周益春材料固体力学课后习题解答.doc

第一章

习题1 证明恒等式
[证明]

习题2 证明若，则
[证明]
，
又因为所有的指标都是哑指标，，所以，即

习题3 已知某一点的应力分量，，，不为零，而，试求过该点和z轴，与x轴夹角为的面上的正应力和剪应力。
[解] 如图1.1，过该点和z轴，与x轴夹角为的面的法线，其与x轴，y轴和z轴的方向余弦分别为cosα，sinα，0，则由斜面应力公式的分量表达式，，可求得该面上的应力为

由斜面正应力表达式，可求得正应力为
？？
剪应力为

习题4 如已知物体的表面由确定，沿物体表面作用着与其外法线方向一致分布载荷。试写出其边界条件。
[解] 物体表面外表面法线的方向余弦为

带入应力边界条件，，得

习题5 已知某点以直角坐标表示的应力分量为，，，，，，试求该点以柱坐标表示的应力分量。
[解] 如图1.2，两个坐标轴之间的方向余弦如下表所示：

x
y
z
r
cosθ
sinθ
0
θ
-sinθ
cosθ
0
z
0
0
1 注意
由应力分量转换公式，求得

利用三角公式可将上面的式子改写为

习题6 一点的应力状态由应力张量给定，式中，，，为常数，是某应力值，求常数，，，以使八面体面上的应力张量为零
[解] 由斜面应力公式的分量表达式，，知八面体面上应力张量为零需满足如下方程组：

解得

习题7 证明（1）应力的三个主方向互相垂直；（2）三个主应力，，必为实根
[证明]
（1）设任意两个不同的主应力为、，对应的主方向为、。根据主应力定义有：
，
将以上两式分别点乘和再相减，得

是对称应力张量，上式可改写为

所以应力的三个主方向互相垂直
（2）设任意两个不同的主应力为、，对应的主方向为、

若为复数，则为其共轭复数，从而方向余弦、互为共轭
与主方向相互垂直矛盾
所以三个主应力必为实数

习题8 证明球形应力张量在任意斜面上的剪应力为零，且正应力为
[证明] 球形应力张量，设任意斜面的方向余弦为
由斜面应力公式 ，得
由斜面正应力公式 ，得
由斜面剪应力公式，得

习题9 求应力偏量张量的不变量
[解] 应力张量可分解为球形应力张量和应力偏量张量，
应力偏量张量，其主应力方程为，即
上述方程存在非零解的必要条件是系数行列式为零，即
得到关于的三次代数方程，
其中，和分别为应力偏量张量的第一、第二、第三不变量
设，和为应力偏量张量的三个主值，则

习题11 设为二阶对称张量，证明由导出的应力一定满足无体力的平衡方程
[证明]    又关于，反对称，关于，对称
，即满足无体力的平衡方程，－忽略体力下的平衡微分方程
习题12 已知直角坐标系中各点的应力张量，试求体积力分量
[解] 根据平衡微分方程，得 对谁偏导的问题

得体积力分量为

习题13 如图1.3所示的三角形截面水坝，材料的比重为，承受着比重为液体的压力，已求得应力解为，试根据直边及斜边上的表面条件确定系数,,和
[解] 如图所示，建立平面直角坐标系
水坝左侧表面法线的方向余弦为，受外力的作用
根据应力边界条件，，在处

水坝右侧表面法线的方向余弦为，受外力的作用
根据应力边界条件，，在处

由上述两个方程组，得 外力是如何确定的

习题14 如图1.4所示的三角形截面水坝，其左侧作用着比重为的液体，右侧为自由表面，试写出以应力分量表示的边界条件。
[解] 如图所示，建立平面直角坐标系
水坝左侧表面法线的方向余弦为，受外力的作用
根据应力边界条件，，在处

