2001年考研数学二试题及答案.doc

2001年全国硕士研究生入学统一考试
数学二试题解析
一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．把答案填在题中横线上．）
（1）＝______．
【答案】
【考点】洛必达法则
【难易度】★★
【详解】解析：方法一：

方法二：使用洛必达法则计算
.
（2）设函数由方程所确定，则曲线在点处的法线方程为______．
【答案】
【考点】隐函数的导数、平面曲线的法线
【难易度】★★
【详解】解析：在等式两边对x求导,得

将代入上式,得故所求法线方程为即 x−2y+2=0.
（3） ＝_______．

【答案】
【考点】定积分的换元法
【难易度】★★
【详解】解析：由题干可知，积分区间是对称区间，利用被积函数的奇偶性可以简化计算.
在区间上,是奇函数,是偶函数,
故

（4） 过点且满足关系式的曲线方程为______．
【答案】
【考点】一阶线性微分方程
【难易度】★★
【详解】解析：方法一:
原方程可改写为
两边直接积分,得
又由解得
故所求曲线方程为：
方法二:
将原方程写成一阶线性方程的标准形式
解得

又由解得
故曲线方程为：
（5） 设方程有无穷多个解，则a＝______．
【答案】
【考点】非齐次线性方程组解的判定
【难易度】★★
【详解】解析：方法一:
利用初等行变换化增广矩阵为阶梯形,有

可见,只有当a =−2 时才有秩对应方程组有无穷多个解.
方法二:
当系数矩阵的行列式不为零时,方程组有唯一解,因此满足题设条件的a 一定使系数行列式为零,即有解得或.
由于答案有两个,应将其带回原方程进行检验.显然,当时,原方程无解,因此只能是.
二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内．）

（1）设则等于（ ）
（A）0． （B）1．
（C） （D）
【答案】B
【考点】复合函数
【难易度】★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
复合函数中，内层函数的值域是包含于外层函数的定义域。
解析：由题易知，所以，，选B.
（2）设当时，是比高阶的无穷小，而是比高阶的无穷小，则正整数等于（ ）
（A）1． （B）2． （C）3． （D）4．
【答案】B
【考点】无穷小量的比较
【难易度】★★
【详解】解析：由题易知:

（3）曲线的拐点个数为（ ）
（A）0． （B）1． （C）2． （D）3．
【答案】C
【考点】函数图形的拐点

【难易度】★★
【详解】解析：

由得，或，带入，故有两个拐点.
（4）已知函数在区间内具有二阶导数，严格单调减少，且，则（ ）
（A）在和内均有．
（B）在和内均有．
（C）在内，，在内，．
（D）在内，，在内，．
【答案】A
【考点】函数单调性的判别
【难易度】★★★
【详解】解析：令，则，
因为在区间上，严格单调减少，
所以当时，，单调递增，；
当时，，单调递减，；
故在和内均有，即.
（5）设函数在定义域内可导，它的图形如下图所示，则其导函数的图形为（ ）

【答案】D
【考点】函数单调性的判别
【难易度】★★★
【详解】解析：由图可知有两个极值点，横坐标分别记作，故在且仅在这两处的值为，故选D。其中，当时，先增后减再增，故先正再负再正，进一步排除B.
三、（本题满分6分）
求
【考点】不定积分的第二类换元法
【难易度】★★★
【详解】解析：设则
原式

四、（本题满分7分）
求极限，记此极限为，求函数的间断点并指出其类型．
【考点】两个重要极限、函数间断点的类型
【难易度】★★★
【详解】解析：
由此表达式知x＝0及x＝kp（k＝±1，±2，…）都是f（x）的间断点．
由于，所以x＝0是f（x）的可去（或第一类）间断点；而
x＝kp（k＝±1，±2，…）均为第二类（或无穷）间断点．
五、（本题满分7分）
设是抛物线上任一点处的曲率半径，是该抛物线上介于点与之间的弧长，计算的值．（在直角坐标系下曲率公式为
【考点】曲率半径、定积分的几何应用—平面曲线的弧长、由参数方程所确定的函数的导数
【难易度】★★★
【详解】解析：抛物线在点处的曲率半径

抛物线上的弧长
故

因此
六、（本题满分7分）
设函数在上可导，，且其反函数为．若

求．
【考点】积分上限的函数及其导数、一阶线性微分方程
【难易度】★★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
解析：等式两边对x求导得：，
又因为是的反函数，故，
所以有

又因为在处连续，由得
故.
七、（本题满分7分）
设函数，满足，且，，求
【考点】自由项为指数函数的二阶常系数非齐次线性微分方程、定积分的分部积分法
【难易度】★★★★
【详解】解析：因为，所以

其对应的齐次微分方程为
特征方程为，
所以齐次微分方程的通解为
设非齐次微分方程的特解为，则代入微分方程得，
所以非齐次微分方程的通解为，
又,,
得,
故
求积分：
.
八、（本题满分9分）
设是一条平面曲线，其上任意一点到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在轴上的截距，且经过点
（1）试求曲线的方程；
（2）求位于第一象限部分的一条切线，使该切线与以及两坐标轴所围图形的面积最小．
【考点】齐次微分方程、平面曲线的切线、函数的最大值与最小值
【难易度】★★★
【详解】解析：（1）设曲线过点的切线方程为，
令,得切线在轴上的截距．
由题设知 ，

令,则此方程可化为
分离变量得
积分得，即
代入条件得，于是得L的方程, 即.
（2）曲线L∶在点处的切线方程为
即.
它在x轴与y轴上的截距分别为与．
所围面积
令.
得在内的唯一驻点,
易知是最小值点．
由此，所求切线为,即.
九、（本题满分7分）
一个半球体状的雪堆，其体积融化的速率与半球面面积成正比，比例常数．假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状，已知半径为的雪堆在开始融化的3小时内，融化了其体积的，问雪堆全部融化需要多少小时？
【考点】导数的物理意义、微分方程初始条件的概念
【难易度】★★★★
【详解】解析：设雪堆在时刻的体积，侧面积，雪堆半径．

由题设知，
所以有即
积分得．又由，有，于是．
又由，即，得，从而
令得雪堆全部融化所需时间为小时．
十、（本题满分8分）
设在区间上具有二阶连续导数，，
（1）写出的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式；
（2）证明在上至少存在一点，使
【考点】泰勒中值定理、介值定理
【难易度】★★★★
【详解】解析：（1）对任意，其中在0与之间．
（2） 令，则在具有三阶连续导数，其二阶麦克劳林展开式为

所以
又
由于介于和之间，由介值定理知存在，使得
，
则有.
十一、（本题满分6分）

已知矩阵，且矩阵满足，其中是3阶单位阵，求．
【考点】矩阵方程、逆矩阵的概念
【难易度】★★★
【详解】解析：由题设的关系式得
即
由于行列式所以矩阵可逆，

所以故
十二、（本题满分6分）
已知是线性方程组的一个基础解系，若，，，，讨论实数满足什么关系时，也是的一个基础解系．
【考点】齐次线性方程组的基础解系
【难易度】★★★★
【详解】
由于均为的线性组合，所以均为的解.
下面证明线性无关.设，即

，
由于线性无关，因此其系数全为零，即
其系数行列式
可见，当，即时，上述方程组只有零解，因此向量组
线性无关，又因的基础解系是4个向量，故也是的一个基础解系.

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