三年级数学思维训练(上).doc

目 录

第一讲 数图形 2
第二讲 找规律 4
第三讲 加减巧算 6
第四讲 填数游戏 8
第五讲 有余数除法 10
第六讲 周期问题 12
第七讲 配对求和 14
第八讲 乘法速算 16
第九讲 乘除巧算 18
第十讲 应用题（一） 20
第十一讲 应用题（二） 22
第十二讲 植树问题 24
第十三讲 重叠问题 26
第十四讲 简单枚举 28
第十五讲 等量代换 30
期末综合练习 32

第1讲 数图形
专题分析：
同学们，你们会数图形吗？要想正确地数出线段、角、三角形……的个数，就必须要有次序、有条理地按照规律去数。
要正确数出图形的个数，关键是要从基本图形入手。首先要弄清图形中包含的基本图形是什么，有多少个；然后再数出由基本图形组成的新的图形，并求出它们的和。

例1：数出下面图中有多少条线段？

A B C D
【思路导航】我们可以采用以线段左端点分类数的方法。
以A为左端点的线段有：AB、AC、AD3条；以B为左端点的线段有：BC、BD2条；以C为左端点的线段有：CD1条。所以，图中共有线段3+2+1=6（条）。
我们还可以这样想：把图中线段AB、BC、CD看做基本线段来数，那么，由1条基本线段构成的线段有：AB、BC、CD3条；由2条基本线段构成的线段有：AC、BD2条；又3条基本线段构成的线段有：AD1条。所以，图中一共有3+2+1=6（条）线段。

例2：数出下图中有几个角？ A O

B

C

D
【思路导航】数角的个数可以采用与数线段相同的方法来数。以AO为一边的角有：∠AOB、∠AOC、∠AOD3个；以BO为一边的角有：∠BOC、∠BOD2个；以CO为一边的角有：∠COD1个。所以图中共有3+2+1=6（个）角。
当然，也可以把图中∠AOB、∠BOC、∠COD看做基本角，那该怎样数呢？

例3：数出下图中共有多少个三角形？ A

B C D E
【思路导航】数三角形的个数也可以采用按边分类的方法来数。以AB为边的三角形有：△ABC、△ABD、△ABE3个；以AC为边的三角形有：△ACD、△ACE2个；以AD为边的三角形有：△ADE1个。所以图中共有三角形3+2+1=6（个）。我们还发现，要数出图中三角形的个数，只需数出△ABE的底边中包含几条线段就可以了，即3+2+1=6（个）。所以图中共有6个三角形。

