工程数学课程十四复变函数七省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

主讲教师主讲教师:冉扬强冉扬强工程数学工程数学复变函数复变函数辅导课程十四辅导课程十四第1页第五章第五章 留留 数数第二篇第二篇 复变函数复变函数第2页第五章第五章 留留 数数2 2 留留 数数 一、留数定义及留数定理一、留数定义及留数定理 1、定义、定义 柯西定理告诉我们，如被积函数柯西定理告诉我们，如被积函数 在围线在围线 c所围闭区域上解析，则积分所围闭区域上解析，则积分 ，但假，但假如如 在该区域上有奇点在该区域上有奇点 a(孤立奇点孤立奇点)，则积，则积 分分 普通说来不再为普通说来不再为0.如：如：这里这里 为函数为函数 一阶极点一阶极点.设设 a 为为 孤立奇点，在以孤立奇点，在以 a 为心，半径为为心，半径为R 无心邻无心邻第3页 域，即在域，即在 内把内把 展成洛朗级数：展成洛朗级数：洛朗级数洛朗级数 项系数项系数 就这么含有尤其就这么含有尤其主要地位，称它为主要地位，称它为 在在 a 留数留数(或余数或残或余数或残数数)，记着，记着 或或 或或 ，这么：，这么：第4页 2、留数定理、留数定理 设设 在围线在围线 c 所包围区域所包围区域 D 上除点上除点 外解析，而且在外解析，而且在c上每点也解析，上每点也解析，则则 二、留数求法二、留数求法 1、设设 a 为为 n 阶极点，则阶极点，则第5页 2、当、当a为为 一阶极点，则一阶极点，则 3、设、设 ,在点在点a 解析解析,且且 ，而，而a为为 一阶一阶0点点(即即 )，则，则 第6页例例1.求求 在在 留数留数 解：解：例例2.计算计算解解:，是是 第7页 三阶极点三阶极点,故故例例3.计算计算解解:在单位圆周内在单位圆周内,以以z=0为为孤立奇点孤立奇点.则则:第8页 第9页 三、无穷远点留数三、无穷远点留数 定义：设函数定义：设函数 在在 点某无心邻域点某无心邻域 内解析，则称内解析，则称 点为点为 孤立奇点孤立奇点.第10页 定义：设定义：设 为为 一个孤立奇点，则称：一个孤立奇点，则称：为为 在在 点留数，记为点留数，记为 是指沿是指沿c 反方向（顺时针方向），这正反方向（顺时针方向），这正 是是 点正方向点正方向.无穷远点留数无穷远点留数 等于等于 在在 洛朗展式中洛朗展式中 系数反号。系数反号。定理：定理：假如假如 在闭平面上只有有限个孤立奇在闭平面上只有有限个孤立奇点点(包含无穷远点在内包含无穷远点在内)则在各则在各点留数总和为点留数总和为0.第11页例例.计算积分：计算积分：解：求被积函数奇点，令解：求被积函数奇点，令 或或 得得 当当 时，时，解析，故无穷远处解析，故无穷远处 也是其奇点，所以也是其奇点，所以 第12页 第13页3 3 留数在定积分计算上应用留数在定积分计算上应用 把实变积分联络于复变回路积分关键点以下：把实变积分联络于复变回路积分关键点以下：定积分定积分 积分区间积分区间 能够看作是能够看作是复数平面上实轴上一段复数平面上实轴上一段 ，于是，或者利用，于是，或者利用自变数变换把自变数变换把 变成某个新复数平面上回路，变成某个新复数平面上回路，这么就可这么就可 以应用留数定理了；或者以应用留数定理了；或者 另外补上一段曲线另外补上一段曲线 ，使和合成回路使和合成回路 l,l 包围着包围着第14页 区域区域B，这么，这么 一、计算一、计算 (类型类型)被积函数是三角函数有理式被积函数是三角函数有理式.作变量代换：作变量代换：第15页 例例1、计算积分、计算积分解：解：第16页 模为：模为：在单位圆内，而单极点在单位圆内，而单极点 模为模为:在单位圆外。在单位圆外。第17页 二、计算二、计算 1、引理：设、引理：设 沿圆弧沿圆弧 (R充分充分 大，大，)上连续，且上连续，且 在在 上一致成立，则上一致成立，则 第18页 尤其地，当尤其地，当 则：则：2、(类型类型2)若若(1)在实轴上没奇点在实轴上没奇点;(2)在在上半平面除有限个奇点外是解析上半平面除有限个奇点外是解析;(3)当当 在实在实 轴上或上半平面轴上或上半平面 时时 一致地一致地 ，则：则：第19页例例11设设 ，计算，计算解：解：在上半平面奇点为：在上半平面奇点为：第20页 3、(类型类型)计算计算 条件：条件：(i).为偶函数，为偶函数，为奇函数为奇函数(ii).,在实轴上没有奇点，在上在实轴上没有奇点，在上 半平面除有限个奇点外是解析。半平面除有限个奇点外是解析。第21页 (iii).当当 在上半平面或实轴上在上半平面或实轴上 时，时，和和 一致地一致地 ，则，则 例例13计算积分计算积分解：解：第22页 第23页