数学建模1市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx

数学建模数学建模(1)桂林师范高等专科学校数学与计算机科学系桂林师范高等专科学校数学与计算机科学系蒋晓云蒋晓云第1页第一章第一章 数学模型概述数学模型概述v数学模型历史v数字时代 20世纪70年代 20世纪80年代v现今数学模型已经从传统物理领域渗透到各行各业中，如经济、法律、医学、农业、交通、军事等领域。v 实际问题 数学工具建立数学模型第2页第一节第一节 数学模型概念数学模型概念 什么是数学模型？国外曾有些人为它下了一个简单定义：把实际问题中各量之间关系用数学形式表示出来，叫数学模型。因为它广泛性这么定义是难以真正了解它真实含义。下面我们举例来说明之。v（1）各种应用题解过程各种应用题解过程都是数学模型。小学数学题能够分为文字题、码字题两类，文字题较难，何况还能够有不一样方法、思绪，这部分就是在建模。码字题是以有算式，只需要求解可看作是模型求解。有这么一道题：第3页v 鸡兔同笼，头共46，足共128，鸡兔各几只？v 用x,y分别表示鸡与兔，能够列出方程v x+y=46,2x+4y=128v 实际上，这组方程就是上述鸡兔同笼问题数学模型。列出方程，原问题已转化为纯粹数学问题。方程解为x=28,y=18,这就是鸡兔问题答案。v（2）九大行星发觉过程。v（3）美国总统竞选模拟。v（4）内燃机阵真。v (5)冲压过程有限元模型。v（6）处处都有数学模型问题。前中央发下售房价格通知中，有这么一个公式，依据房子成本价、使用年限以及工龄等可算出应售出价格。公式中有一括号，括号内是加减运算，其中一项是工龄，括号外是一乘法运算，因子是用房子使用年限组成“成新率”，含义是按使用年限对房屋进行折旧。第4页 v数学建模准确定义数学建模准确定义v数学建模是利用数学语言和工具，对部分现实世界信息（现象、数据）加以翻译、归纳产物。数学模型经过演绎、求解以及推断，给出数学上分析、预测、决议或控制，在经过翻译和解释，回到现实世界中。最终，这些推论或结果必须经受实际检验，完成实践理论实践这一循环（如图1-1）。假如检验结果是正确或基本正确，即可用来指导实际，不然，要重新考虑翻译、归纳过程，修改数学模型。第5页 图1-1 实际问题实际问题 简化、假设简化、假设 建立模型建立模型 模型应用模型应用 验证分析验证分析 模型求解模型求解第6页 v 作为一个数学思索方法，数学模型是对现实对象经过心智活动结构出一个能抓住其主要而且有用（经常是形象化或者是符号）表示。更详细，它是指对于现实世界某一特定对象，为了某个特定目标，做出一些必要简化和假设，动用适当数学工具得到一个数学结构。它或者能解释特定现象现实性态，或者能预测对象未来情况，或者能提供处理对象最优决议或控制。v 数学模型分类分类方法有各种，下面介绍惯用几个分类。（1）按照建模所用数学方法不一样，可分为：初等数学模型、人口模型、运筹学模型、微分方程模型、概率统计模型、控制论模型等第7页（2）按照数学模型应用领域不一样，可分为人口模型、交通模型、体育模型、经济预测模型、金融模型、环境模型、生理模型、生态模型、企业管理模型等。（3）按照人们对建模机理了解程度不一样，有所谓白箱模型、灰箱模型、黑箱模型。（4 4）按照模型表现特征按照模型表现特征可分为可分为：确定性与不确定性模型，不确定模型包含随机性与含糊性模型；静态模型与动态模型；离散模型与连续模型；线性模型与非线性模型。第8页第二节 建立数学模型方法与步骤 一、建立数学模型方法一、建立数学模型方法数学模型的建立方法机理分析法测试分析法综合分析法第9页 二、数学建模基本步骤二、数学建模基本步骤 模型准备模型的假设模型的建立模型的求解模型的检验模型的推广第10页第三节 数学建模实例1、动物数量预测动物数量预测 动物繁殖是一个非常复杂问题，不过假如把影响繁殖许屡次要原因忽略掉或简单化，能够用微分方程来描述动物繁殖近似规律，从而预测动物未来数量。现考虑一个与外界完全隔绝某种动物，这里所说与外界完全隔绝是指他们中间除了本族出生和死亡之外，既无迁出也无迁入。设在t时间内这种动物数量为，并设他们出生率与死亡率分别为n与m。假设他们出生数与死亡数都和t时动物数及时间成正比。现在讨论动物数与时间t之间函数关系。第11页解：设t，t+dt时间间隔内动物数量增量为dN，由题意，在dt时间内这类动物出生量与死亡量分别为nNdt与mNdt。依据 增量增量=出生量出生量-死亡量死亡量 轻易得到 dN=nNdt-mNdt 即 假如处始条件为N|t=0=N0，解上变量可分离方程，得则 第12页或写成 从上式看出，假如n m，则动物数量将无限增加；假如m n，则动物数量将逐步降低，趋于灭亡。这么结论是非常天真，事实决不会如此简单。为此生物学家及数学家依据统计数据对n，m作了修正，使节果能更符合事实。比如，设 n=a-bN，m=p+qN，式中a，b，p，q均为正常数。上两式说明出生率与死亡率已不再是常数。而是N线性函数，前者均匀随N减小，后者均匀随N增加。这时方程（1-1）化为 第13页令令则上式可化为则上式可化为即即积分上式积分上式注意到注意到得得第14页或 其中 No是 t=0 时动物数，不论初值 No 是多少，当 时，N极限总为 。能够用试验方法对不一样问题，像人口增加、传染病发生率等来确定（13）式图形。这个图形称为逻辑斯谛（Logistic）曲线。所以动物数量是174(百万)只。2.在越野赛中取胜方法 越野赛在湖边举行，场地情况如图1-所表示：出发点在陆地处，终点在湖心岛处，南北相距第15页5km，东西7km，湖岸位于点南侧km，是一条东西走向笔直长堤。比赛中运动员可自行选择路线，但必须先从出发抵达长堤，再从长堤处下水游泳抵达终点。已知运动员甲跑步速度为v1=18km，游泳速度为v2=6km。问他们应该在长堤何处下水才能使比赛用时最少？图1-2yxy北A(0,2)R(X，0)B(7,-3)O湖第16页解以长堤作为 x 轴建立直角坐标系，A，B坐标分别是（，），（，）。设甲在 x 轴上R(x，0)处下水。为使耗时最少，运动员在陆上和水中运动路线应该都取直线。跑步耗时游泳耗时全程总耗时第17页求 ，使 到达极小。（1-5）令 得 （1-6）利用（1-6）可解出驻点:计算可知，类似可得 比较端点与驻点处值，可知 时 到达最小值。所以，甲应该在 处下水，才能使比赛全程用时最少。第18页数学建模练习v1、兔子繁殖问题：假设一对兔子每两个月恰生一对雌雄小兔。现有一对兔子，问一年后有多少只兔子？v2、买水问题：假设5个空瓶能换1瓶水。要喝161瓶水需最少买几瓶水？v3、细菌增加率与总数成正比。假如培养细菌总数在二十四小时内由100变为400，那么前12小时后总数为多少？v4、有这么一个逻辑定理:随便一句假话都能推出任何一句话。有些人要英国大哲学家罗素证实从“2+2=5”推出“罗素是教皇”。你能否帮罗素处理这个问题？v5、淋雨问题：你要在雨中从一处走到另外一处，雨速是常数，方向不变。你是否走得越快，淋雨量越少呢？第19页