拓展训练：
1、数一数，一共有几条线段、几个角？
① ②

共（ ）条线段 共（ ）条线段

③ ④

共（ ）个角 共（ ）个角
2、按要求数图形。
① ②

共（ ）个三角形 共（ ）个三角形

③ ④

共（ ）个长方形 共（ ）个长方形

3、填空。
⑴有6个小朋友，每2人握一次手，一共要握（ ）次。

⑵从青岛到上海的直达列车，中途停靠5个站，这次列车共有（ ）种不同票价。

4、解决问题。
⑴三年级有6个班，每两个班要比赛拔河一次，这样一共要组织多少场比赛？

⑵有红、黄、蓝、白四只气球，如果每两只气球扎成一束，共有多少种不同的扎法？

5、提高训练。
有1——6六个数字，能组成多少个不同的两位数？
第2讲 找规律
专题分析：
按照一定顺序排列的一列数，只要从连续的几个数中找到规律，就可以知道其余所有的数。寻找数列的排列规律，除了从相邻两数的和、差考虑，有时还要从积、商考虑。善于发现数列的规律是填数的关键。
例1：在括号内填上合适的数。
（1）3，6，9，12，（ ），（ ）
（2）1，2，4，7，11，（ ），（ ）
（3）2，6，18，54，（ ），（ ）
【思路导航】（1）在数列3，6，9，12，（ ），（ ）中，前一个数加上3就等于后一个数，相邻两个数的差都是3，根据这一规律，可以确定（ ）里分别应填15和18。
（2）在数列1，2，4，7，11，（ ），（ ）中，第一个数增加1等于第二个数，第二个数增加2等于第三个数，即每相邻两个数的差依次是1，2，3，4，……这样下一个数应为11增加5，所以应填16，再下一个数应比16大6，应填22。
（3）在数列2，6，18，54，（ ），（ ）中，后一个数是前一个数的3倍，根据这一规律可以知道（ ）里应分别填162和486。
例2：先找出规律，再在括号里填上合适的数。
（1）2，5，14，41，（ ），（ ）
（2）252，124，60，28，（ ）
（3）1，2，5，13，34，（ ）
（4）187，286，385，（ ），（ ）
【思路导航】（1）在数列中，第一个数2×3-1=5是第二个数，第二个数5×3-1=14是第三以此类推，相邻两个数，前一个数乘以3减1等于后一个数，所以括号里填应122。
（2）在数列中，相邻的两个数，前一个数除以2的商检2等于后一个数，所以括号里应填12。
（3）在数列中，可以发现2×3=1+5，5×3=2+13，13×3=5+34，也就是从第二项开始，每一项乘以3等于它前后相邻两数的和，因而括号里应填89。
（4）在数列中，十位上的数字8不变，百位上的数字依次增加1，个位上的数字依次减少1，且百位与个位数字和为8。因此，括号里应填484，583。
例3：按规律填数。
4
8
2
16
5
10
9
14

7
7
8
4
14
12
11
16

9
9
4
3

14
13

（1）

（2）

【思路导航】（1）横着看，右边的数比左边的数多5，竖着看，下面的数比上面的数多4，因此，方格里填18。
（2）根据前两图的数量关系：4×8÷2=16，7×8÷4=14，因此，第三个图形为9×4÷3=12。
拓展训练：
1、先找规律，再在括号里填上合适的数。
① 0，4，8，（ ），（ ），（ ）
② 1，3，6，10，15，（ ），（ ）
③ 48，38，29，21，（ ），（ ）
④ 3，6，12，24，（ ），（ ）
⑤ 128，64，32，（ ），（ ）
⑥ 15，10，13，10，11，10，（ ），（ ），7，10
⑦ 1，13，2，14，3，15，（ ），（ ）
⑧ 4，7，13，25，（ ）（ ）
⑨ 86，42，20，（ ）
⑩ 198，297，396，（ ），（ ）
2、下面空格里应填什么数？

2
6
3
7

7
11
8

5
9
6
10

3、你能填出缺少的数吗？
73

18
54
5417
37
47
4762
12

4、找出规律，填一填。

1
8
15
22

1
3
9
27

5、你能把方格图填完整吗？

7
16
9
5
21
16
9

4

第3讲：加减巧算
专题分析：
加减巧算主要是运用“凑整”的方法，把接近整十、整百、整千的数看做所接近的数进行简算。凑整之后，对于原数与整十、整百、整千……相差的数，要根据“多加要减去，少加要加上，多减要加上，少减要减去”的原则进行处理。另外，可结合加法交换律、结合律及减法性质凑整，从而达到简算目的。
例1：你有好办法迅速计算出结果吗？
（1）502+799-298-97 （2）9999+999+99+9

【思路导航】先把接近整十、整百、整千的数看成整十、整 百、整千数，再算“零头”，最后把两部分数合起来。
（1）502+799-298-97 （2）9999+999+99+9
=500+2+800-1-300+2-100+3 =10000-1+1000-1+100-1+10-1
=（500+800-300-100）+（2-1+2+3） =10000+1000+100+10-4
=900+6 =11110-4
=906 =11106

例2：计算下面各题。
（1）487+321+113+479 （2）723-251+177
（3）872+284-272 （4）537-142-58

【思路导航】通过观察后，发现后几位数互补或相等，通过加减正好能凑成整十、整百、整千数。
（1）487+321+113+479 （2）723-251+177
=（487+113）+（321+479） =（723+177）-251
=600+800 =900-251
=1400 =649

（3）872+284-272 （4）537-142-58
=872-272+284 =537-（142+58）
=600+284 =537-200
=884 =337

