2023年第二十届全国中学生物理竞赛复赛试题参考解答.doc
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1、第二十届全国中学生物理竞赛复赛试题参考解答、评分标准一、参考解答令表达质子的质量,和分别表达质子的初速度和到达a球球面处的速度,表达元电荷,由能量守恒可知 (1)由于a不动,可取其球心为原点,由于质子所受的a球对它的静电库仑力总是通过a球的球心,所以此力对原点的力矩始终为零,质子对点的角动量守恒。所求的最大值相应于质子到达a球表面处时其速度方向刚好与该处球面相切(见复解20-1-1)。以表达的最大值,由角动量守恒有 (2)由式(1)、(2)可得 (3)代入数据,可得 (4)若把质子换成电子,则如图复解20-1-2所示,此时式(1)中改为。同理可求得 (5)评分标准:本题15分。式(1)、(2)
2、各4分,式(4)2分,式(5)5分。二、参考解答在温度为时,气柱中的空气的压强和体积分别为, (1) (2)当气柱中空气的温度升高时,气柱两侧的水银将被缓慢压入A管和B管。设温度升高届时,气柱右侧水银刚好所有压到B管中,使管中水银高度增大 (3)由此导致气柱中空气体积的增大量为 (4)与此同时,气柱左侧的水银也有一部分进入A管,进入A管的水银使A管中的水银高度也应增大,使两支管的压强平衡,由此导致气柱空气体积增大量为 (5)所以,当温度为时空气的体积和压强分别为 (6) (7)由状态方程知 (8)由以上各式,代入数据可得K (9)此值小于题给的最终温度K,所以温度将继续升高。从这时起,气柱中的
3、空气作等压变化。当温度到达时,气柱体积为 (10)代入数据可得 (11)评分标准:本题15分。求得式(6)给6分,式(7)1分,式(9)2分,式(10)5分,式(11)1分。三、参考解答位于通道内、质量为的物体距地心为时(见图复解20-3),它受到地球的引力可以表达为 , (1)式中是以地心为球心、认为半径的球体所相应的那部分地球的质量,若以表达地球的密度,此质量可以表达为 (2)于是,质量为的物体所受地球的引力可以改写为 (3)作用于质量为的物体的引力在通道方向的分力的大小为 (4) (5)为与通道的中垂线间的夹角,为物体位置到通道中点的距离,力的方向指向通道的中点。在地面上物体的重力可以表
4、达为 (6)式中是地球的质量。由上式可以得到 (7)由以上各式可以求得 (8)可见,与弹簧的弹力有同样的性质,相应的“劲度系数”为 (9)物体将认为平衡位置作简谐振动,振动周期为。取处为“弹性势能”的零点,设位于通道出口处的质量为的静止物体到达处的速度为,则根据能量守恒,有 (10)式中表达地心到通道的距离。解以上有关各式,得 (11)可见,到达通道中点的速度与物体的质量无关。设想让质量为的物体静止于出口处,质量为的物体静止于出口处,现将它们同时释放,由于它们的振动周期相同,故它们将同时到达通道中点处,并发生弹性碰撞。碰撞前,两物体速度的大小都是,方向相反,刚碰撞后,质量为的物体的速度为,质量
5、为的物体的速度为,若规定速度方向由向为正,则有 , (12) (13)解式(12)和式(13),得 (14)质量为的物体是待发射的卫星,令它回到通道出口处时的速度为,则有 (15)由式(14)、(15)、(16)和式(9)解得 (16)的方向沿着通道。根据题意,卫星上的装置可使的方向改变成沿地球处的切线方向,假如的大小恰能使小卫星绕地球作圆周运动,则有 (17)由式(16)、(17)并注意到式(6),可以得到 (18)已知m,则得 (19)评分标准:本题20分。求得式(11)给7分,求得式(16)给6分,式(17)2分,式(18)3分,式(19)2分。四、参考解答图复解20-4-1中画出的是进
6、入玻璃半球的任一光线的光路(图中阴影处是无光线进入的区域),光线在球面上的入射角和折射角分别为和,折射光线与坐标轴的交点在。令轴上的距离为,的距离为,根据折射定律,有 (1)在中 (2) (3)由式(1)和式(2)得 再由式(3)得 设点到的距离为,有 得 (4)解式(4)可得 (5)为排除上式中应舍弃的解,令,则处应为玻璃半球在光轴上的傍轴焦点,由上式由图可知,应有,故式(5)中应排除号中的负号,所以应表达为 (6)上式给出随变化的关系。由于半球平表面中心有涂黑的面积,所以进入玻璃半球的光线都有,其中折射光线与轴交点最远处的坐标为 (7)在轴上处,无光线通过。随增大,球面上入射角增大,当大于
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