水坝右侧表面法线的方向余弦为，受外力的作用
根据应力边界条件，，在处

第二章

习题1 初始时刻位于的质点在某时刻的位置为，其中，求格林应变张量的分量。
[解] 采用拉格朗日描述法，，得

由格林应变张量，，，得

习题2 证明是二阶对称张量的分量，而不是任何张量的分量。
[证明]
（1） ，显然可得其对称性
对于笛卡尔直角坐标系和，各坐标轴之间的方向余弦如下表

由弹性力学理论知，，恰与张量定义相吻合，
是二阶对称张量的分量
（2）设有一剪应变张量，其分量
取任一矢量，则

，但不能缩并为，与假设是张量矛盾。
根据张量的商判则，不是任何张量的分量。

习题3 为求平面应变分量、、，将电阻应变片分别贴在方向，与成和方向上，测得应变值以、、表示，试求、、
[解] 平面应变状态下，沿方向，与成和方向上的方向余弦分别为
根据方向线元的工程正应变公式，，得

求得

习题4 假设体积不可压缩位移与很小，，在一定区域内已知，其中，，为常数，求。
[解] 题目条件适用小变形，，得

体积不可压缩，
即

习题5 在平面应变状态下，使用直角坐标和极坐标中应变分量、位移分量的转换公式，写出在极坐标中的应变和位移的关系式。
[解] 在平面应变状态下，由应变分量转换公式，，得
（1）
代入，即
（2）
（3）
（4）
因此，
（5）
（6）
将式（2）-（6）代入式（1），得平面应变状态下，极坐标中的应变和位移的关系式：

习题7 证明由下式确定的应变恒满足变形协调方程，。
[证明]

对于单值连续位移场，并存在三阶以上连续偏导数时，偏导数的值与求导顺序无关
关于，对称；关于，对称
对于排列符号
关于，反对称；关于，反对称

即应变恒满足变形协调方程，

习题8 假定物体被加热至定常温度场时，应变分量为；，其中为线膨胀系数，试根据应变协调方程确定温度场的函数形式。
[解] 由应变协调方程，，得

又定常温度场应满足拉普拉斯方程，
故的函数形式中不应含有高于或等于2次的项
温度场的函数形式为

其中，，，和均为常数。

习题9 试导出平面应变轴对称情况下的应变协调方程
[解] 轴对称平面应变情况下，应变分量为

因此，平面应变轴对称情况下的应变协调方程为

习题10 在某一平面轴对称变形情况下，轴向应变为常数，试确定其余两个应变分量和的表达式（材料是不可压缩的）
[解] 平面轴对称情况下，变形协调条件为：
当材料不可压缩时，体积应变为零，即，代入上式，得

解得，式中，C是右边界条件确定的常数

习题11 试问什么类型的曲面在均匀变形后会变成球面。
[解] 均匀变形状态可表示为

其中，为常量
设均匀变形前的坐标为，则变形后的坐标为

曲面在均匀变形后变成球面，即
略去刚体位移，当、、为主轴时，变形前的坐标满足

变形前半轴为，，的椭球面在均匀变形后会变成球面。
特别的，当时，表示球面均匀变形后仍为球面。
‘
习题12 若物体内各点的位移分量为，其中，均是常数。
试证明，物体内所有各点的应变分量为常数（这种变形状态称为均匀变形），并分别证明在均匀变形后的物体内有：
（1）直线在变形后仍然是直线；
（2）相同方向的直线按同样的比例伸缩；
[证明] 由位移分量求得物体内各点的应变分量为
（1）
即物体内所有各点的应变分量为常数（均匀变形）
（1）若物体内任意一点，变形后变为坐标和之间的关系为
（2）
变形前，直线上的点，和满足
（3）
将式（3）代入式（2），并整理，得
（4）
式（4）表明直线在均匀变形后仍然是直线
（2）变形前连接两点，的直线长度为，方向余弦为、、，变形后的两对应点，的直线长度为，方向余弦为、、（图2.1）

将式（2）代入上式，得
（5）
将上式两端除以，得
（7）
而 （6）
对于方向相同的直线，具有相等的方向余弦、、，在均匀变形情况下，由式（6）和（7），知为常数。即
相同方向的直线按同样的比例伸缩；