例3：计算下面各题。
（1）321+（279-155） （2）327-（54+72） （3）432-（154-68）

【思路导航】通过观察，我们可以先去括号，再进行移位凑整计算。
（1）321+（279-155） （2）372-（54+72） （3）432-（154-68）
=321+279-155 =372-72-54 =432+68-154
=600-155 =300-54 =500-154
=445 =246 =346

拓展训练：
1、计算下面各题。
①9+97+997+9997 ②8+102+888+1002

③402+503-397-98 ④3999+399+39

2、你能迅速算出结果吗？
①97+101+103+99 ②721-400+279

③6998+995+97+51 ④999+98+37+6

3、简便计算。
①4875-（996+1875） ②4276+（624-176）

4、巧算。
①599+997+201-401 ②5996+999+98+89

5、你能用最短的时间算出结果吗？
1000-81-82-84-85-19-18-17-16-15-83

第4讲：填数游戏
专题分析：
填数时，要求我们仔细观察，确定图形中关键的位置应填几，一般是图形的顶点及中间位置。同时，要将所填的空与所提供的数字联系起来，一般要先计算所填数字的综合与所提供数字的和之差，从而确定关键位置应填几，依次类推……
例1：在下图中分别填入1-9，使两条直线上五个数的和相等，和是多少呢？

【思路导航】可以把1-9中间的5填到中心的○内，剩下八个数，一大一小，搭配成和都是10的四组，这样两条直线上五个数的和都是5+10×2=25。

例2：把数字1-8分别填入下图的小圆圈内，使每个五边形上五个数的和都等于20。

【思路导航】题目中所有8个数字的和是1+2+3+4+5+6+7+8=36，题中要是每个五边形上五个数的和等于20，那么两个五边形上数字的综合是20×2=40.两个五边形上的数字总和比8个数的和多40-36=4.多4的原因是图中中间两个圆圈的数字算了两次，即多算了一次。1-8中只有1和3的和为4，所以先确定关键的中间两个圆圈中，一个填1，一个填3.20-（1+3）=16，16可以分成16=2+6+8，16=4+5+7.所以本题应该这样填。

例3：在图中填入2-9，使没边3个数的和等于15。
【思路导航】解题关键是填出图中的4个顶点，因为求和是这4个顶点各算了两次，多算了一次，所以4边数的和是15×4=60，所给的数的和是2+3+4+5+6+7+8+9=44，所以4个顶点数的和是60-44=16。我们可以选出3+7+4+2=16填入4个顶点……

拓展训练：
1、（1）在下图中填入2-10，使横 （2）把1，4，7，10，13，16，
行、竖行中的五个数的和相同，和是多 19七个数填入图中7个圈中，
少呢？ 使每条线上三个数的和相等。

2、（1）将数字1-6填如下图的小圆 （2）把5，6，7，8，9，10这六
圈内，使每个大圈上的四个数字之和都 个数填入下图三角形三条边
是15。 的○内，使得每条边上的三个数和是21。

3、把1-8填入下图中，使每边三 4、把1-9这九个数填入下
个数的和等于13。 图中，使三角形每条边上四个的和等于19。且有一个顶点的数字为1。

5、把1-10这几个数填入下图中，使每个正方形顶点圆圈内四个数时候都相等，而且最大，这个和汉斯多少?

第5讲：有余数除法
专题分析：
（1）余数要比除数小；
（2）被除数=商×除数+余数。
例1：□÷6=8……□，根据余数写出被除数最大是几？最小是几？
【思路导航】除数是6，根据余数比除数小，余数可以是1，2，3，4，5，根据除数×商+余数=被除数，又已知商、除数、余数，可求出最大的被除数为6×8+5=53，最小的被除数为6×8+1=49。列式如下：
6×8+5=53
6×8+1=49
答：被除数最大是53，最小是49。

例2：算式（ ）÷（ ）=8……（ ）中，被除数最小是几？
【思路导航】题中只告诉我们商是8，要使被除数最小，那么只要除数和余数小就行。余数最小为1，那么除数则为2.根据这些，我们就可以求出被除数最小为：8×2+1=17。

