2012年考研数学二试题及答案.doc

2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、选择题:18小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
(1) 曲线渐近线的条数 ( )
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
【答案】C
【考点】函数图形的渐近线
【难易度】★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
（i）当曲线上一点M沿曲线无限远离原点时，如果M到一条直线的距离无限趋近于零，那么这条直线称为这条曲线的渐近线。
（ii）渐近线分为水平渐近线（，为常数）、垂直渐近线（）和斜渐近线（，为常数）。
（iii）注意：如果
（1）不存在；
（2），但不存在，可断定不存在斜渐近线。
在本题中，函数的间断点只有.
由于，故是垂直渐近线.
（而，故不是渐近线）.
又，故是水平渐近线.（无斜渐近线）
综上可知，渐近线的条数是2.故选C.
(2) 设函数,其中为正整数,则 ( )

(A) (B) (C) (D)
【答案】A
【考点】导数的概念
【难易度】★★
【详解一】本题涉及到的主要知识点：
.
在本题中，按定义

.故选A.
【详解二】本题涉及到的主要知识点：
.
在本题中，用乘积求导公式.含因子项在为0，故只留下一项.于是

故选（A）.
(3) 设，，则数列有界是数列收敛的( )
（A）充分必要条件 （B）充分非必要条件
（C）必要非充分条件 （D）既非充分也非必要条件
【答案】B
【考点】数列极限
【难易度】★★★
【详解】因，所以单调上升.
若数列有界，则存在，于是

反之，若数列收敛，则数列不一定有界.例如，取，则是无界的.

因此，数列有界是数列收敛的充分非必要条件.故选（B）.
(4)设则有 ( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】D
【考点】定积分的基本性质
【难易度】★★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
设，则.
在本题中，
，，
，
，

因此.故选D.
（5）设函数可微，且对任意的都有，，则使不等式成立的一个充分条件是( )
（A）， （B），
（C）， （D），
【答案】D
【考点】多元函数的偏导数；函数单调性的判别
【难易度】★★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
函数单调性的判定法 设函数在上连续，在内可导.

①如果在内，那么函数在上单调增加；
②如果在内，那么函数在上单调减少.
在本题中，因，当固定时对单调上升，故当时
又因，当固定时对单调下降，故当时
因此，当，时
故选D.
（6）设区域由曲线，，围成，则( )
（A） （B）2 （C）-2 （D）
【答案】D
【考点】二重积分的计算
【难易度】★★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：

在本题中，

其中，均为奇函数，所以
，
故选（D）

(7)设, , , ,其中为任意常数，则下列向量组线性相关的为( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】C
【考点】向量组的线性相关与线性无关
【难易度】★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
个维向量相关
在本题中，显然
，
所以必线性相关.故选C.
(8) 设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且.若P=（），，则 ( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】B
【考点】矩阵的初等变换；初等矩阵
【难易度】★★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
设是一个矩阵，对施行一次初等行变换，相当于在的左边乘以相应的阶初等矩阵；对施行一次初等列变换，相当于在的右边乘以相应的阶初等矩阵.
在本题中，由于经列变换为，有

，
那么

故选B.

二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.
（9）设是由方程所确定的隐函数，则 .
【答案】1
【考点】隐函数的微分
【难易度】★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
隐函数求导的常用方法有：
1. 利用复合函数求导法，将每个方程两边对指定的自变量求偏导数（或导数），此时一定要注意谁是自变量，谁是因变量，对中间变量的求导不要漏项。然后求解相应的线性方程式或方程组，求得所要的隐函数的偏导数或导数。
2. 利用一阶全微分形式的不变性，对每个方程两边求全微分，此时各变量的地位是平等的，然后求解相应的线性方程组或者方程式，球的相应的隐函数的全微分。
对于多元隐函数来说，若题目中求的是全部偏导数或全微分，往往是用方法2比较简单些，若只求某个偏导数，则方法1和方法2的繁简程度差不多。
在本题中，令，得.等式两边同时对求导，得
（*）
令，得 ，
于是.再将（*）是对求导得

令，，得
于是
（10） .
【答案】
【考点】定积分的概念
【难易度】★★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
利用定积分定义求某些和式的极限（先将和式表成某函数在某区间上的一个积分和，它的极限就是一个定积分）.
特别是对于项和数列的极限，应该注意到：
在本题中，由积分定义，

（11）设，其中函数可微，则
【答案】0
【考点】多元复合函数的求导法
【难易度】★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
二元函数（是一元函数与二元函数的复合函数），在变量替换

下，得到对，的偏导数为，.
在本题中，根据题中条件可知，，，所以
（12）微分方程满足条件的解为
【答案】（或）
【考点】一阶线性微分方程
【难易度】★★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
方程叫做一阶线性微分方程，其通解为.
在本题中，方程可整理为，将看作因变量，一阶线性非齐次微分方程的通解为.又，得，故（或）为所求解.
（13）曲线上曲率为的点的坐标为 .
【答案】（-1，0）
【考点】曲率
【难易度】★★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
曲率公式.
在本题中，，代入曲率公式，得，

