2018芜湖市高三文科数学5月模拟考试卷附答案.docx

芜湖市2017-2018学年度第二学期高三模考试题 文科数学 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合 ，则集合 的真子集个数为 （A） （B） （C） （D） 2. 若复数 的实部为1，则其虚部为 （A） （B） （C） （D） 3.设实数 ， ， ，则有 （A） （B） （C） （D） 4.已知 ，则 （A） （B） （C） （D） 5. 宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，右图是源于其思想的一个程序框图，若输入的 分别为 ，则输出的 等于 （A）2 （B）3 （C）4 （D）5 6.如图， 为圆 的一条弦，且 ，则 （A）4 （B）-4 （C）8 （D）-8 7.以下命题正确的个数是 ①函数 在 处导数存在，若 ； 是 的极值点，则 是 的必要不充分条件 ②实数 为实数 ， 的等比中项，则 ③两个非零向量 与 ，若夹角 ，则 与 的夹角为钝角 ④平面内到一个定点 和一条定直线 距离相等的点的轨迹叫抛物线 （A） （B） （C） （D） 8.右图为函数 的图象，则该函数可能为 （A） （B） （C） （D） 9.已知 的内角 , , 的对边分别为 ， ， ，且 ，则 （A） （B） （C） （D） 10.已知三棱锥 的底面是以 为斜边的等腰直角三角形，且 ，则该三棱锥的外接球的表面积为 （A） （B） （C） （D） 11.圆 的圆心在抛物线 上,且该圆过抛物线的焦点，则圆上的点到直线 距离最小值为 （A） （B） （C） （D） 12.函数 是定义在 上的奇函数，且 为偶函数，当 时， ，若函数 恰有一个零点，则实数 的取值范围是 （A） （B） （C） （D） 二、填空题:本大题共4小题，共20分. 13.某校开展“爱我家乡”演讲比赛，9位评委给小明同学打分的分数如茎叶图所示.记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为 ，复核员在复核时，发现有一个数字在茎叶图中的却无法看清，若记分员计算无误，则数字 . 14.有一个焦点为 且与双曲线 有相同渐进线的双曲线方程是 . 15.已知实数 满足约束条件 ，则 的最大值为 ． 16.已知函数 ，若 在区间 内没有极值点，则 的取值范围是 . 三、解答题：（本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分12分） 已知数列 的前 项和为 ， . （Ⅰ）求数列 的通项公式； （Ⅱ）若 ，求数列 的前 项和 . 18.（本小题满分12分） 日产量 1 2 3 4 5 日销售额 5 12 16 19 21 某工厂每日生产一种产品 吨,每日生产的产品当日销售完毕，日销售额为 万元，产品价格随着产量变化而有所变化，经过一段时间的产销，得到了 ， 的一组统计数据如下表：

（Ⅰ）请判断 与 中，哪个模型更适合刻画 ， 之间的关系？可从函数增长趋势方面给出简单的理由； （Ⅱ）根据你的判断及下面的数据和公式，求出 关于 的回归方程，并估计当日产量 时，日销售额是多少？ ， ， ， . 线性回归方程 中， ， . 19.（本小题满分12分） 如图，在直三棱柱 中， ， ， ， 是 的中点， 是 的中点，点 在线段 上，且 ． （Ⅰ）证明： 平面 ； （Ⅱ）若 ，求三棱锥 的体积． 20.（本小题满分12分） 已知椭圆 的左右焦点分别为 ， ，点 是椭圆 上一点，若 ， , 的面积为 . （Ⅰ）求椭圆 的方程； （Ⅱ）若 , 分别为椭圆上的两点，且 ,求证： 为定值，并求出该定值. 21.（本小题满分12分） 已知函数 ． （Ⅰ）若函数 在 上是减函数，求实数 的最小值； （Ⅱ）若存在 ，使 成立，求实数 的取值范围．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分。 22．[选修4−4：坐标系与参数方程]（10分） 在平面直角坐标系 中，曲线 过点 ，其参数方程为 （ 为参数， ），以坐标原点为极点，以 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ． （Ⅰ）写出曲线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程； （Ⅱ）已知曲线 和曲线 交于 两点（ 在 之间），且 ，求实数 的值．
23．[选修4−5：不等式选讲]（10分） 已知函数 . （Ⅰ）解关于 的不等式 ； （Ⅱ）记 的最小值为 ，已知实数 ， ， 都是正实数，且 ， 求证： ．
文科答案
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分. 1-5：CAABC 6-10:DBBAD 11-12:AD
二、填空题:本大题共4小题，共20分. 13. 14. 15. 16. 三、解答题：（本大题共6小题，满分70分. 17.（本小题满分12分） 解： (Ⅰ) ，①；当 时， ②； ②-① ， .......................3分 当 时， ， ........................4分 .....................5分 (Ⅱ)由题意， .........7分 当 时， 当 时, .................11分 .......................12分 18.（本小题满分12分） 解：(Ⅰ) 更适合刻画 ， 之间的关系, .......................1分 理由如下： 值每增加1，函数值的增加量分别为7，4，3，2，增加得越来越缓慢，适合对数型函数的增长规律，与直线型函数的均匀增长存在较大差异，故 更适合刻画 ， 之间的关系.......4分 (Ⅱ)令 , 计算知 所以 ，.......................8分 ,所以所求的回归方程为 ..............10分 当 时，销售额为 (万元)， ........ ......12分 19.（本小题满分12分） 证明：(Ⅰ)取 ，记为点 ,连结 . , // 又 , , // . 又 ， //平面 .......................4分 又 ， //平面 ................................6分 (Ⅱ)方法一：由于 为 中点，故 两点到平面 的距离相等 又 .......8分 点到平面 的距离 为 点到平面 的距离的 ， 即 ,.................................10分 .......................................12分 方法二： ....................8分 .....................................10分 .................................12分 20.（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由已知， 又 ，∴ ， , ，∴椭圆 的方程为： ．…………………5分 （Ⅱ）(i)当 , 是椭圆顶点时， ，…………………6分 (ii)当 , 不是椭圆顶点时，设 ， ， 由 得 ， , 同理 , , . 综上， 为定值. …………………12分 21.（本小题满分12分） 解：已知函数 的定义域为 ． （Ⅰ）因为 在 上为减函数，故 在 上恒成立，即当 时， ． 又 ， 故当 ，即 时， ． 所以 ，于是 ，故 的最小值为 ． ………………………5分 （Ⅱ）命题“若存在 使 成立”等价于“当 时，有 ” ． 由（Ⅰ）知，当 时， ，所以 ． 故问题等价于：“当 时，有 ” ①当 时，由（Ⅱ）知， 在 上为减函数， 则 ，故 ．……………8分 ②当 ， 时， ，由（Ⅰ）知，函数 在 上是减函数， ，所以 ，与 矛盾，不合题意． 综上，得实数 的取值范围 ． …………………12分 请考生在第22～23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22．【解析】（Ⅰ） 的参数方程 ，消参得普通方程为 ， 的极坐标方程为 两边同乘 得 即 ．………5分 （Ⅱ）将曲线 的参数方程代入曲线 得 ， 设 对应的参数为 ，由题意得 且 在 之间，则 ， 解得 ………10分 23.（本小题满分10分） （Ⅰ）解： 或 或 ， 解得 或 ． 综上所述，不等式 的解集为 ……………5分 （Ⅱ）由 （ 时取等号） . 即 ，从而 ， ………10分

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