例3：算式28÷（ ）=（ ）……4中，除数和商各是多少？
【思路导航】根据“被除数=商×除数+余数”，可以得知“除数×商=被除数-余数”，所以本题中商×除数=28-4=24。这两个数可能是1和24，2和12，3和8，4和6，又因为余数为4，因此除数可以是24，12，8，6，商分别为1，2，3，4。
28÷24=1……4 28÷8=3……4
28÷12=2……4 28÷6=4……4
答：除数和商分别是24，1；12，2；8，3；6，4。

拓展训练：
1、下面题中被除数最大是几，最小是几？
（1） □÷8=3……□
（2） □÷4=7……□
（3） □÷9=2……□

2、要使除数最小，被除数应是几？
（1）（ ）÷（ ）=15……3
（2）（ ）÷（ ）=8……5
（3）（ ）÷（ ）=12……4

3、下面算式中，被除数最小是几？
（1）（ ）÷（ ）=4……（ ）
（2）（ ）÷（ ）=7……（ ）
（3）（ ）÷（ ）=9……（ ）
（4）（ ）÷（ ）=3……（ ）

4、下面算式中商和余数相等，被除数最小是几？
（1）（ ）÷（ ）=6……（ ）
（2）（ ）÷（ ）=12……（ ）
（3）（ ）÷（ ）=8……（ ）
（4）（ ）÷（ ）=10……（ ）
（5）（ ）÷8=（ ）……（ ）（被除数最大是几）

5、下列算式中，除数和商各是几？
（1）22÷（ ）=（ ）……4
（2）65÷（ ）=（ ）……2
（3）37÷（ ）=（ ）……7
（4）48÷（ ）=（ ）……6
第6讲：周期问题
专题分析：
在日常生活中，有一些按照一定的规律不断重复的现象，如：认得十二生肖，一年有春夏秦东四个季节，一个星期七天等等，称为简单周期问题。这类问题一般要利用余数的知识来解答。
在研究此类问题时，首先要仔细审题，判断其不断重复出现的规律，找出循环固定数，然后利用除法算式求出余数，最后根据余数得出正确结果。
例1：2011年10月1日是星期一，问10月25日是星期几？
【思路导航】我们知道，每星期有7天，也就是说以7天位一个周期不断地重复。从10月1日到10月25日经过25-1=24（天），24÷7=3（星期）……3（天），说明24天众包括3个星期还多3天，所以从10月1日开始过3个星期，最后一天还是星期一，从这最后一天起在过3天就应是星期四。
25-1=24（天）
24÷7=3（星期）……3（天）
答：10月25日是星期四。
例2：100个3相乘，积的个位数字是几？
【思路导航】我们只需考虑积的个位数的排列规律。1个3，积的个位数是3，2个3相乘的个位数是9，3个3相乘积的个位数是7，4个3相乘积的个位数是1，5个3相乘积的个位数是3，……可以发现鸡蛋个位数分别以3，9，7，1，不断重复出现，即每4个3记得个位数位一周期。100÷4=25（个），因此100个3 相乘的记得个位数是第25个周期中的最后一个，即是1。列式如下：
3
3×3=9
3×3×3=27
3×3×3×3=81
3×3×3×3×3=243
·
·
·
100÷4=25（个）
答：积的个位数字是1。
例3：
A
B
C
A
B
C
A
B
……
万
事
如
意
万
事
如
意
……
上表中，每一列两个符号组成一组，如第一组“A万”，第二组“B事”，……问第20组是什么？
【思路导航】上面一组以“A、B、C”三个字母为一个周期重复出现，下面一行一“万、事、如、意”四个字为一个周期重复出现，要求第20组，必须分别求出上、下两行各是什么符号才行。
首先求上一行是什么字母？20÷3=6（组）……2（个）说明第20个字母是“B”，下一行的字是什么？20÷4=5（组）说明第20个姿势“一”，所以第20组是“B意”两个符号。
拓展训练：
1、（1）2001年5月3日是星期四，问5月20日是星期几？