习题13 物体的位移对称于坐标原点，试用球坐标和笛卡儿坐标表示位移分量和应变分量。
[解] 位移对称于坐标原点，则任意一点的位移沿半径向量的方向，并且只是的函数，其余位移。
（1）由球坐标系中的应变-位移关系，得

（2）笛卡儿坐标中

式中，，
因此，由，得

--第三章 弹性本构关系和弹性问题的求解习题

习题1、试利用各向异性理想弹性体的广义虎克定律导出：在什么条件下，理想弹性体中的主应力方向和主应变方向相重合？
解：各向异性理想弹性体的广义虎克定律为：
（a）
当时，三个互相垂直的应力方向为主应力方向。当时，三个互相垂直的应变方向为主应变方向。在主应变方向上，剪应力分量为：
（b）
若使，则式中，，具有非零解的条件为
（c）
上式即为x，y，z轴同时为应力主轴和应变主轴的条件。如果材料性能对称于一个平面，如Oxy平面，则，而且，此时（c）式恒等于零。在此情况下，当存在以x，y，z轴为主方向的应变状态时，其对应的剪应力分量将成为
（d）
若应变分量之间满足，则此点的应变主方向和应力主方向重合。如果材料性能对称于Oxy，Oyz，Ozx三个平面，则有，此时（d）式总是满足的。由此可知，当x，y，z轴为应变的主方向时，也必定为应力的主方向。但是，当应变主方向和正交轴不重合时，一般它与应力的主方向是不重合的。对于各向同性弹性体，不需要任何补充条件，应力主方向和应变主方向总是重合的。
习题2、对于各向同性弹性体，试导出正应力之差和正应变之差的关系式。且进一步证明：当其主应力的大小顺序为时，其主应变的排列顺序为。
解：各向同性条件下的广义虎克定律为

将上式中的（1）－（2），（2）－（3），（3）－（1）分别得：
　即　
证明：当其主应力的大小顺序为时，其主应变的排列顺序为。　且，利用上述正应力之差和正应变之差的关系式有。
习题3、将某一小的物体放入高压容器内，在静水压力作用下，测得体积应变，若泊松比=0.3，试求该物体的弹性模量。
解：设为第一应力不变量，而，
据各向同性条件下的广义虎克定律为有：，其中体积应变，故有
。
习题4、在各向同性柱状弹性体的轴向施加均匀压力，且横向变形完全被限制住（如图所示）。试求应力与应变的比值（称为名义杨氏模量，以表示）。
解：设柱体的轴线z轴，。因为横向变形被限制， 所以。据各向同性条件下的广义虎克定律
图3-1

得：，，将此两式相减得：
，而泊松比的理论取值范围为，故，将其代入广义虎克定律得：

从而
，得解。
习题5、在某点测得正应变的同时，也测得与它成60。和90。方向上的正应变，其值分别为，，，试求该点的主应变、最大剪应变和主应力（，）。
解：设该点的x，y轴向的正应变分别为，，剪应变为。任意方向（为与x轴正向的夹角）上的正应变为：
，
所以，，
，解由此三式组成的方程组得该点的，和分别为：,
。
（1）计算该点的主应变：
由、 、和得该点的主应变为：
，。
（2）该点的最大剪应变。
（3）计算该点的主应力：
现、、，据向同性条件下的广义虎克定律得 ，即，所以

将、、、及、代入上面三式得：
,,。
习题6、根据弹性应变能理论的应变能公式，导出材料力学中杆件拉伸、弯曲及圆轴扭转的应变能公式分别为：

。
解：（1）杆件拉伸的应变能公式推导：
设杆件横截面积为，弹性模量为，如图建立坐标系。杆件为单向拉伸，只存在轴向的伸长或缩短，轴向纤维间无剪切变形，即。
同时轴向纤维间无相互作用力，即。据弹性应变能理论的应变能公式（其余分量产生的应变能为零）。
O
图3-2
现在杆件上x处取一微段dx，其体积为，其应变能
,而

