数学物理方法ppt课件市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx

数学物理方法数学物理方法学院：物理与光电信息科技学院 专业：光学工程 学号：0787 姓名：郝小龙第1页数学物理方程数学物理方程l数学物理方程，数学物理方程，通常指从物理学及其它各门自然科学、通常指从物理学及其它各门自然科学、技术科学中所产生技术科学中所产生 偏微分方程，有时也包含与此相关偏微分方程，有时也包含与此相关积分方程、微积分方程和常微分方程。积分方程、微积分方程和常微分方程。l数学物理方程导出其实不过是用数学语言把物理规律数学物理方程导出其实不过是用数学语言把物理规律翻译出来而已。数学物理方程能够处理很多复杂物理翻译出来而已。数学物理方程能够处理很多复杂物理问题。问题。第2页常见物理问题常见物理问题l波传输所满足波动方程波传输所满足波动方程l热传导问题和扩散问题中热传导方程热传导问题和扩散问题中热传导方程l静电势和引力势满足静电势和引力势满足Laplace方程和方程和Poisson方程方程l描写电磁场运动改变描写电磁场运动改变Maxwell方程组方程组l等等等等第3页导出普通步骤导出普通步骤l首先要确定研究哪一个物理量，从所研究系统中划出一个小部分l略去那些不主要原因，抓住主要作用，分析临近部分和这个小部分之间相互作用，把这种关系用数学形式表示出来l简化，整理成数学物理方程，主要是数学关系化简第4页化简中数学方法化简中数学方法l行波法 分离变量法，积分变换法，格林函数法l保角法 复变函数法，变分法第5页定解条件定解条件l物理物理方程是同一类现象共同规律，反应是该类现象普遍性一面，所以导出数学物理方程与初始条件是无关l不过就物理现象而言，各个详细问题都有其特殊一面，这就要去研究边界条件和初始条件。第6页定解条件定解条件在数学上，我们把描写系统初始状态表示式做在数学上，我们把描写系统初始状态表示式做初初始条件始条件，把描写系统边界状态表示式叫做，把描写系统边界状态表示式叫做边界边界条件条件。将初始条件、边界条件（及连接条件）。将初始条件、边界条件（及连接条件）统称为统称为定解条件定解条件。第7页初始条件初始条件l对于伴随时间而发展改变问题，必须考虑到研究对象特殊“历史”，就是说要追溯到早先某个所谓初始时刻分布，即初始条件。初始条件就是给出初始条件就是给出整个系统整个系统初始状态，而不但是初始状态，而不但是系统个别地点系统个别地点初始状态。初始状态。第8页初始条件初始条件比如：一根长l为而两端固定弦，用手把它中点朝横向拨开距离h，然后放手任其振动。写出弦横振动初始条件。第9页初始条件初始条件 所谓初始时刻就是放手那个瞬间，初始条件就是放手那个瞬间弦位移和速度第10页边界条件边界条件第一类：直接要求了所研究物理量在边界上数值第二类：要求了所研究物理量在边界外法线方向上方向导数数值第三类：要求了所研究物理量及其外法线向导数线性组合在边界上数值第11页定解存在性问题定解存在性问题l当定界条件过多时，条件相互矛盾，此时定解不存在l当定解条件过少时，这时候定解就是不唯一l所以要使定解存在且唯一，定解条件个数不能多也不能少，要恰到好处第12页定解稳定性定解稳定性l假如定解问题中已知条件（比如方程或定解条件中已经有函数）解有微小改变时，解也只有微小改变。这就能够说解是稳定l原因:在导出方程时，不可防止地要去做一些简化和近似，会忽略掉一些变量。只有在稳定性允许范围内做简化和近似才是有意义第13页定解适应性定解适应性l定解问题适应性是定解问题存在性，唯一性和稳定性统称。l只要对实际问题抽象是合理，初始条件和边界条件正确描述了物体实际情况，那么这么组成定解问题一定是适应第14页均匀弦微小振动均匀弦微小振动l演奏弦乐器人在弦上往返拉动，弓所接触只是弦很小一段，似乎应该只引发这一小段振动，实际上振动总是传输到整根弦，弦各处都振动起来。不过振动是怎么传输呢？传输方程是什么样呢？第15页弦分析弦分析l(1)均匀细弦：弦线密度均匀细弦：弦线密度 为常数；因为是细弦，为常数；因为是细弦，所以作为一维空间问题来处理。所以作为一维空间问题来处理。l(2)轻弦：弦拉紧时张力大到可忽略重力影响。轻弦：弦拉紧时张力大到可忽略重力影响。l(3)柔软：弦中张力只能是沿着弦线切线方向。柔软：弦中张力只能是沿着弦线切线方向。第16页数学物理方程导出数学物理方程导出 把没有重量弦绷紧，它在不振动时一根直线，就取这条直线作为x轴，把弦上各点横向位移记作u。这么横向位移u是x和t函数，记作u(x,t)。要推导就是u所遵照方程。第17页数学物理方程导出数学物理方程导出xu(x,t)T2T1xx+dx0第18页数学物理方程导出数学物理方程导出拿区间拿区间(x,x+dx)上小段上小段B为代表加以研究为代表加以研究设设B长度为长度为 ，则，则 ，其中其中 为弦横向加速度。为弦横向加速度。第19页简化过程简化过程因为弦作微小横振动，所以因为弦作微小横振动，所以 很小，则很小，则：第20页由由(1)得：得：即均匀柔即均匀柔软软弦作微小振弦作微小振动时动时，弦上任一横截面上所，弦上任一横截面上所受受张张力都相等，力都相等，(2)式式为为 （3）（4）简化过程简化过程第21页将将(4)代入代入(3)得：得：简化过程简化过程此时方程已经出来，但还要深入简化此时方程已经出来，但还要深入简化第22页令令 （可证实（可证实a就是振动在弦上传输速度就是振动在弦上传输速度波波速速，），则），则B段运动方程就成段运动方程就成为为-齐齐次波次波动动方程方程简化过程简化过程第23页