（2）2001年8月1日是星期三，问8月28日是星期几？

（3）2001年6月1日是星期五，问9月1日是星期几？

2、（1）3×3×3×3×……×3，积的个位数字是几？

23个“3”
（2）100个2相乘，积的末尾数字是几？

（3）7×7×7×……×7，积的个位数字是几？
50个“7”

a
b
c
d
a
b
c
d
……
1
2
3
1
2
3
1
2
……
3、

上表中每一列两个符号为一组，如第一组为“a1”，第二组委“b2”，……问第25组是什么？

4、有同样大小的红、白、黑珠共120个，按先3个红的后2个白的再1个黑的排列，问（1）白珠共有多少个？（2）第68个是什么颜色的？

5、课外活动上，有4个同学在进行报数游戏，他们围成一圈，甲报“1”，乙报“2”，丙报“3”，丁报“4”，每个人报的数总比前一个人多1，问45是谁报的？123呢？

第7讲：配对求和
专题分析：
数列的第一个数叫首项，最后一个数叫末项，如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差是一个不变的数，这样的数列叫做等差数列，这个不变的数则称为这个数列的公差。
计算等差数列的和，可以用一下关系式：
等差数列的和=（首项+末项）×项数÷2
末项=首项+公差×（项数-1）
项数=（末项-首项）÷公差+1

例1：你有好办法算一算吗？
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=（ ）
【思路导航】1，2，3，4，5，6，7，8，9，10共10个数，我们可以把10个数分成5组，每组两个数相加的和事11，它们的和就有5个11即11×5=55，11是有这组数中第一个数与最后一个数相加得到的。列式如下：
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10
=（1+10）×（10+2）
=11×5
=55

例2：计算。
（1）32+34+36+38+40+42
（2）203+207+211+215+219
【思路导航】（1）共6个数相加，后一个数与前一个数相差都是2，可以分成3组，每组的和事32+42=74，也就是3个74即74×3=222。
（2）共5个数相加，后一个数与前一个数相差都是4，根据上题，用第一个数与最后一个数相加203+219=422，乘以数的个数5，再除以2得到。
（1）32+34+36+38+40+42 （2）203+207+211+215+219
=（32+42）×6÷2 =（203+219）×5÷2
=74×6÷2 =422×5÷2
=222 =1055

例3:有一堆木材叠堆在一起，一共是20层，第1层有12根，第2层有13根，……下面每层比上一层多一根，这堆木材共有多少根？
【思路导航】因为这堆木材从第2层起，每层比上面一层多1根，共20层，所以这堆木材总数为
12+13+14+……+31
=（12+31）×20÷2
=43×20÷2
=430（根）
答：这堆木材共430根。

1、速算。
（1）1+2+3+4+5+……+100 （2）21+22+23+24+……+50

2、简便计算。
（1）1+4+7+10+13+16+19 （2）71+73+75+77+79+81

（3）48+50+52+54 （4）128+138+148+158+168

3、电影院有30拍作为，第一排20个座位，后一排总比前一排多2个座位，最后一排有78个座位，这个电影院共有多少个座位？

4、有一串数，第1个数是10，以后每个数比前一个数答5，最后一个数是90，这串数连加的和是多少？

5、有一个钟，一点钟敲1下，两点钟敲2下，……十二点点钟敲12下，分针指向6敲1下，这个钟一昼夜敲多少下？

第8讲：乘法速算
专题分析：
计算乘法时，如果一个因数是25，另一个因数考虑可拆成4×及，这样可“先拆数再扩整”。两位数、三位数乘以11，可爱哟个“两头一拉，中间相加”的办法，但要注意头尾相加作积的中间数是，哪一位上满10要向前一位进一。
例1：试着计算下列各题，你发现了什么规律？
（1）18×11 （2）38×11 （3）432×11
【思路导航】通过计算、观察可以发现，一个数与11相乘，所得的结果就是将这个数的首位与末位拉开分别作为积的最高位和最低位，再依次将这个数相邻两位由个位加起，和写在十位、百位……哪一位上满十就向前一位进一。
（1）把8写在个位上，8与1的和9写在十位上，1写在百位上，得18×11=198。
（2）把8写在个位上，3与8的和为11，把1写在十位上，同时向百位进1，百位上3加上1为4，得38×11=418。
（3）把2写在个位上，2与3的和5写在十位上，3与4的和7写在百位上，千位上写4，得432×11=4752。