整个杆件的拉伸应变能为：
而，
故
整个杆件的拉伸应变能为：
（2）杆件弯曲的应变能公式的推导：
在材料力学中杆件在外力作用下发生纯弯曲，仅轴向纤维发生拉伸或压缩变形（其中中性层以内的纤维层受压缩，中兴层以外的纤维层伸长），而轴向纤维之间无相互作用的内力，即和。
在杆件上沿轴向去取一微段，在此微段的横截面上取一个微面，在上的应力可为相同的，而。
，。
故，其中只与x有关。
。
杆件弯曲的挠度为，挠度曲线的曲率为

（3）圆轴扭转的变形能公式推导：
设圆轴的轴向为z轴。在材料力学中，圆轴扭转变形后，其横截面仍为平面，半径仍为直线，且沿z轴相邻两截面的距离不变，故有
，。
在圆轴轴向z处取一微段，在微段的横截面（圆截面）上的半径处取一微面积，上的应力可为相同的，那么。
据平衡方程有：
而，故，令。
，而，
故，只与z有关，
，
即 。
习题7、试推导体积变形应变能密度及畸变应变能密度的公式分别为：

解：应变张量可分为球形应变张量和应变偏量张量之和：
，即。
其中球形应变张量表示体积变形（体积的等向收缩或膨胀），不产生形状畸变，它由球形应力张量所引起，仅产生体积变形应变能；而应变偏量张量表示形状畸变，不产生体积变形，它由应力偏量张量所引起，仅产生畸变应变能。应力张量可分为球形应力张量和应力偏量张量之和：
，即，
变形应变能密度分为体积变形应变能密度与畸变应变能密度之和，
即
其中，。
所以无论如何有： ，故
。
据虎克定律有： ，
。
据虎克定律有：，

习题8、如图所示结构，梁AB在A处固支，长为l，截面积为F1，截面惯性矩为I。杆BC在B处与梁铰接，截面积为F2，。材料弹性模量为E，B点受载荷P的作用，设梁的压缩量为，挠度曲线为，和a均为待定的变形参数。考虑杆BC的拉伸及梁AB的压缩与弯曲，用最小势能原理求B点的水平和垂直位移。
l-Δ
Δ
图3-3
解：梁AB被压缩，其变形能为。
杆BC被拉伸,其变形能为。
其中，。梁AB的挠度曲线为，其弯曲变形能为

外力功为：。
总势能为

据最小势能原理：，，
其中可以取任何值，。

B点的垂直位移为，水平位移为。
习题9、如图所示，简支梁长为l，抗弯刚度为EI，中点受P力作用，支座之间有弹性介质支承，其弹性系数为k（即每单位长介质对挠度提供的支反力）。设挠度曲线为，试分别用李兹法和迦辽金法求梁中点B的挠度。
图3-4
解：（1）用李兹法求梁中点B的挠度：
挠度曲线为 ，
，

，满足A，C两点的边界条件。
简支梁的变形能为：。
中点B处弹性支承的反力，
弹性支承的变形能为：
总变形能为：。外力功为：，
总势能为：，
按李兹法有：

， ，
。
（2）用迦辽金法求梁中点B的挠度：
将挠度曲线代入y向平衡方程得：
，将其代入迦辽金方法的积分式中得：

即

习题10、试用李兹法求如图所示的一端固定、一端自由的压杆临界载荷，设该压杆的长度图3-5
为l，抗弯刚度为EI（常数），其挠度曲线为。
解：挠度曲线为可以满足所要求的边界条件，压杆失稳后的弯曲应变能为
外力功，其中d为失稳后由弯曲引起压杆顶端处向下的竖直位移：

