2018芜湖市高三理科数学5月模拟考试试卷含答案.docx

芜湖市2017-2018学年度第二学期高三模考试题 理科数学 一、第Ⅰ卷（共60分）选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合 ，则 (A) [-2，-1] (B) [-1，2) (C) [-1，1] (D) [1，2) 2．设复数 ，则下列命题中错误的是 (A) (B) (C) 在复平面上对应的点在第一象限 (D) 的虚部为 3．若 满足约束条件 则 的最大值为 (A) 2 (B) 6 (C) 7 (D) 8 4．若圆锥曲线 的离心率为 ，则 (A) (B) (C) (D) 5．芜湖高铁站芜湖至 地上午发车时间分别为7:00，8:00，8:30，小明需在当天乘车到 地参加一高校自主招生，他在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是 (A) (B) (C) (D) 6．我国古代数学著作《九章算术》中，其意是：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升．问：米几何？右图是源于其思想的一个程序框图，若输出的 （单位：升），则输入 的值为 (A) 6 (B) 7 (C) 8 (D) 9 7．已知 是定义在 上偶函数，对任意 都有 且 ，则 的值为 (A)2 (B) 3 (C)4 (D)5
8．某几何体的三视图如右图所示，图中的四边形都是边长为1的正方形，其中正(主)视图、侧(左)视图中的两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是 (A) (B) (C) (D) 9．已知函数 ．将 的图象向左平移 个单位长度后所得的函数为偶函数，则关于函数 ，下列命题正确的是 (A)函数 在区间 上有最小值 (B) 函数 的一条对称轴为 (C)函数 在区间 上单调递增 (D) 函数 的一个对称点为 10．设 ， ， 均为实数，且 ， ， ，则 (A) (B) (C) (D) 11．已知椭圆 的右焦点为 ．圆 上所有点都在椭圆 的内部，过椭圆上任一点 作圆 的两条切线， 为切点，若 ，则椭圆C的离心率为 (A) (B) (C) (D) 12．已知函数 ，其中 为自然对数的底数．若函数 在区间 内有两个零点，则 的取值范围是 (A) (B) (C) (D) 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 13．已知向量 的夹角为 ， ， ，则 =_______． 14．已知 展开式中只有第4项的二项式系数最大，则 展开式中常数项为_______． 15．在三棱锥 中， ，当三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为_______． 16．已知 的内角 的对边分别为 ，若 ，则 最小值是_______． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。
17．（本小题满分12分） 已知等比数列 的前 项和为 .若 ，且 ． （1）求数列 的通项公式 ； （2）设 ，求数列 的前 项和 ． 18. （本小题满分12分） 如图，在三棱柱 中， ， ，平面 平面 ， 为 中点. （1）求证： ； （2）若 直线 与平面 所成角为 ，求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值． 19. （本小题满分12分） 某市疾控中心流感监测结果显示，自 年 月起，该市流感活动一度出现上升趋势，尤其是 月以来，呈现快速增长态势，截止目前流感病毒活动度仍处于较高水平，为了预防感冒快速扩散，某校医务室采取积极方式，对感染者进行短暂隔离直到康复．假设某班级已知 位同学中有 位同学被感染，需要通过化验血液来确定感染的同学，血液化验结果呈阳性即为感染，呈阴性即未被感染．下面是两种化验方法： 方案甲：逐个化验，直到能确定感染同学为止； 方案乙：先任取 个同学，将它们的血液混在一起化验，若结果呈阳性则表明感染同学为这 位中的 位，后再逐个化验，直到能确定感染同学为止；若结果呈阴性则在另外 位同学中逐个检测； （1）求依方案甲所需化验次数等于方案乙所需化验次数的概率； （2） 表示依方案甲所需化验次数， 表示依方案乙所需化验次数，假设每次化验的费用都相同，请从经济角度考虑那种化验方案最佳．
20．（本小题满分12分） 设抛物线 的焦点为 ，准线为 ．已知点 在抛物线 上，点 在 上， 是边长为4的等边三角形． （1）求 的值； （2）若直线 是过定点 的一条直线，且与抛物线 交于 两点，过 作 的垂 线与抛物线 交于 两点，求四边形 面积的最小值． 21．（12分）已知函数 ．曲线 在 处切线的斜率为 ，（ 为自然对数的底数） （1）求 的值； （2）证明： ．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分。 22．[选修4−4：坐标系与参数方程]（10分） 在平面直角坐标系 中，曲线 过点 ，其参数方程为 （ 为参数， ），以坐标原点为极点，以 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ． （1）写出曲线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程； （2）已知曲线 和曲线 交于 两点（ 在 之间），且 ，求实数 的值．
23．[选修4−5：不等式选讲]（10分） 已知函数 . （1）解关于 的不等式 ； （2）记 的最小值为 ，已知实数 ， ， 都是正实数，且 ， 求证： ． 芜湖市2017-2018学年度第二学期高三模考试题答案 数学试卷（理科） 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1-5: 6-10: 11、12： 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13． 14． 61 15． 16． 三、解答题 17【解析】（1）由 ，可得 ．………2分 即公比 ，………4分， 又 ，故 ．………6分 （2） ，………8分 ．………12分 18【证明】（1）过点 做 交 于 ，因为面 ， ， 所以 ，故 ，………2分 又因为 ，所以 ，故 ， 因为 ，所以 ，又因为 ，所以 面 ， 故 ．………5分 （2）以 为坐标原点， 所在直线为 轴，建立空间直角坐标 ， ， 设面 的法向量为 ， 则 令 ， 得 ； ………7分 设面 的法向量为 ，则 令 得 ；………9分 ………11分 面 与面 所成锐二面角的余弦值为 ．………12分 19【解析】（1）设 分别表示依方案甲需化验为第 次； 表示依方案乙需化验为第 次； ……4分 表示方案甲所需化验次数等于依方案乙所需化验次数． ，………6分 （2） 的可能取值为 ． 的可能取值为 ． （次），………8分 ∴ （次） ∴故方案乙更佳 ．………12分 20【解析】（1）由题意知 ，则 ．设准线 与 轴交于点 ，则 ， 又 是边长为4的等边三角形， ，所以 ，即 ．………4分 （2）设直线 的方程为 ，设 ， 联立 得 ，则 ， ，………6分 ，………7分 ，同理得 ，………8分 则四边形 的面积 ， ………10分 令 ， 是关于 的增函数， 故 ，当且仅当 时取得最小值． ………12分 21【解析】（1）因为 ，所以 ，………2分 则 ，得 ． ………4分 （2） ， ，设函数 ， ， 当 时， ， 为减函数， 当 时， ， 为增函数，则 ． ………7分 设函数 ， ，令 在 为减函数，又因为 ，则当 时， ，即 ， 为增函数，则当 时， ，即 ， 为减函数，所以 ，………11分 综上所述， ，即 ．………12分 22．【解析】（1） 的参数方程 ，消参得普通方程为 ， 的极坐标方程为 两边同乘 得 即 ．………5分 （2）将曲线 的参数方程代入曲线 得 ， 设 对应的参数为 ，由题意得 ，且 在 之间，则 ， 解得 ………10分 23. 【解析】（1） 或 或 ， 解得 或 ． 综上所述，不等式 的解集为 ……………5分 （2）由 （ 时取等号） .即 ，从而 ，

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