2007年考研数学二真题及答案.doc

2007年考研数学二真题
一、选择题（110小题，每小题4分，共40分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。）
(1) 当时，与等价的无穷小量是
(A) (B)
(C) (D)
【答案】B。
【解析】
时

几个不同阶的无穷小量的代数和，其阶数由其中阶数最低的项来决定。
综上所述，本题正确答案是B。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量的性质及无穷小量的比较
(2) 函数在上的第一类间断点是
(A)0 (B)1
(C) (D)
【答案】A。
【解析】

A：由得

所以是的第一类间断点；
B：
C：
D：
所以都是的第二类间断点。
综上所述，本题正确答案是A。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数间断点的类型
(3) 如图，连续函数在区间上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间上的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设,则下列结论正确的是
(A)
(B)

(C)
(D)
-3 -2 -1 0 1 2 3

【答案】C。
【解析】
【方法一】
四个选项中出现的在四个点上的函数值可根据定积分的几何意义确定

则
【方法二】
由定积分几何意义知,排除(B)
又由的图形可知的奇函数，则为偶函数，从而

显然排除(A)和(D),故选(C)。

综上所述，本题正确答案是C。
【考点】高等数学—一元函数积分学—定积分的概念和基本性质，定积分的应用
(4) 设函数在处连续，下列命题错误的是
(A)若存在，则
(B)若存在，则
(C)若存在，则存在
(D)若存在，则存在
【答案】D。
【解析】
(A)：若存在，因为,则,又已知函数在处连续，所以,故,(A)正确；
(B)：若存在，则,则，故(B)正确。
(C)存在，知，则
则存在，故(C)正确
(D)存在，
不能说明存在

例如在处连续，
存在，但是不存在，故命题(D)不正确。
综上所述，本题正确答案是D。
【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念
(5) 曲线渐近线的条数为
(A)0 (B)1
(C)2 (D)3
【答案】D。
【解析】
由于
，
则是曲线的垂直渐近线；
又

所以是曲线的水平渐近线；
斜渐近线：由于一侧有水平渐近线，则斜渐近线只可能出现在一侧。

则曲线有斜渐近线，故该曲线有三条渐近线。
综上所述，本题正确答案是D。
【考点】高等数学—一元函数微分学—函数图形的凹凸性、拐点及渐近线
(6) 设函数在内具有二阶导数，且,令,则下列结论正确的是
(A)若,则必收敛 (B)若,则必发散
(C)若,则必收敛 (D)若,则必发散
【答案】D。
【解析】
【方法一】
图示法：由，知曲线是凹的，
显然，图1排除选项(A)，其中；图2排除选项(B)；图3排除选项(C),其中；故应选(D)。

O 1 2

O 1 2

O 1 2

图1 图2 图3
【方法二】
排除法：取,显然在，,,但，排除A；
取在上，且,但,排除B；
取 在上，，且,但，排除(C),故应选(D)。
【方法三】
由拉格朗日中值定理知

当时，

由于，且,则从而有

则有
综上所述，本题正确答案是D。
【考点】高等数学—一元函数微分学—函数图形的凹凸性、拐点及渐近线
(7) 二元函数在点处可微的一个充分条件是

(A)
(B) ,且
(C)
(D) ,且
【答案】C。
【解析】
由可得

即,同理
从而

根据可微的判定条件可知函数在点处可微
综上所述，本题正确答案是C。
【考点】高等数学—多元函数微分学—多元函数的偏导数和全微分，全微分存在的必要条件和充分条件

(8) 设函数连续，则二次积分等于
(A)
(B)

(C)
(D)
【答案】B。
【解析】
交换积分次序，已知,则可得

综上所述，本题正确答案是B。
【考点】高等数学—多元函数微积分学—二重积分的概念、基本性质和计算
(9) 设向量组线性无关，则下列向量组线性相关的是
(A)
(B)
(C)
(D)
【答案】A。
【解析】
(A)：因为,
所以向量组线性相关；
(B)：

因为线性无关，所以判断线性无关
由于,故知线性无关；
(C)：

，同理线性无关；
(D)：

，同理线性无关；
综上所述，本题正确答案是A。
【考点】线性代数—向量—向量组的线性相关与线性无关
(10) 设矩阵,则与
(A)合同，且相似 (B)合同，但不相似
(C)不合同，但相似 (D)既不合同，也不相似
【答案】B。
【解析】

根据相似的必要条件:，易得和肯定不相似，
合同的充分必要条件是具有相同的正惯性指数、负惯性指数。
由

知矩阵的特征值.故二次型的正惯性指数,负惯性指数,而二次型也是正惯性指数,负惯性指数，所以和合同
综上所述，本题正确答案是B。
【考点】线性代数—二次型—二次型及其矩阵表示，合同变换与合同矩阵
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分）
(11) 。
【答案】。
【解析】
【方法一】
（洛必达法则）

【方法二】

泰勒公式：

【方法三】

综上所述，本题正确答案是。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量的性质及无穷小量的比较、极限的四则运算
高等数学—一元函数微分学—洛必达法则，泰勒公式
(12) 曲线上对应于的点处的法线斜率为 。
【答案】。
【解析】
切线斜率
代入，得
所以对应的法线斜率为

综上所述，本题正确答案是。
【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念，导数的几何意义和物理意义
(13) 设函数,则 。
【答案】。
【解析】
【方法一】
先求一阶导数，二阶导数，归纳总结阶导数
则