势能为：。
应用李兹法有，
如果，此方程虽然是满足了，但是这表示该压杆保持直的，根本没有失稳，所以。由此得：
，
此结果正好是精确解，这是因为所设的挠度曲线正好是失稳后的真实挠度曲线。
习题11、已知如图所示的半无限弹性体的界面上，承受垂直于界面的集中力P的作用，试用位移法求位移及应力分量。
解：
一、求位移函数
用位移法求解时，须求出满足边界条件及满足以位移分量表示的平衡方程组：
图3-6
M
其中
，
。
可以找到满足平衡方程组的两组特解：
（a）
（b）
上述两组特解的线性组合可作为通解：
（c）
其中A1和A2由边界条件来确定,将其代入由位移表示的应力得：
（d）
在边界上（z=0面），除外力作用点外，，前一条件自然满足，而后一条件由上式的第四式可得：
（e）
另外假想过M点作一与边界面平行的面，将半无限弹性体的上部取出，根据被取部分Z向平衡条件得： （f）
将（d）中的代入（f）得
，积分此式得：
（g）
由式(e)、(g)解得
（h）
将A1，A2代入（c）式得位移函数为：
（I）
二、求应力分量
将A1、A2代回(d)，可得应力分量的计算公式：
（j）
三、讨论：
1）以上所得应力和位移，当R增大时应力、应变值迅速减小，即带有局部性质。
2）当时，各应力分量都趣于无限大，这是因为假设外力集中作用在一点的缘故，实际上载荷不可能加在一个几何点上，而是分布在一个小面积上，因此实际应力不会是无限大而是相当大甚至已进入塑性阶段。根据圣维南原理，只要稍离集中力作用点，以上的应力与位移公式仍可认为是正确的。
3）由(j)式可见，当z=0时，在弹性半空间的边界面上有
（k）
这说明，边界面上各点受到纯剪切作用。
4）当r=0，R=z时，即在z轴上的各点，由(j)式可得(l)式。这说明在z轴上各点受到两向拉伸、一向压缩，它的主应力为（m）式，以绝对值来比较，比径向及周向应力大得多。
以上结果是研究接触问题的基础。
（l）
（m）
习题12、试用应力函数求解第11题中半无限弹性体的界面上，承受垂直于界面的集中力P的作用时的位移及应力分量，并求水平边界面上任意一点的沉陷。
解：半无限弹性体的界面上承受垂直于界面的集中力P的作用是一个空间轴对称问题，所有的物理分量都只是r和z的函数，与无关。将上述应力函数代入如下求应力分量的公式：
(a)
其中 (b)

得 （c）
在边界上（z=0面），除外力作用点外，，前一条件自然满足，而后一条件由上式的第四式可得：
（d）
另外假想过M点作一与边界面平行的面，将半无限弹性体的上部取出，根据被取部分Z向平衡条件得：
（e）
将（c）中的代入（e）式并积分得
（f）
式(d)中r为任意值，故只有分子为零，即
(g)
由式(f)、(g) 解得C2和C3，
将C2和C3代入式(d)得。然后利用虎克定律求出，根据求出C1。得应力分量为
（h）
将（h）式 代入以应力分量表示的位移公式求出位移为

利用上述位移公式求出水平边界面上任意一点的沉陷为
。
习题13、如图所示，设有半空间无限大弹性体，单位体积的质量为，在水平边界面上受均布压力q的作用，试用位移法求位移分量和应力分量（并假设在z=h处w=0）。
解：由于对称（任意铅直面都是对称面）试假设。这样就得
，。
因为半空间无限大弹性体体力分量

所以上述假设在x，y向满足以位移表示的平衡微分方程：
图3-7

而在z向的平衡微分方程为，简化后得
（a）
积分后得 （b）
（c）
其中A和B为积分常数。
现据边界条件来确定A和B。将以上的结果代入以位移分量表示应力的物理方程
（d）
得 （e）
在边界面上（z=0面），即，代入（e）式得。再回代（e）式得应力分量：
（f）
并由（c）式得z向位移 （g）
为了确定常数B，必须利用位移边界条件。由于在z=h处w=0，代入（g）式得。
再回代（g）式得位移分量：
，
至此位移分量和应力分量全部求出。
习题14、球形容器的内半径为a，外半径为b，内部作用着压力为Pi，外部压力为Pe，试用位移法求其应力分量（不计体力）。
解：这是一个空间球对称问题，体力KR=0，由位移分量表示的球对称平衡微分方程得微分方程

