2014高二上数学文科期末试题附答案.docx

一、选择题( 共 12 题 ,共 48 分) 1、如图 所示，在河岸 ac 一侧测量河的宽度，测量以下四组数据，较适宜的是(　　)． a． c ， α ， γ b． c ， b ， α c． c ， a ， β d． b ， α ， γ 2、从 a 处望 b 处的仰角为 α ，从 b 处望 a 处的俯角为 β ，则 α ， β 的关系是(　　)． a． α ＞ β b． α ＝ β c． α + β ＝90° d． α + β ＝180° 3、如图，已知两座灯塔 a 和 b 与海洋观测站 c 的距离都等于 a km，灯塔 a 在观测站 c 的北偏东20°，灯塔 b 在观测站 c 的南偏东40°，则灯塔 a 与灯塔 b 的距离为(　　)． a． a km b． km c． km d．2 a km 4、在高20 m的楼顶测得对面一塔顶的仰角 为60°，塔基的俯角为45°，则这座塔的高度为(　　)． a． m b． m c． m d． m 5、在△ abc 中，若sin a ∶sin b ＝2∶5，则边 b ∶ a 等于(　　)． a．2∶5或4∶25 b．5∶2 c．25∶4 d．2∶5 6、在△ abc 中，sin 2 a －sin 2 c +sin 2 b ＝sin a •sin b ，则∠ c 为(　　)． a．60° b．45° c．120° d．30° 7、在△ abc 中，已知 a ＝4， b ＝6，∠ c ＝120°，则sin a 的值为(　　)． a． b． c． d． 8、△ abc 的三个内角∠ a ，∠ b ，∠ c 所对的边分别为 a ， b ， c ， a sin a sin b + b cos 2 a ＝ ，则 ＝(　　)． a． b． c． d． 9、根据下列条件，确定△ abc 有两解的是(　　)． a． a ＝18， b ＝20，∠ a ＝120° b． a ＝60， c ＝48，∠ b ＝60° c． a ＝3， b ＝6，∠ a ＝30° d． a ＝14， b ＝16，∠ a ＝45° 10、在△ abc 中，∠ a ∶∠ b ∶∠ c ＝1∶2∶3，那么三边之比 a ∶ b ∶ c 等于(　　)． a．1∶2∶3 b．3∶2∶1 c．1∶ ∶2 d．2∶ ∶1 11、在△ abc 中， a ＝2，∠ a ＝30°，∠ c ＝45°，则 s △ abc ＝(　　)． a． b． c． d． 12、在△ abc 中，∠ a ，∠ b ，∠ c 的对边分别是 a ， b ， c ． 若 a 2 － b 2 ＝ ，sin c ＝ sin b ，则∠ a ＝(　　)． a．30° b．60° c．120° d．150° 第II卷（非选择题） 试卷第二部分共有 10 道试题。 二、填空题( 共 4 题 ,共 12 分) 1、如图为曲柄连杆结构示意图，当曲柄 OA 在 OB 位置时，连杆端点 P 在 Q 的位置，当 OA 自 OB 按顺时针旋转 α 角时， P 和 Q 之间的距离为 x ，已知 OA ＝25 cm， AP ＝125 cm，若 OA ⊥ AP ，则 x 等于__________(精确到0.1 cm)． 2、一船在海面 A 处望见两灯塔 P ， Q 在北偏西15°的一条直线上，该船沿东北方向航 行4海里到达 B 处，望见灯塔 P 在正西方向，灯塔 Q 在西北方向，则两灯塔的距离为__________． 3、在△ ABC 中， ， ， ，则 b ＝________. 4、在平行四边形 ABCD 中， ， ，∠ BAC ＝45°，则 AD ＝________. 三、解答题( 共 6 题 ,共 51 分) 1、如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的 A ， B ， C 三点进行测量．已知 AB ＝50 m， BC ＝120 m，于 A 处测得水深 AD ＝80 m，于 B 处测得水深 BE ＝200 m，于 C 处测得水深 CF ＝110 m，求∠ DEF 的余弦值． 2、如图， A ， B 两个小岛相距21海里， B 岛在 A 岛的正南方，现在甲船从 A 岛出发，以9海里/时的速度向 B 岛行驶，而乙船同时以6海里/时的速度离开 B 岛向南偏东60°方向行驶，行驶多少时间后，两船相距最近？并求出两船的最近距离． 3、为了测定不能到达底部的铁塔的高 PO ，可以有哪些方法？ 4、在△ ABC 中， a ＝8， b ＝7，∠ B ＝60°，求 c 及 S △ ABC ． 5、在△ ABC 中，∠ A ，∠ B ，∠ C 的对边分别为 a ， b ， c ，已知 a 2 － c 2 ＝2 b ，且sin B ＝4cos A sin C ，求 B ． 6、在△ ABC 中，已知( a 2 + b 2 )sin(∠ A －∠ B )＝( a 2 － b 2 )sin(∠ A +∠ B )，试判断△ ABC 的形状．
