数学建模---城市居民食品分析及价格预测.doc

城市居民食品分类及零售价格预测
摘要
根据CPI的价格指数定义，引用价格变化率作为体现价格变动的指标，建立价格变化变化曲线模型，首先依据食品的固有属性将食品分为食用油类、肉类、鱼类、蔬菜类、水果类、调味品类、奶类等7大类，再依据各类食品的通货膨胀率变化引起的价格变化进行划分，可将其价格变化趋势分为快速上涨、上涨、基本稳定、下降、快速下降5个子类别，价格变动趋势及为其特点。
在问题二中，考虑到市场的随机变化性以及食品的零售价格指数变化受市场上众多不确定因素共同影响，建立多元线性回归分析模型：首先用最小二乘法对每种食品求回归系数，再对历史价格所处的状态进行多元线性回归的统计分析，提出假设检验，得出F分布判断结果。先预测2011-3-25的价格增长状态，与已知数据进行比较发现是一致的，从而验证了本模型的准确性，最后对4、5月份的价格进行预测，分析其所处的状态。
最后，依据消费者物价指数的定义：当CPI<3%时我们称为CPI>3%的增幅时我们称为通货膨胀；而当CPI>5%的增幅时，我们把他称为严重的通货膨胀。根据观察价格变化曲线图形，找出价格波动较大或者增幅较大的部分食品，向有关部门提出建议，加强调控。

关键字：CPI、通货膨胀、多元线性回归分析、F分布

一、问题提出
消费者物价指数（Consumer Price Index），英文缩写为CPI，也称消费价格指数，是反映与居民生活有关的产品及劳务价格统计出来的物价变动指标，通常作为观察通货膨胀水平的重要指标，是与人民生活密切相关的参考指标。
本题已给出42种食品在2010年3月5日至2011年3月25日之间每相差10天零售价格变化情况，城市居民食品零售价格变化是消费者物价指数变化的重要组成部分，粮食生产、流通成本上涨一定会带动农产品价格总体上涨。例如季节、气候、国际市场对国内市场的供需量变化、偶发性自然灾害等等因素的影响，均会导致食品生产成本的波动，进一步影响食品价格，当居民日常消费的食品价格出现总体变动时，将会使CPI发生变化。例如：由于2011年气候发生异常，导致生产成本大量增加，国际粮价对国内供需的影响，食品价格未来可能发生上涨。刚公布3月份的CPI增幅达5.4%，创32个月来的新高，这使得年内的通货膨胀压力正在增强。
因此，需要解决的主要解决的问题是：
1、 根据已有数据建立模型，将所涉及食品适当分类，并分析每类食品的特点；并根据其变化特点。
2、 建立模型预测2011年4、5月的城市居民食品零售价格走势。
3、 写一篇就城市居民食品零售价格情况分析结果向有关部门提出合理的建议。
二、模型假设
1、假设图表所提供数据基本可靠；
2、假设食品价格的变化客观反映了人们消费需求及成本变化；
3、假设2011年4、5月份除了正常的季节变化对瓜果蔬菜等的影响外，还有自然灾害等突发事件的影响；
4、当CPI>3%时,出现轻微通货膨胀，当CPI>5%时，出现严重通货膨胀。
5、价格变化率是指每段时间的平均价格相对于上一时间段的变化率。
三、问题一模型建立与求解
1、依据食品的固有属性将食品分为食用油类、肉类、鱼类、蔬菜类、水果类、调味品类、奶类等7大类。
2、数据分析模型：根据提供的数据，计算每季度每种食物的平均价格，将其作为基数，描述价格变化曲线，及各类食品的变化特点。
1）、食用油类价格变化曲线：

特点：价格稳定上升。
2）、肉类价格变化曲线：

特点：价格逐渐上升，后期有所下降。
3）、鱼类价格变化曲线：

特点：前期有所下降，后期稳定增长。
4）蔬菜类几个辩护曲线：

特点：前期稳定，后期持续增长。
5）、水果类价格变化曲线：

特点：前期有所下降，后期增长较快。
6）、调味品的价格变化曲线：

特点：价格持续增长，末期有所下降趋势。
7）、奶类价格变化曲线：

特点：价格有所增长，增长幅度很小。
注：详细程序见附件“book1”
四、问题二模型建立与求解
由于食品的CPI由多项类型食物共同决定，包括：食用油类、鱼肉类、蔬菜类、水果类、日常调味品类、奶类。建立多元线性回归模型。
1)、回归系数的最小二乘估计
其表达式为：(1)式中，…，为回归系数
记：，，，(2)
(1)式表示为： （3）
为了根据最小二乘准则估计模型（1）中的参数，由（3）式这组数据的误差平方和为：
利用极值的必要条件，求使最小得到方程组

得该方程组的解：
2）、多元线性回归的统计分析：
1、误差方差的估计

将代回模型（1）得到的估计值 （4）
残值及残值平方和的定义，而剩余方差为：
（5）
因为模型中参数的个数为，所以的自由度是
2、回归系数的区间估计和假设检验
可以证明在多元线性回归的基本假设下，和具有如下的性质：
（6）
（7）
且和相互独立，其中是矩阵（）的第对角元素，根据分布的定义由（4）、（5）、（6）、（7）可的统计量：