解此微分方程得（其中A，B为积分常数）
（a）
将代入以位移分量表示应力的物理方程

得应力分量的表达式：
（b）
（c）
代入如下边界条件： 求解A和B得
（d）
将(d)式代入(a)式得径向位移
。 （e）
将(d)式代入(b)式和(c)式得径向正应力和切向正应力（和就是主应力）：

第四章 弹性平面问题的习题
习题1、已知悬臂梁如图所示，若梁的正应力由材料力学公式给出，试由平衡方程求出及，并检验该应力分量能否满足从应力分量表示的协调方程？
图4-1
解： （1）由材料力学公式求正应力：

而现在
，解此微分方程得
，，
其中C1，C0为积分常数由边界条件确定如下：
， 。
。
（2）据弹性力学平衡方程求及
据弹性力学平面问题平衡微分方程，不计体力，即，
得 ，
由积分此式得
，
用边界条件确定待定函数：
，它也满足。
同时，积分此式得
，
由边界条件确定待定函数
。故
。
（3）验证应力分量表示的协调方程
现在不计体力，即，应力分量应满足，
即要求 。
而现在

。
故不能满足协调方程。
习题2、如图所示简支梁，承受线性分布载荷，试求应力函数及应力分量（不计体力）
解： （1）选择应力函数
图4-2
载荷q沿x轴呈线性分布，可断定沿x轴呈线性分布。可令

且有边界条件
故，解此微分方程得 。
这样，应力函数沿x轴的变化规律已定，而待定函数，，只是坐标y的函数。
（2）检验域内方程
把应力函数代入应力协调方程（无体力）得
，
上式对于任意x均要满足，故x的各次幂的系数为零，即
。
解这些微分方程得

根据应力函数的性质：艾雷应力函数的系数可确定到只差一个线性函数的程度（即艾雷应力函数中的一次函数项并不影响应力分量的大小），可令，于是

（3）检验边界条件，确定待定系数
上下边界为，
据得，
由以上两式分别相加、减得 （a）
又据上下边界中对x为任意值有得
（b）
将（b）中的第1式加、减第3式得
（c）
将（b）中的第3式加、减第4式得
（d）
（e）
由（a）式中的第2式和（c）式得
由（e）式得 K=0。由（a）式中的第1式得
根据外力平衡得，其中，解此方程得R1和R2：

在x=0的端面内据得
（f）
由第（d）式和第（f）式得。
由，
由。
综上得： ，
应力函数为。
习题3、已知载荷分布如图所示，即

当周期分别为
（1），如图4-3（b）所示。
（2） ，如图4-3（d）所示，且取x的偶函数。
（3） ，如图4-3（e）所示，且取x的奇函数。
试用傅氏级数写出的表达式，并写出集中载荷情况下的表达式。
图4-3
解：（1）周期为，如图4-3（b）所示。首先将y轴平移d，于是在新坐标系中，
，将按傅立叶级数展开成
其中 （n=0，1，2，…）
（n=1，2，…）
于是 ，
，
。
，

如图4-3（c）所示，令，且当时，即为集中载荷的情形，那么

（2）设，如图4-3（d）所示，且取x的偶函数。
对原来的载荷进行偶性延拓后按傅立叶级数展开成：
，
其中 （n=0，1，2，…），
而 （n=1，2，…）
于是，，