∴ CE ＝ AE tan 60°＝ m， ∴ CD ＝ CE + ED ＝ m. 5、B 6、A 7、A 解析： 由余弦定理可求得 ，再由正弦定理得 . 8、D 9、D 解析： ，又 b ＞ a ， ∴∠ B 有两解．故△ ABC 有两解． 10、C 解析： 易知∠ A ＝ ，∠ B ＝ ，∠ C ＝ ， ∴ a ∶ b ∶ c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝1∶ ∶2. 11、C 解析： 由 得 ，∠ B ＝105°， S △ ABC ＝ ac sin B ＝ . 12、A 解析： 利用正弦定理，sin C ＝ sin B 可化为 ． 又∵ ， ∴ ， 即 a 2 ＝7 b 2 ， ． 在△ ABC 中， ，∴∠ A ＝30°. 二、填空题 1、22.5 cm 解析： x ＝ PQ ＝ OA + AP － OP ＝25+125－ ≈22.5(cm)． 2、 海里 解析： 如图， 在△ ABP 中， AB ＝4，∠ BAP ＝60°，∠ ABP ＝45°， ∴∠ APB ＝75°.由正弦定理得 ． 又在△ ABQ 中，∠ ABQ ＝45°+45°＝90°，∠ PAB ＝60°，∴ AQ ＝2 AB ＝8，于是 PQ ＝ AQ － AP ＝ ， ∴两灯塔间距离为 海里． 3、 解析： ∵ ，∴ ， S △ ABC ＝ ab sin C ＝ ，即 ，∴ . 4、 解析： BC 2 ＝ AB 2 + AC 2 －2 AB • AC •cos∠ BAC ＝48， ∴ ，∴ . 三、解答题 1、 解： 如图，作 DM ∥ AC 交 BE 于 N ，交 CF 于 M . (m)， (m)， (m)． 在△ DEF 中，由余弦定理的变形形式，得 cos∠ DEF ＝ . ①当9 t ＜21，即 时， C 在线段 AB 上， 此时 BC ＝21－9 t . 在△ BCD 中， BC ＝21－9 t ， BD ＝6 t ， ∠ CBD ＝180°－60°＝120°，由余弦定理知 CD 2 ＝ BC 2 + BD 2 －2 BC • BD •cos 120°＝(21－9 t ) 2 +(6 t ) 2 －2×(21－9 t )•6 t • ＝63 t 2 －252 t +441＝63( t －2) 2 +189. ∴当 t ＝2时， CD 取得最小值 . ②当 时， C 与 B 重合， 则 . ③当 时， BC ＝9 t －21， 则 CD 2 ＝(9 t －21) 2 +(6 t ) 2 －2•(9 t －21)•6 t •cos 60°＝63 t 2 －252 t +441＝63( t －2) 2 +189＞189. 综上可知，当 t ＝2时， CD 取最小值 . 答：行驶2 h后， 甲、乙两船相距最近为 海里． 3、 解 ： 方法一：在地面上引一条基线 AB ，这条基线和塔底在同一水平面上，且延长后不过塔底，测出 AB 的长，用经纬仪测出角 β ， γ 和 A 对塔顶 P 的仰角 α 的大小，则可求出铁塔 PO 的高．计算方法如下： 如图所示，在△ ABO 中，由正弦定理得 ， 在Rt△ PAO 中， PO ＝ AO •tan α ， ∴ . 方法二：在地面上引一条基线 AB ，这一基线与塔底在同一水平面上，且 AB 延长后不过点 O .测出 AB 的长、张角∠ AOB (设为 θ )及 A ， B 对塔顶 P 的仰角 α ， β ，则可求出铁塔 PO 的高，计算方法如下： 如图所示，在Rt△ POA 中， AO ＝ PO •cot α ， 在Rt△ POB 中， BO ＝ PO •cot β ， 在△ AOB 中，由余弦定理得 OA 2 + OB 2 －2 OA • OB •cos θ ＝ AB 2 ， ∴ . 方法三：在地面上引一条基线 AB ，这一基线与塔底在同一水平面上，并使 A ， B ， O 三点在一条直线上，测出 AB 的长和 A ， B 对塔顶 P 的仰角 α ， β ，则可求出铁塔 PO 的高．计算方法如下： 如图所示，在△ PAB 中，由正弦定理得 ， 在Rt△ PAO 中， PO ＝ PA •sin α ， ∴ . 4、 解： 由余弦定理得8 2 + c 2 －2×8× c ×cos 60°＝7 2 ，即 c 2 －8 c +15＝0，∴ c ＝3或5. 当 c ＝3时， ； 当 c ＝5时， . 5、 解： 由余弦定理得 a 2 － c 2 ＝ b 2 －2 bc cos A ，又 a 2 － c 2 ＝2 b ， b ≠0，∴ b ＝2 c •cos A +2.由正弦定理得 ， 又由已知得 ，∴ b ＝4 c •cos A ，由 可得 b ＝4. 6、 解： 由已知有 a 2 sin(∠ A －∠ B )+ b 2 sin(∠ A －∠ B )＝ a 2 sin(∠ A +∠ B )－ b 2 sin(∠ A +∠ B )，即2 a 2 cos A sin B －2 b 2 cos B sin A ＝0， ∴ a 2 cos A sin B － b 2 sin A cos B ＝0. 由正弦定理，上式可化为sin 2 A cos A sin B －sin 2 B sin A cos B ＝0， 即sin A sin B (sin A cos A －sin B cos B )＝0， ∵sin A ≠0，sin B ≠0， ∴sin A cos A －sin B cos B ＝0，即sin 2 A ＝sin 2 B ， ∴2∠ A ＝2∠ B 或2∠ A +2∠ B ＝π， ∴∠ A ＝∠ B 或∠ A + ∠ B ＝ . 故△ ABC 为等腰三角形或直角三角形．

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