给定显著性水平的分位数为的置信区间（=1，…，）是：
3）、模型的有效性检验——决定系数和F统计量
提出假设检验：

可以证明当成立时：

且和相互独立。于是根据

和F分布的定义可以选择统计量
（4）
给定显著性水平的分位数记做，当由（4）式计算的
时拒绝,模型（1）整体有效，但不排除有若干个。
将数据代入、计算模型（1），通过了有效检验后，可由自变量的任意给定的值预测因变量的理论值y,记做，显然，是无偏的，并且均方误差最小。
五、模型的结果分析
根据公布的3月分的CPI增幅达5.4%，根据，求解值得到，4、5月份的城市居民食品零售价格走势(见book1)：
①食用油类，肉类、调味品类及奶类价格变化趋势均为相对平衡，呈现较好的发展势头；
②鱼类的价格增长率预测结果则相差很大，呈现较大波动，这类食品的价格不以预测，遭受外界因素的影响较大；
③蔬菜类的价格增长率的变动则变化很大，时而猛增，时而猛降，呈现出极为不规则的变化，一般这样的食品会对CPI的变化产生较大的影响；
④西红柿的价格则很可能稳增不降，需要加强调控的力度，以防价格超出消费者正常接受范围；
⑤胡萝卜、尖椒、圆白菜、蒜苔的价格则呈现稳降不增，这也需要加大调控力度，以防才能有不必要的损失；
六、模型的不足之处
模型一：根据题目给出的数据，运用数据统计模型进行分析，结果精确度很高，但由于所选择对比对象是每类食品在不同时间的价格，只能反映此类食品不同时间的总体价格变化，不能很准确的反映出每一类食品的变化规律。
模型二：运用多元线性回归模型对4、5月份的食品价格进行预测，由于此模型是利用以往的数据和有限的环境因子的变化进行预测，环境因子的没有规律的变化给此模型带了弊端。
七 、给有关部门的几点意见
通过这两个模型，对食品进行了适当的分类，并且从价格变化趋势图分析食品价格的特点及对未来4、5月份的食品价格进行预测。下面我们对食品零售价格进行分析。
在肉类里我们从价格变化曲线中发现猪肉和牛肉的价格是上下波动变化的，而羊肉的价格只是在12月的时候有较大幅度的增加，鸡肉基本是在平稳变化，只是在10年4、5月分的时候是下降的，鸡蛋则在5月份有显著的价格上升。

用多线性回归模型预测时得：猪肉在这段时间趋向于缓慢上升，牛肉的价格不会有太大的变化，甚至会降低2%左右，羊肉的价格就不会产生变化，活鸡的价格在4月5号左右会上下波动，不过之后就会保持单价12元左右，而鸡肉的价格就会持续的下降至6元左右。不过鸡蛋的价格在这时却会上下波动。
由这些预测我们提议有关部门要对采取措施对市场上的猪肉价格进行宏观调控，并且加大监督力度，稳定市场上猪肉的价格。
在鱼类食品里我们发现鱼的价钱变化有点儿起伏，草鱼和鲤鱼的最后在缓慢增长，不过考虑到草鱼和鲤鱼的价格波动变化，建议有关的物价部门要建立一个完善的制度约束鱼的价格变化，使之能够相对的稳定，不影响居民的生活。
蔬菜类食品里我们发现它们的快速增长和快速下降的状态概率很大，这就说明蔬菜的价格上下波动的幅度特别大。在这我们从上面的模型分析可以知道蔬菜类的食品受天气、季节、生产成本、流通成本、全国的蔬菜价格的影响非常大，所以才会造成蔬菜价格的这样一种变化。而且蔬菜类的食品不宜长时间的贮藏，所以有关的生产部门要控制蔬菜的生产量，广泛推广大棚种菜，以减少蔬菜对气候和季节的依赖，而且国家物价部门要颁布政策，严格控制蔬菜的价格等一系列措施来控制蔬菜类价格的变化，使之达到相对稳定的状态。
在瓜果类食品价格变化趋势图里我们发现它们的价格变化非常大，说明瓜果类食品的价格上下波动的幅度特别大，在这我们从上面的模型分析也可以知道瓜果类的食品受天气、季节、生产成本、流通成本影响非常大，所以才会造成瓜果价格的快速下降和快速增长。而且瓜果类的食品和蔬菜类的食品一样不宜长时间的贮藏，所以有关的生产部门要控制瓜果的生产量，广泛推广生态瓜果，以减少瓜果对气候和季节的依赖，而且国家物价部门要适当的控制瓜果价格使之相对稳定的变化。
在来看我们的生活调味品和牛奶的价格变化趋势图和增长率变化图，可以得到生活调味品的价格是相对稳定的，在这类食品方面，我们不用担心它们的价格的上涨，政府也不用采取政策来控制这类食品的价格。
六、总结
本文模型一充分利用了CPI的定义，建立增长率模型，直观的反映了各种食品的价格变化趋势，对预测CPI的变化也有一定的帮助，另将各种类食品按价格特点进行重分类，有助于向有关部门反映那类食品价格变化将对CPI产生影响，从而可以对部分食品价格加大调控力度，确保市场的正常运转。
又基于食品的零售价格指数的变动源自多种因素的共同影响，具有随机性和多重不确定性的特点，建立多元线性回归模型，确切地预测近期食品价格的变化趋势。

参考文献
【1】《大学数学实验》 姜启源等著（302页——306页），清华大学出版。
【2】百度百科：消费者价格指数定义