令，且当时，即为集中载荷的情形，那么

（3）设，如图4-3（e）所示，且取x的奇函数。
对原来的载荷进行奇性延拓后按傅立叶级数展开成：
，
其中 （n=0，1，2，…），
而 （n=1，2，…）
于是， ，
，令，且当时，即为集中载荷的情形，那么
。
图4-4
习题4、连续板墙的中间一段如图所示，试用三角函数形式的应力函数求其应力分量。
解：先将y轴平移l，得新坐标系XoY，在新坐标系XoY下将边界载荷化为三角函数形式的，周期为,其中。
在连续板墙的上边界，即Y=h处，利用第3题中的（2）得两处集中载荷P作用下的
（a）
在连续板墙的下边界，即Y=0处，在两处分布载荷q作用下：
，
其中 （n=0，1，2，…），
而 （n=1，2，…）
于是 ，
，
，
其中据外力平衡得。
（b）
设三角级数式的应力函数和相应的应力分量为

这些应力分量是满足平衡微分方程和协调方程的。现在利用边界条件确定待定常数。
（1）由于板墙的几何形状及所受载荷均对称与YoZ平面，有
对任何Y值都成立，于是。所以应力函数为

其中。相应的应力分量是：
（c）
（d）
（e）
（2）上、下边的剪应力为零，即得
（f）
（g）
（3）上边界正应力和（a）式得
（h）
（4）下边界正应力和（b）式得
（i）
由（f）、（g）、（h）、（i）四式中项和项对应的系数相等（其中）得方程组

从上述方程组中解出然后代入（c）、（d）、（e）三式中得到新坐标系XoY下的应力。再进行如下转化：
因为c远小于，可以认为，即周期可为2。然后以代入新坐标系XoY下的应力，将新坐标系XoY下的应力转化为旧坐标系xoy下的应力 。
习题5、已知复应力函数，式中c为实常数，试求其所代表的应力状态。
解：设应力函数 。
设。
据第一、第二应力组合公式

得 ，
所以。它可表示为一个矩形板纯弯曲纯的应力状态。如图4-5所示，设梁宽为1，其中弯矩
图4-5

图4-6
θ
习题6、如图4-6所示，无限大板中的一点作用有集中力P，试用复势求解板中的应力和位移。
解：设，而
据第一应力组合。现集中力P作用在坐标原点O，而原点O是复势的孤立奇点，应将原点挖去一个小圆域而形成多连通域。则复势应为
。其中外力
。而现在为平面应力状态，，为材料的泊松比。故复势 （a）
将和代入(a)式得
（b）
（1）求应力分量
在极坐标中，，

，。
其中A，B由(b)式确定，且。
（2）求位移分量
位移的复势表示为

其中A，B由(b)式确定，。
习题7、如图4-7所示，半径为a的圆板，在其两侧相对着的等长弧段上作用着压应力p，试求板中的应力。
解：这是轴对称问题，宜采用极坐标表示。
设复应力函数（或复势）为，则
（a）
图4-7
而应力边界条件为
（b）
现在 ，
将展开成三角级数形式得
，
其中即
当m为奇数时，，当m为偶数时，。故
（c）
即，其它

在单连通域中，现在孔边载荷的合力，复势和为单值函数，有。
将展开成级数得 （d）
令，将(c),(d)两式代入(b)式得

两边对应的项的系数相等得
正幂：m=0时,

m=1时, 自然成立。
m=2时,
的偶数时,
的奇数时，
负幂：时
综上得：，；

故

令，并将上述三式代入(a)式，分离实部和虚部得

图4-8
习题8、试求如图所示无穷大板承受纯剪切载荷时椭圆孔边的应力。
解：采用复变函数保角变换方法求解此平面应力问题。
（一）、选择变换函数
选择将椭圆孔外域映射成单位圆内域的变换函数：
其中，在单位圆周上有，于是 ，
，
，
（二）、计算几何项：
，。而

