2012年考研数学二试题及答案.doc
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1、2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1) 曲线渐近线的条数 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3【答案】C【考点】函数图形的渐近线【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点:(i)当曲线上一点M沿曲线无限远离原点时,如果M到一条直线的距离无限趋近于零,那么这条直线称为这条曲线的渐近线。(ii)渐近线分为水平渐近线(,为常数)、垂直渐近线()和斜渐近线(,为常数)。(iii)注意:如果(1)不存在;(2),但不存在,可断定不存在斜渐近
2、线。在本题中,函数的间断点只有.由于,故是垂直渐近线.(而,故不是渐近线).又,故是水平渐近线.(无斜渐近线)综上可知,渐近线的条数是2.故选C. (2) 设函数,其中为正整数,则 ( )(A) (B) (C) (D) 【答案】A【考点】导数的概念【难易度】【详解一】本题涉及到的主要知识点:.在本题中,按定义.故选A.【详解二】本题涉及到的主要知识点:.在本题中,用乘积求导公式.含因子项在为0,故只留下一项.于是故选(A). (3) 设,则数列有界是数列收敛的( )(A)充分必要条件 (B)充分非必要条件(C)必要非充分条件 (D)既非充分也非必要条件【答案】B【考点】数列极限【难易度】【详解
3、】因,所以单调上升.若数列有界,则存在,于是反之,若数列收敛,则数列不一定有界.例如,取,则是无界的.因此,数列有界是数列收敛的充分非必要条件.故选(B).(4)设则有 ( )(A) (B) (C) (D)【答案】D【考点】定积分的基本性质【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点:设,则.在本题中,因此.故选D.(5)设函数可微,且对任意的都有,则使不等式成立的一个充分条件是( )(A), (B), (C), (D), 【答案】D【考点】多元函数的偏导数;函数单调性的判别【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点:函数单调性的判定法 设函数在上连续,在内可导.如果在内,那么函数在上单调增加;如果
4、在内,那么函数在上单调减少.在本题中,因,当固定时对单调上升,故当时又因,当固定时对单调下降,故当时因此,当,时故选D.(6)设区域由曲线,围成,则( )(A)(B)2(C)-2(D)【答案】D【考点】二重积分的计算【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点:在本题中,其中,均为奇函数,所以,故选(D) (7)设, , , ,其中为任意常数,则下列向量组线性相关的为( )(A) (B) (C) (D)【答案】C【考点】向量组的线性相关与线性无关【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点:个维向量相关在本题中,显然,所以必线性相关.故选C.(8) 设A为3阶矩阵,P为3阶可逆矩阵,且.若P=(),则
5、 ( )(A) (B) (C) (D) 【答案】B【考点】矩阵的初等变换;初等矩阵【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点:设是一个矩阵,对施行一次初等行变换,相当于在的左边乘以相应的阶初等矩阵;对施行一次初等列变换,相当于在的右边乘以相应的阶初等矩阵.在本题中,由于经列变换为,有,那么故选B.二、填空题:914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.(9)设是由方程所确定的隐函数,则 .【答案】1【考点】隐函数的微分【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点:隐函数求导的常用方法有:1. 利用复合函数求导法,将每个方程两边对指定的自变量求偏导数(或导数),此时一定要注意谁是自
6、变量,谁是因变量,对中间变量的求导不要漏项。然后求解相应的线性方程式或方程组,求得所要的隐函数的偏导数或导数。2. 利用一阶全微分形式的不变性,对每个方程两边求全微分,此时各变量的地位是平等的,然后求解相应的线性方程组或者方程式,球的相应的隐函数的全微分。对于多元隐函数来说,若题目中求的是全部偏导数或全微分,往往是用方法2比较简单些,若只求某个偏导数,则方法1和方法2的繁简程度差不多。在本题中,令,得.等式两边同时对求导,得 (*)令,得 ,于是.再将(*)是对求导得令,得 于是(10) .【答案】【考点】定积分的概念【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点:利用定积分定义求某些和式的极限(先
7、将和式表成某函数在某区间上的一个积分和,它的极限就是一个定积分).特别是对于项和数列的极限,应该注意到:在本题中,由积分定义,(11)设,其中函数可微,则 【答案】0【考点】多元复合函数的求导法【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点:二元函数(是一元函数与二元函数的复合函数),在变量替换下,得到对,的偏导数为,.在本题中,根据题中条件可知,所以(12)微分方程满足条件的解为 【答案】(或)【考点】一阶线性微分方程【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点:方程叫做一阶线性微分方程,其通解为.在本题中,方程可整理为,将看作因变量,一阶线性非齐次微分方程的通解为.又,得,故(或)为所求解.(13)
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