中学物理中的数学方法.doc

浅探中学物理中的数学方法
赵丙亮
（内蒙古杭锦后旗奋斗中学 015400）
摘要：所谓物理中的数学方法，就是把具体的物理状态、过程以及物理量之间的关系用数学语言表达出来，并进行分析、演算和推导，以形成对问题的判断、解释和预测。可以说，任何物理试题的求解过程实质上就是将一个物理问题转化为数学问题再经过求解还原为物理结论的过程。
关键词：数学方法；物理教学；物理思维；物理本质。

在中学物理中，解决物理问题的主要工具是数学，中学物理《考试大纲》中明确要求考生有“应用数学工具解决物理问题的能力”。高考物理试题的解答离不开数学知识和方法的应用，借助物理知识考查数学能力选拔优秀考生是高考命题的永恒主题。
所谓物理中的数学方法，就是把具体的物理状态、过程以及物理量之间的关系用数学语言表达出来，并进行分析、演算和推导，以形成对问题的判断、解释和预测。可以说，任何物理试题的求解过程实质上就是将一个物理问题转化为数学问题再经过求解还原为物理结论的过程。常用的数学方法，就是利用基本物理公式、物理规律列出方程（即转化为数学问题），然后解方程得出物理结论。
下面介绍一些特殊、典型的利用我们所学的数学知识来解决物理问题的方法。
一、几何法：几何法是解决物理问题的常用的一种方法，例如在力的合成与分解或运动的合成与分解问题，常用几何法作图找一个直角三角形来解决物理问题。再如带电粒子在有界磁场中的运动问题，常用几何法利用圆的知识来解决物理问题。下面通过一实例利用几何相似三角形法来解决物理问题。
G
T
N
A′
B′
O′
例1．重为G的小球，用一根长度为L的轻绳吊起来，置于一半径为R的球面上，小球悬点在球心的正上方距球面最小距离为h，小球可视为质点，求：轻绳对小球的拉力和半球体对小球的支撑力分别是多少？
h
R
O
B
A
解析：对小的受力分析，重力G ，和拉力T和支持力N小球平衡。三个力构成闭合三角形，如图
由 △A′B′O′和 △ABO相似，对应边成比例
所以 得
而 得
二、图象法：图象能形象是表达地表达物理规律、直观地描述物理过程、鲜明地表示物理量之间的相互关系。图象在整个物理学中应用相当广泛，是分析物理问题的有效手段之一。高考大纲明确指出，必要时考生能运用几何图形、函数图象进行表达、分析。
例2．一辆汽车在恒定功率牵引下，要平直的公路上由静止出发，在4min的时间内行驶了1800m，则4min末的汽车速度（     ）
A、等于7.5m/s       B、大于7.5m/s      C、等于15m/s    D、小于15m/s
解析：汽车在恒定功率牵引下做加速度越来越小的加速直线运动，如下图中图线1所示；
如果让汽车从静止开始做匀加速直线运动（下左图线2），并且在4min的时间内行驶1800m的位移，那么当图中面积1和面积2相等时，则汽车在4min末的速度为。从图中可知汽车速度小于15m/s。
若汽车做匀速直线运动（上右图线2），并且在4min的时间内行驶1800m，那么当图中面积1和面积2相等时，则汽车在4min末的速度为，从图可知，汽车速度大于7.5m/s。
故本题正确选项为B、D。
例3．一只蜗牛从地面开始沿竖直电线杆上爬，它上爬的速度v与它离地面的高度h之间满足的关系是。其中常数l=20cm，v0=2cm/s。求它上爬20cm所用的时间。
解析：因蜗牛运动的时间是由每一小段时间累加而成。即，故可作出图象。利用图象面积可得时间t。