由此可归纳得到

则
【方法二】
利用幂级数展开，为求将在处展开为幂级数，则其展开式中的次幂项的系数为,即可求出。

所以

推出
综上所述，本题正确答案是。
【考点】高等数学—一元函数微分学—高阶导数
(14) 二阶常系数非齐次微分方程的通解为 。
【答案】其中为任意常数
【解析】
对应齐次方程的特征方程为

则对应齐次方程的通解为
设原方程特解为,代入原方程可得

所以原方程的特解为
故原方程的通解为其中为任意常数，
综上所述，本题正确答案是其中为任意常数。
【考点】高等数学—常微分方程—简单的二阶常系数非齐次线性微分方程
(15) 设是二元可微函数，，则 。
【答案】。

【解析】
利用求导公式

所以
综上所述，本题正确答案是。
【考点】高等数学—多元函数微积分学—多元函数偏导数的概念与计算
(16) 设矩阵，则的秩为 。
【答案】1。
【解析】
因为

所以。
综上所述，本题正确答案是1。
【考点】线性代数—矩阵—矩阵的乘法，矩阵的秩
三、解答题（本题共8小题，满分86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
(17) （本题满分10分）
设是区间上单调、可导函数，且满足

其中是的反函数，求
【解析】
等式 两端同时对求导，得

即
则
由原题设知
因为是区间上单调、可导函数，则的值域为，它是单调，非负的。故必有

所以
【考点】高等数学—一元函数积分学—积分上限的函数及其导数
(18) （本题满分11分）
设是位于曲线下方，轴上方的无界区域。
(I) 求区域绕轴旋转一周所成的旋转体的体积；
(II) 当为何值时，最小，并求最小值。
【解析】
(I) 旋转体体积为

(II)
令，得
当时，,单调减少；
当时，,单调增加。
所以时，旋转体体积最小，最小体积为

【考点】高等数学—一元函数积分学—定积分的应用
(19) （本题满分10分）
求微分方程满足初始条件的特解
【解析】
设,则,原方程变为
则,解之得,将代入得
得
结合，得
所以
【考点】高等数学—常微分方程—可用简单的变量代换求解的某些微分方程，可降阶的高阶微分方程
(20) （本题满分11分）
已知函数具有二阶导数，且,函数由方程所确定，设

,求
【解析】
在中令得
方程两端对求导得

,代入上式得
上式两端再对求导得

可得
又
则

【考点】高等数学—一元函数微分学—复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法
(21) （本题满分11分）
设函数在上连续，在内具有二阶导数，且存在相等的最大值，,证明：存在，使得。
【解析】

【方法一】
令,则
设在内的最大值为，且分别在时取到，即
若取到,即；
若则

此时，由连续函数介值定理知在之间至少存在点，
综上所述，存在，使得
由罗尔定理知，存在,使得；
再由罗尔定理知，存在,使得即。
【方法二】
用反证法证明存在，使得：
假设不存在，使得，则由的连续性知对于一切,恒大于零或恒小于零。
设，设在取到最大值，则即,从而可知在上的最大值比在上的最大值要大，与题设矛盾，所以假设命题不成立。

存在，使得
所以由罗尔定理知，存在,使得；
再由罗尔定理知，存在,使得即。
【考点】高等数学—一元函数微分学—微分中值定理
(22) （本题满分11分）
设二元函数

计算二重积分,其中
【解析】
因为被积函数关于均为偶函数，且积分区域关于轴均对称，所以
，为在第一象限内的部分
而

所以
【考点】高等数学—多元函数微积分学—二重积分的概念、基本性质和计算
(23) （本题满分11分）
设线性方程组 ①
与方程 ②
有公共解，求的值及所有公共解。
【解析】
【方法一】
方程组有公共解，即为将两个方程联立的解
③
对联立方程组的增广矩阵进行初等行变换，有

已知方程组有解，所以应有

时，
此时，公共解为：,其中为任意常数。
时，
此时，有唯一的公共解为
【方法二】
先求方程组①的解，其系数行列式为
当时，方程组①只有零解，但此时不是方程②的解，所以公共解发生在或时，
当时，对方程组①的系数矩阵进行初等行变换

方程组①的通解为, 其中为任意常数。
此解也满足方程组②，所以此时方程组①和②的公共解为, 其中为任意常数。
当时，同样求方程组①的通解

方程组①的通解为, 其中为任意常数。
将其代入方程组②中得：
得,因此此时方程组①和②的公共解为
【考点】线性代数—线性方程组—齐次线性方程组的基础解系和通解，非齐次线性方程组的通解
(24) （本题满分11分）
设3阶实对称矩阵的特征值为,且是的属于的一个特征向量，记,其中为3阶单位矩阵。
(I) 验证是矩阵的特征向量，并求的所有特征值和特征向量；
(II) 求矩阵。
【解析】
(I) 由知,那么

所以是矩阵属于特征值的特征向量
同理，，，有
,

因此，矩阵的特征值为。

由矩阵是对称矩阵知矩阵也是对称矩阵，设矩阵关于特征值的特征向量是，那么因为实对称矩阵特征值不同特征向量相互正交，有

所以矩阵关于特征值的特征向量是
因此，矩阵属于特征值的特征向量是，其中是不为0的任意常数。
矩阵属于特征值的特征向量是，其中是不全为0的任意常数。
(II) 由，有

所以

【考点】线性代数—矩阵的特征值与特征向量—矩阵的特征值和特征向量的概念、性质，实对称矩阵的特征值、特征向量及其相似对角矩阵

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