在图中,见图1,很直观地看到了K随N的增大而减小。图1模型2Logistic1
8、. 符号说明:表示时刻已经被传染病人数:表示时刻未被传染病人数:表示总人数:表示=0时刻患病人数:表示传染强度:相对平均每个病人每天可传染的人数,即病例的增加率。t:时间2. 模型假设: 1).每个病人单位时间内传染的人数与这时未被传染的人数成正比,即=.2).一个人得病后经久不愈并在传染期内不会死亡.3.模型的建立:所以由假设得: 4.模型的求解:由式求得 := 由(4)式可得: 令:得:极大点为 从表达式中看出,卫生部所采取的措施如隔离措施的严格程度对疫情的发展有较大影响。若提前5天采取隔离措施,也即传染病控制程度高,控制效果较明显;延后5天则病人总数将增加许多。 5模型的分析:取6月1日
9、以前的数据进行拟合,得出,代入(4)、(5)式,做出的图像和的图像考虑到我们建模的重点,在此我们进行具体拟合。若在同一图中描出6月1日以前公布的累计确诊病例数,两者进行比较,这样可看出6月1日以前的数据是否有瞒报,缓报,漏报;若该模型在传染病传播过程中被建立,从函数的曲线上便可知呈现疫情增加的大致时间,可及时了解疫情。也就是说该模型能为了解疫情提供可靠信息并能对疫情采取一定的措施。当然一个正常的社会,决不会听任疫情按自然状态以后,社会成员及各组织因此而感到威胁,社会也受到较大伤害,进而采取一系列措施,使K下降,而这个威胁和伤害程度取决于N,因此相对增加率K随着N的增加而减小, 也随着S(t)的
10、减小而减小。6.模型的评价:传染强度或总人数增加时,都将变小,即传染病高峰来得快。这与实际情况吻合。同时,我们通过统计数据得出,即可预报传染病高峰到来的时间,这对于防治SARS传染是有帮助的。但是,当时,N(t),即最后人人都要得病。这显然是不可能的。造成这原因是假设2)式中假设了人得病后经久不愈。模型3 SIR模型考虑得SARS病后有的会死亡,另外不是每个人被传染后都被会传染别人,因为其中一部分被隔离,同时考虑人得了SARS病后由于医治和人自身的抵抗力会痊愈我们建立模型31模型的符号说明 x:表示为传染率。 y:表示为排除率。K:表示相对平均每个病人每天可传染的人数,即病例的增加率。t:时间
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