清华大学微积分高等数学课件第讲常微分方程三市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx

作业作业 18.20.复习复习 P220245P236 习题习题 8.2 P241 习题习题 8.3 3.5.6.7.12.16.10/10/1第1页 第二十三讲第二十三讲 常微分方程常微分方程（三）（三）二、常微分方程应用举例二、常微分方程应用举例一、可降阶微分方程一、可降阶微分方程10/10/2第2页逐次积分逐次积分一、一、高阶可降阶微分方程高阶可降阶微分方程积分一次积分一次再积分一次再积分一次10/10/3第3页变量替换变量替换原方程变形成为原方程变形成为一阶一阶10/10/4第4页特点是：不显含特点是：不显含 y y解解积分积分,得通解得通解10/10/5第5页解解2注意到方程特殊性注意到方程特殊性积分积分,得通解得通解10/10/6第6页一阶一阶变量替换变量替换原方程变形成为原方程变形成为10/10/7第7页特点是：不显含特点是：不显含 x解解方程化为方程化为分离变量分离变量积分积分10/10/8第8页分离变量解得分离变量解得10/10/9第9页列方程惯用方法列方程惯用方法(1)利用物理定律列方程利用物理定律列方程(2)利用导数几何意义列方程利用导数几何意义列方程(3)利用微元分析法列方程利用微元分析法列方程二、常微分方程应用举例二、常微分方程应用举例10/10/10第10页解解 取时间取时间t为自变量，物体温度为自变量，物体温度T(t)为为未知函数未知函数.由牛顿冷却定律知由牛顿冷却定律知初始条件初始条件10/10/11第11页另外还有一个条件另外还有一个条件:可用来确定百分比常数可用来确定百分比常数k分离变量，得分离变量，得两边积分，得两边积分，得代入上式，得代入上式，得代入，得代入，得10/10/12第12页将将 T=30 T=30 代入，解出代入，解出即，还需再经过即，还需再经过物体温度即可降为物体温度即可降为10/10/13第13页例例2 已知曲线上任一点已知曲线上任一点P(x,y)处切线在处切线在 x轴上截距等于点轴上截距等于点P横坐标二分之一横坐标二分之一,且过定点且过定点(2,1),求此曲线方程求此曲线方程.解解10/10/14第14页由题意得由题意得 又已知曲线过点又已知曲线过点(2,1),于是得到定解问题于是得到定解问题分离变量求得通解分离变量求得通解10/10/15第15页例例3 试设计一反光镜试设计一反光镜,使它能将点光源发使它能将点光源发 出光反射成为平行光出光反射成为平行光解解点光原位于坐标原点点光原位于坐标原点O,由点由点O发出光线经发出光线经反射都成为平行于反射都成为平行于x轴平行光轴平行光由光反射定律由光反射定律10/10/16第16页于是有于是有依据导数几何意义依据导数几何意义得到微分方程得到微分方程一阶齐次一阶齐次变形为变形为10/10/17第17页分离变量分离变量代入代入(1)式，得式，得10/10/18第18页积分，得积分，得取指数取指数10/10/19第19页10/10/20第20页解解列方程，确定初始条件列方程，确定初始条件已知，在任何一段时间内已知，在任何一段时间内容器内含盐改变量容器内含盐改变量=流进盐量流进盐量流出盐量流出盐量若溶液浓度不变，则若溶液浓度不变，则 流出盐量流出盐量=浓度浓度 流出溶液量流出溶液量问题中，溶液浓度一直在变，怎样处理问题中，溶液浓度一直在变，怎样处理?考虑微小时间间隔考虑微小时间间隔 dt 内改变情况内改变情况设时刻设时刻 t 时溶液含盐量为时溶液含盐量为10/10/21第21页 当初间从当初间从 t 变到变到 t+dt 时，容器内含盐量由时，容器内含盐量由 Q 变到变到 Q+dQ，因而容器内含盐改变量为，因而容器内含盐改变量为 dQ从容器内流出溶液量为从容器内流出溶液量为 2dt 在时间在时间 dt 内盐水浓度近似看作不变，看内盐水浓度近似看作不变，看作是作是 t 时刻盐水浓度时刻盐水浓度所以流出盐量为所以流出盐量为10/10/22第22页于是有于是有初始条件初始条件分离变量分离变量通解通解特解特解2810/10/23第23页解解 此问题包括水面高度此问题包括水面高度随时间改变规律随时间改变规律依据水利学定律，流出速度依据水利学定律，流出速度10/10/24第24页 考虑任意时刻考虑任意时刻 t，任取时间区间，任取时间区间t,t+dt在在 dt 时间内，水面高度改变为时间内，水面高度改变为 dh 取时间取时间 t 为自变量，水面高度为自变量，水面高度 h(t)为未为未知函数，并取坐标系如图知函数，并取坐标系如图漏斗内水体积改变量为漏斗内水体积改变量为10/10/25第25页下落水体积下落水体积=流出水体积流出水体积于是列出微分方程于是列出微分方程初始条件初始条件 另方面另方面,时间时间 dt 内从小孔流出水体积等于以内从小孔流出水体积等于以 S 为底，以为底，以(vdt)为高小圆柱体积为高小圆柱体积10/10/26第26页经整理得经整理得解得解得当水流完时，当水流完时，h=010/10/27第27页正交轨线问题正交轨线问题10/10/28第28页思绪：思绪：10/10/29第29页10/10/30第30页这就是正交曲线族！这就是正交曲线族！通解通解10/10/31第31页3910/10/32第32页解解10/10/33第33页10/10/34第34页解解10/10/35第35页通解通解10/10/36第36页