例2：下面的乘法计算有规律吗？
（1）24×25 （2）21×25 （3）25×427 （4）25×1923
【思路导航】因为25×4=100，因此一个数与25相乘，我们就看这个数里有几个4，就有几个100，余1就加25，余2就加50，余3就加75。
（1）24中有6个4，所以积是6个100。
（2）21中有5个4余1，所以积是5个100加25。
（3）427中有106个4余3，所以积是106个100加75。
（4）1923中有480个4余3，所以积是480个100加75。
具体计算过程如下：
（1）24×25=100×6=600
（2）21×25=100×5+25=525
（3）25×427=100×106+75=10675
（4）25×1923=100×480+75=48075

例3：你能迅速算出下面各题吗？
（1）24×15 （2）248×15 （3）3456×15
【思路导航】一个因数乘以15，因为15=10+5，那么24×15就可写成24×（10+5）也就是用24加上它的一半再乘以10，24+12=36，再用36×10=360；
248×15就用248加上124得到372，再乘以10为3720；
3456×15就用3456加上1728得到5184，再乘以10为51840。
一个因数乘以15，也就是用这个数加上它的一半再乘以10 。具体过程如下：
（1）24×15 （2）248×15 （3）3456×15
=（24+12）×10 =（248+124）×10 =（3456+1728）×10
=36×10 =372×10 =5184×10
=360 =3720 =51840

拓展训练：
1、用乘法中11的速算方法计算。
12×11 23×11 45×11 35×11
47×11 11×65 11×96 87×11
135×11 603×11 329×11 872×11
61×11 326×11 27×11 425×11

2、用乘法中25的速算方法计算。
32×25 40×25 28×25

81×25 33×25 25×27

473×25 25×52 25×82

3、用乘法中15的速算方法计算。
32×15 74×15 28×15

438×15 284×15 672×15

3596×15 920×15 42×15

4、你能迅速写出结果吗？
199×9 278×99

5、你能速算吗？试一试。 58×101 998×1001
第9讲：乘除巧算
专题分析：
前面我们已介绍了有关加、减法中的巧算，其中“凑整”是巧算中的一种方法，这种方法同样可以运用在乘除计算中。
要提高计算能力，除了加、减、乘、除基本运算要熟练之外，还要掌握一定的运算技巧。巧算中，经常要用到一些运算定律，例如乘法交换律，乘法结合律，乘法分配律等，灵活运用运算定律，是提高巧算能力的关键。

例1：巧算下面各题。
（1）、25×8 （2）、16×125 （3）、16×25×25 （4）、125×32×25

【思路点拨】（1）25×8 (2)16×125
=25×（4×2） =(2×8)×125
=25×4×2 =2×(8×125)
=100×2 =2×1000
=200 =2000
(3)16×25×25 (4)125×32×25
=(4×4)×25×25 =125×(8×4)×25
=(4×25)×(25×4) =(125×8)×(4×25)
=100×100 =1000×100
=10000 =100000

例2：简便运算。
（1）130÷5 （2）4200÷25

【思路点拨】这里可以运用商不变的性质，即被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数（0除外），商不变，因而：
（1）130÷5 （2）4200÷25
=（130×2）÷（5×2） =（4200×4）÷（25×4）
=260÷10 =16800÷100
=26 =168

例3：计算31×25

【思路点拨】题中31不能被4整除，但31可拆成4×7+3，这样就得到（4×7+3）×25，或者把25看做100÷4也可求出得数。

31×25 或 31×25
=（4×7+3）×25 =31×（100÷4）
=4×7×25+3×25 =31×100÷4
=700+75 =3100÷4
=775 =775

拓展训练：
1、计算
（1）125×27×8 （2）125×4×8×25

2、速算
1、（1)25×12 (2)48×125

2、(1)