（三）、计算边界载荷及
由于孔边界不受外力，故，则
，
式中A0和B0与无穷远处的应力状态有关。现无穷远处为纯剪应力状态，。得
，，于是

，其中函数在外域解析，其积分为，故

（四）、计算复势

（五）、返回Z平面（物理平面）

由应力边界条件椭圆边界上的；当时，椭圆孔边的，

习题9、如图4-9所示，在无穷远处承受均匀拉应力S作用的无限大板，其中间有一椭圆孔，试用曲线坐标（椭圆坐标）求椭圆孔边的应力分布。
图4-9
解：采用由所导出的椭圆坐标，较容易得出椭圆孔的边界条件，使该问题的求解过程变得较简单。设域内一点以直角坐标表示为：，对应的椭圆坐标为：。则
，所以
（a）
当为常数时，(a)式表示相应的椭圆参数方程。令表示直角坐标系中的椭圆孔，则应有
（b）
由(b)式可定出和C。当时，即表示无限大的椭圆。对题中的问题选取复势： （c）
式中A，B均为待定的复常数，下面验证复势可满足应力和位移边界条件，并确定复常数A，B。
当时，，即；
当时（即在椭圆孔的边界上），。由可得：
，于是
（d）
当时，，而当时，。
所以，。由(c)和(d)式可求得
，

当时，，因此有。于是
，即。这样就满足了无穷远处的边界条件，即 。
只要再适当选取常数B，使由复势确定的应力满足椭圆孔处的边界条件，问题就得到解决。
由
得，注意到，可求得
，
在椭圆孔上，。因此有
。若取，则当时有，这样便满足了椭圆孔处的边界条件。因此，本问题的复势被确定为。还需检验由此复势得到的位移是否满足位移单值条件。由位移的复势表达式

上式中的K在平面应力状态下。上式中的双曲函数均是以为周期的函数，因此当绕的任一椭圆一周后，位移u，v将恢复为起始位移值，这就保证了位移的单值性。
椭圆孔边的应力可由求得；当时，，因此。
其最大值在长轴的端点，即处，其最大应力值为

由(b)式可求出和C：代入上式得

当椭圆逐渐变得扁长时，应力也逐渐增大。而当a=b时，即对应于圆孔情况，。
习题10、如图所示，由双曲线ABC和DEF构成边界的板受到沿y轴方向的拉力作用，并在EOB截面上的拉应力之合力为有限值。试利用曲线坐标（椭圆坐标）求解边界上的应力。
解：采用由所导出的椭圆坐标，设域内一点以直角坐标表示为：，对应的椭圆坐标为：。则
，所以
图4-10
（a）
当为常数时，(a)式表示相应的双曲线参数方程。
令表示直角坐标系中的双曲线AB段。则应有
（b）
同理，令表示直角坐标系中的双曲线BC段，令表示直角坐标系中的双曲线EF段，令表示直角坐标系中的双曲线DE段。只要研究双曲线的AB段，其它各段完全类似。现在研究双曲线的AB段的应力状态。
由(b)式可定出和C。对题中的问题选取复势：
（c）
式中A，B均为待定的复常数，下面验证复势可满足应力和位移边界条件，并确定复常数A，B。
当时，，即；
当时（即在双曲线的边界上），。由可得：
，于是
（d）
当时，，而当，时，；所以，。
由(c)和(d)式可求得
，

只要再适当选取常数B，使由复势确定的应力满足双曲线边界条件，问题就得到解决。由

得，注意到，可求得
，在双曲线边界上，。因此有
。若取，则当时有，这样便满足了双曲线边界条件。因此，本问题的复势被确定为
。
双曲线边界应力可由求得
；当时，，因此
。
由(b)式可求出和C：代入上式得

习题11、设有一个等厚度圆盘，其半径为，密度为。现以均匀角速度绕其回转轴线z轴回转，试求圆盘中各点的应力和位移（不计圆盘本身重力）。
解：圆盘以均匀角速度绕其回转轴线z轴回转，则圆盘的任意一点都有向心加速度，其大小为，因此圆盘的每单位体积上受到的离心力为。故该圆盘可认为在体力作用下处于平衡状态。
由于这是轴对称物体受轴对称体力作用，所以应力分布是轴对称的。即应力分量及都只是r的函数，而。于是平衡微分方程为