解得或.又，故.故坐标为.
（14）设为3阶矩阵，，为的伴随矩阵，若交换的第一行与第二行得到矩阵，则_________
【答案】-27.
【考点】矩阵的初等变换；伴随矩阵
【难易度】★★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
设是一个矩阵，对施行一次初等行变换，相当于在的左边乘以相应的阶初等矩阵；对施行一次初等列变换，相当于在的右边乘以相应的阶初等矩阵.
在本题中，设
则，从而.
三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（15）已知函数 记
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）当时，与是同阶无穷小，求常数的值.
【考点】无穷小量的比较
【难易度】★★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
当时，，.
（Ⅰ）
（Ⅱ）

方法一：利用泰勒公式

解得.
方法二：利用等价无穷小量代换

当时，，所以.
（16）求函数的极值.
【考点】函数的极值
【难易度】★★★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
二元函数取得极值的充分条件：设在点的某邻域有连续的二阶偏导数，又，，令，，，则
（1）当时，在取极值，且当时取极小值，时取极大值；
（2）当时，不是的极值点；
（3）当时，仅此不足以判断是否是的极值点，还需另作讨论.
在本题中，先求函数的驻点. 令

解得驻点为，
又

根据判断极值的第二充分条件，
代入（1，0），得，，，从而，，所以在（1，0）取得极大值，极大值为；
代入（-1，0），得，，，从而，，所以在（-1，0）取得极小值，极小值为.
（17）过点（0，1）作曲线的切线，切点为，又与轴交于点，区域由与直线及轴围成，求区域的面积及绕轴旋转一周所得旋转体的体积.
【考点】导数的几何意义、定积分的应用
【难易度】★★★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
（i）函数在点处的导数是曲线在点处的切线的斜率.
函数；
（ii）函数，在连续，则由曲线，及直线，所围区域的面积；
（iii）曲线绕轴旋转一周所得旋转体的体积.
在本题中，设切点坐标为，则切线斜率为，切线方程为，代入（0，1）点，解得，从而切点坐标为，切线方程为，点

坐标为，所以区域的面积
.
绕轴旋转一周所得旋转体的体积

（18）计算二重积分，其中区域由曲线与极轴围成.
【考点】二重积分的计算；定积分的换元积分法
【难易度】★★★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：

在本题中，作极坐标变换，，则的极坐标表示是
，，
于是

（19）已知函数满足方程及
（Ⅰ）求的表达式；
（Ⅱ）求曲线的拐点.

【考点】二阶常系数齐次线性微分方程；函数图形的拐点
【难易度】★★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
（i）二阶常系数齐次线性微分方程的特征方程有两个不同的实根，微分方程的通解形式为.
（ii）拐点的充分判别定理：设在内二阶可导，，则，若在两侧附近异号，则点为曲线的拐点.
（Ⅰ）因满足
①
②
由②得，代入①得 ，
两边乘得
积分得 ，即
代入②式得，于是
代入①式自然成立.因此求得
（Ⅱ）曲线方程为
为求拐点，先求出.
，
，
由于
因此是曲线的唯一拐点.

（20）证明：
【考点】函数单调性的判别
【难易度】★★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
函数单调性的判定法 设函数在上连续，在内可导.
①如果在内，那么函数在上单调增加；
②如果在内，那么函数在上单调减少.
证明：令，
则转化为证明（）
因，即为偶函数，故只需考察的情形.
用单调性方法.
，
，
，
其中，，
因时，又在连续在，（），同理在，在，
.又因为偶函数，.即原不等式成立.

（21）
（Ⅰ）证明：方程（为大于1的整数）在区间内有且仅有一个实根；
（Ⅱ）记（Ⅰ）中的实根为，证明存在，并求此极限.
【考点】闭区间上连续函数的性质
【难易度】★★★★
【证明】本题涉及到的主要知识点：
零点定理：设函数在闭区间上连续，且与异号（即），那么在开区间内至少有一点，使.
（Ⅰ）转化为证明在有唯一零点.
由于在连续，又
，
，
由连续函数的零点存在性定理可知在至少存在一个零点.又
，
所以在，在的零点唯一，即在内只有一个根.
（Ⅱ）记，它的唯一零点记为.现证.由于

，
显然，在有唯一零点，此零点必然是，且

因此单调下降且有界，故必存在极限
因，即，
令
即.
（22）设
（I）计算行列式；
（II）当实数取何值时，方程组有无穷多解，并求其通解.
【考点】行列式按行（列）展开定理；非齐次线性方程组有解的充分必要条件
【难易度】★★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
（i）行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即，
或.
（ii）设是矩阵，方程组，则方程组有无穷多解
（I）按第一列展开，即得

（Ⅱ）因为时，方程组有可能有无穷多解.由（I）知或
当时，
，
由于，，故方程组无解.因此，当时不合题意，应舍去.
当时，
，
由于，故方程组有无穷多解.选为自由变量，得方程组通解为：
（为任意常数）.
（23）已知，二次型的秩为2
（I）求实数的值；
（II）求正交变换将化为标准形.
【考点】二次型的秩；实对称矩阵的特征值和特征向量；用正交变换化二次型为标准形
【难易度】★★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
（i）实对称矩阵的特性：不同特征值的特征向量互相正交.
（ii）任给二次型，总有正交变换，使化为标准形
，其中是的矩阵的特征值.
（I）二次型的秩为2，即

因为，故.对作初等变换有
，
所以.
（II）当时，.由
，
可知矩阵的特征值为0，2，6.
对，由得基础解系，
对，由得基础解系，
对，由得基础解系.
实对称矩阵特征值不同特征向量相互正交，故只需单位化.
，，.
那么令，就有.

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