数列极限是数学分析最重要的基础之一它不仅与函数极限市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx
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1、返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页 数列极限是数学分析最主要基础之一,它不但与函数极限亲密相关,而且为今后学习级数理论提供了必要准备知识.1 数列极限概念一、数列定义六、一些例子五、再论“-N”说法四、按定义验证极限三、收敛数列定义二、一个经典例子第1页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页为数列为数列.因为因为N+全部元素能够从小到大排列出来全部元素能够从小到大排列出来,则称则称若函数若函数 f 定义域为全体正整数集合定义域为全体正整数集合 或简记为或简记为 an.这里这里 an 所以我们也将数列所以我们也将数列写成写成称为数列称为数列 an 通项通项.一、数列定义第
2、2页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页二、一个经典例子样过程能够无限制地进行下去样过程能够无限制地进行下去.我我们们把把天天天天截截下下部部分分(或或剩剩下下部部分分)长长度度列列出出:第一天截下第一天截下 第二天截下第二天截下第第n天截下天截下这么就得到一个数列这么就得到一个数列:古代哲学家庄周所著庄子古代哲学家庄周所著庄子 天下篇引用了天下篇引用了一句话一句话:“一尺之棰一尺之棰,日取其半日取其半,万世不竭万世不竭”.它它意思是意思是:一根长为一尺木棒一根长为一尺木棒,天天截下二分之一天天截下二分之一,这这第3页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页轻易看出轻易看出
3、:数数列列伴随伴随 n 无无限增限增大而无限趋于大而无限趋于 0 0.第4页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页三、收敛数列定义下面给出严格数学定义下面给出严格数学定义.定义定义1为一个数列为一个数列,a 为一个常数为一个常数,若对于若对于任意正数任意正数 ,总存在正整数总存在正整数 N,使当使当 n N 时时,则称数列则称数列收敛于收敛于a,又称又称 a 为数列为数列 极限极限,普通地说普通地说,对于数列对于数列 ,若当若当 n 充分变大时充分变大时,an能无限地靠近某个常数能无限地靠近某个常数 a,则称则称 收敛于收敛于 a.第5页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前
4、页记作记作若若 不收敛不收敛,则称则称 为为发散发散数列数列.注注 定义定义1 这种陈说方式,俗称为这种陈说方式,俗称为“-N”说说法法.第6页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页四、按定义验证极限以说明以说明,希望大家对希望大家对“-N”说法能说法能有正确认识有正确认识.例例1 1用定义验证用定义验证:分析分析 对于任意正数对于任意正数要使要使只要只要证证 对于任意正数对于任意正数 ,所以所以为了加深对数列收敛定义了解为了加深对数列收敛定义了解,下面结合例题加下面结合例题加第7页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例2 用定义验证用定义验证分析分析 对于任意正数对于
5、任意正数 ,要使要使 只要只要这就证实了这就证实了证证第8页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页只要只要 即可即可.例例3 用定义验证用定义验证分析分析故要使故要使成立成立,第9页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页证证 对于任意正数对于任意正数 ,取取即得即得注意注意 解这个不等式是在解这个不等式是在 条件下进行条件下进行.第10页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页所以所以例例4用定义验证用定义验证所以证得所以证得证证 这里只验证这里只验证情形(情形(时自证)时自证).故对于任意正数故对于任意正数 第11页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页
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