2015年考研数学二真题及答案.doc
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1、2015年考研数学二真题一、 选择题:(18小题,每小题4分,共32分。下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的。)(1)下列反常积分中收敛的是(A) (B)(C) (D)【答案】D。【解析】题干中给出4个反常积分,分别判断敛散性即可得到正确答案。 ; ; ; , 因此(D)是收敛的。综上所述,本题正确答案是D。【考点】高等数学一元函数积分学反常积分 (2)函数在(-,+)内 (A) (B)有可去间断点(C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点 【答案】B 【解析】这是“”型极限,直接有 , 在处无定义,且所以是的可去间断点,选B。 综上所述,本题正确答案是B。 【考点】高等数学函数
2、、极限、连续两个重要极限(3)设函数().若(A) (B)(C) (D)【答案】A【解析】易求出 再有 于是,存在此时.当, =因此,在连续。选A综上所述,本题正确答案是C。【考点】高等数学函数、极限、连续函数连续的概念,函数的左极限和右极限(4)设函数在(-,+)内连续,其二阶导函数的图形如右图所示,则曲线的拐点个数为AOB (A) (B)(C) (D)【答案】C【解析】在(-,+)内连续,除点外处处二阶可导。 的可疑拐点是的点及不存在的点。的零点有两个,如上图所示,A点两侧恒正,对应的点不是拐点,B点两侧,对应的点就是的拐点。虽然不存在,但点两侧异号,因而() 是的拐点。综上所述,本题正确
3、答案是C。【考点】高等数学函数、极限、连续函数单调性,曲线的凹凸性和拐点(5)设函数满足则与依次是 (A) (B)(C) (D)【答案】D【解析】先求出令于是 因此 综上所述,本题正确答案是D。【考点】高等数学-多元函数微分学-多元函数的偏导数和全微分(6)设D是第一象限中由曲线与直线 围成的平面区域,函数在D上连续,则 (A) (B) (C) (D) 【答案】 B 【解析】D是第一象限中由曲线与直线 围成的平面区域,作极坐标变换,将化为累次积分。 D的极坐标表示为 因此 综上所述,本题正确答案是B。 【考点】高等数学多元函数积分学二重积分在直角坐标系和极坐标系下的计算。(7)设矩阵A=,b=
4、。若集合,则线性方程 有无穷多解的充分必要条件为 (A) (B) (C) (D) 【答案】D 【解析】 是一个范德蒙德行列式,值为,如果,则 ,此时有唯一解,排除(A),(B) 类似的,若,则,排除(C) 当时, 综上所述,本题正确答案是D。【考点】线性代数-线性方程组-范德蒙德行列式取值,矩阵的秩,线性方程组求解。(8)设二次型在正交变换下的标准形为,其中,若Q=在正交变换 下的标准形为 (A) (B) (C) (D) 【答案】A 【解析】设二次型矩阵为A,则 可见都是A的特征向量,特征值依次为2,1,-1,于是-也是A的特征向量,特征值为-1,因此 因此在正交变换下的标准二次型为 综上所述
5、,本题正确答案是A。【考点】线性代数-二次型-矩阵的秩和特征向量,正交变换化二次型为标准形。二、填空题:()小题,每小题4分,共24分。(9)设则 【答案】48 【解析】由参数式求导法 再由复合函数求导法则得 = , 综上所述,本题正确答案是48。【考点】高等数学-一元函数微分学-复合函数求导(10)函数处的n阶导数 【答案】 【解析】 解法1 用求函数乘积的阶导数的莱布尼茨公式 其中注意,于是 因此 解法2 利用泰勒展开 由于泰勒展开系数的唯一性,得 可得 综上所述,本题正确答案是 【考点】高等数学一元函数微分学高阶导数,泰勒展开公式(11)设函数连续,.若=1,则 【答案】2 【解析】改写
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