h
h
o
由得，故图象为一条直线，如图所示。
图中阴影部分面积即为所求的时间，
即 。
代入数据得t=15s。

三、极值法：在求解物理极值问题中,经常用“三角函数极值法”和“二次函数极值法” 来解决物理问题。

α
β
N1
mg
O
A
N2
x
y

α
β
O
A
例4．如图质量为m的球放在倾角为α的光滑斜面上，试分析挡板AO与斜面间的倾角β多大时。AO所要的压力最小？
解析：对小球受力分析如图建立如图坐标由F合=0 得
N1cosα= N2cos(α+β)+mg ……⑴
N1sinα= N2sin(α+β) ……⑵
化简⑴、⑵得：N2sinβ= mg sinα ∴　N2=
当β=π/2时， Nmin= mg sinα
。
A
。
U
R0
R
Rx
例5.如图所示。电路中R0为定值的电阻，R为滑动变阻器，总阻值为R。当在电路二端加上恒定电压U，移动R的触片，可改变电流表示数的范围是多少？
解析：设和R0并联的变阻器的阻值为Rx，
则串联变阻器的阻值为R-Rx
电路中总电流 ……⑴
电流表中电流 ……⑵
由⑴、⑵得：
当 时，IA最小。最小值
当Rx =0或Rx =R时，IA最大。最大值
故：电流表示数范围为:
五、极限法：极限法是指运用极限思维，把所涉及的变量在不超过变量取值范围的条件下，使某些量的变化抽象成无限大或无限小去思考解决实际问题的一种解题方法.下面我们就来看一下极限法在物理学中的重要应用.
B
D
V
C
A
B′
A′
E
B
D
V
C
A
α
例6．如图物体A置于水平面上，A前固定一滑轮B，高台上有一定滑轮D一根轻绳一端固定在C点，再绕过滑轮B、D，BC段水平，如图1所示，当以水平恒定速度v拉绳的自由端时，A沿水平面前进，求当跨过B的两根绳子夹角为α时，A的速度为多大？
解析：设经时间△t物体由A运动到A＇，如图，当△t→0时物体从A运动到A＇，看作匀速运动，速度等于A点瞬时速度，做DE=DB＇，
则绳子自由端运动的距离S=BE+BB＇，
∵ △t→0则可以认为B＇E⊥BD，这样，BE=B B＇cosα，
即S= B B＇cosα+B B＇=B B＇（1+ cosα）
当△t→0时，VA= B B＇/△t 而V=S/△t 故可得V= VA（1+ cosα）
所以，物体A运动速度VA = V/（1+ cosα）
六、重要不等式法：在物理学中经常运用数学重要不等式a2+b2≥2 ab  (当且仅当a=b 时取等号) 来解决物理问题。
例7．物体沿一直线做匀变速运动，在t时间内通过的路程为S，它在中间位置处速度为V1，在中间时间速度为V2，则V1与V2的大小相比有：（ ）
A、V1> V2 B、V1= V2 C、V1< V2
D、因不知是加速运动还是减速运动，故无法判断。
A
B
V1
V2
t/2
S/2
解析：如图因为物体做匀变速运动，设在A，B两点的速度分别为VA、 VB 则由运动学公式可得：

解得：
同理由运动学公式可得：
解得：
由数学重要不等式性质可得：
因为V1≠ V2 所以， V1> V2 故选A

例8．甲、乙二人同时从同一地点A出发沿直线同向达到地点B。甲在前段时间和后半段时间内的运行速度分别是V1和V2（V1≠V2）；乙在前半路程和后半路程内运行速度分别为V1和V2。问甲和乙两人谁先到达B点。
    解析：要想知道谁先到B点，只须比较甲、乙二人走完全程所用的时间，所用时间较短者先到达。
解析：设A、B两点的距离为S，甲、乙各走完全程所用时间分别为t1 和t2，则有 ……⑴
……⑵
由⑴得 由⑵得
所以
由数学重要不等式有：V12+V22≥2V1V2，
而（V1≠V2，且在实数范围内）所以有V12+V22+2V1V2＞4V1V2
则：t1/t2＜1，t1＜t2 因此甲先到达B点。
七、数列法：物理中有一类涉及物理过程重复发生的问题，但每一个重复过程均不是原来过程的完全重复，是一种变化了的重复，随着物理过程的重复，某些物理量发生着有规律的变化，解决该类问题的基本思路是利用数学的数列思想方法来求解。
例9．一固定斜面，倾角θ=45°斜面长L=2.00m 在斜面下端有一与斜面垂直的挡板，以质量为m的质点。从斜面最高点沿斜面下滑。初速度为零。质点沿斜面下滑到斜面最底端与挡板发生弹性碰撞，已知质点与斜面间的因数为μ=0.2 试求该质点从开始运动到与挡板发生第十一次碰撞过程之中运动的总路程。
解析：若质点从斜面最高点第一次到达斜面的最底点时速度为v1。
由动能定理得： ……⑴
质点与挡板发生弹性碰撞后以v1开始沿斜面上滑，若上滑的最大路程为L1。则有由动能定理得： ……⑵
由 ⑴ 、 ⑵二式得
同理可得第二次碰后上滑路程为L2 则有：
依此类推
可见每次碰撞后的路程为等比数列，令
则与挡板发生第十一次碰撞总路程为S

代入数值得：S=9.86m

以上只是我对数学方法在物理教学中的一点比较初浅的探讨，当然，数学方法在物理教学中的应用，不仅局限于这几个方面，诸如假设法、反证法、微元法等等在物理教学中都有应用。应该注意，数学方法只是使物理思维定量化、精确化、简明化的工具，它不能代替物理思维，我们要通过定义的数学形式理解它的物理本质，而不应该纯数学地运用物理公式。对于数学公式，要强调其物理意义，提出数学方法是表述物理规律的手段和工具，要遵循物理本质而不能代替物理本质。

参考文献：
[1]中学物理中常用的数学方法[DB]

[2]中学物理中的数学方法研究[DB]

作者简介：
赵丙亮：中学高级教师，本科，研究方向为物理教学。现任教于内蒙古杭锦后旗奋斗中学。