81空间几何体的表面积与体积.doc
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1、8.1 空间几何体的表面积与体积基础自测1.如图所示,在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P是A1B1上一点,且PB1=A1B1,则多面体P-BCC1B1的体积为 2.已知正方体外接球的体积为,那么正方体的棱长等于 3.若三棱锥的三个侧面两两垂直,且侧棱长均为,则其外接球的表面积是 .4.三棱锥S-ABC中,面SAB,SBC,SAC都是以S为直角顶点的等腰直角三角形,且AB=BC=CA=2,则三棱锥S-ABC的表面积是 .例1 如图所示,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=a,BC=b,BB1=c,并且abc0.求沿着长方体的表面自A到C1 的最短线路的长.例2 如图所示,半
2、径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴,旋转一周得到一几何体,求该几何体的表面积(其中BAC=30)及其体积.例3 如图所示,长方体ABCD中,用截面截下一个棱锥C,求棱锥C的体积与剩余部分的体积之比.例4 如图所示,在等腰梯形ABCD中,AB=2DC=2,DAB=60,E为AB的中点,将ADE与BEC分别沿ED、EC向上折起,使A、B重合,求形成的三棱锥的外接球的体积.1.如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面为直角三角形,ACB=90,AC=6,BC=CC1=.P是BC1上一动点,则CP+PA1的最小值是 .2.如图所示,扇形的圆心角为90,其所在圆的半径为R,弦AB将扇
3、形分成两个部分,这两部分各以AO为轴旋转一周,所得旋转体的体积V1和V2之比为 3.如图,三棱锥A-BCD一条侧棱AD=8 cm,底面一边BC=18 cm,其余四条棱的棱长都是17 cm,求三棱锥A-BCD的体积.4.如图所示,已知正四棱锥SABCD中,底面边长为a, 侧棱长为a.(1)求它的外接球的体积;(2)求它的内切球的表面积.1.如图所示,E、F分别是边长为1的正方形ABCD边BC、CD的中点,沿线AF,AE,EF折起来,则所围成的三棱锥的体积为 2.长方体的过一个顶点的三条棱长的比是123,对角线长为2,则这个长方体的体积是 3.已知三棱锥SABC的各顶点都在一个半径为r的球面上,球
4、心O在AB上,SO底面ABC,AC=r,则球的体积与三棱锥体积之比是 4.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4,体积为16,则这个球的表面积是 5.一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上,其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上,则该正三棱锥的体积是 7.已知正四棱柱的对角线的长为,且对角线与底面所成角的余弦值为,则该正四棱柱的体积等于 .8.已知一个凸多面体共有9个面,所有棱长均为1,其平面展开图如图所示,则该凸多面体的体积V= .9.一个正三棱台的上、下底面边长分别是3 cm和6 cm,高是cm,(1)求三棱台的斜高;(2)求三棱台的侧面积和表面积.10.如图所示,正ABC的边长为4,
5、D、E、F分别为各边中点,M、N、P分别为BE、DE、EF的中点,将ABC沿DE、EF、DF折成了三棱锥以后.(1)MNP等于多少度?(2)擦去线段EM、EN、EP后剩下的几何体是什么?其侧面积为多少?.11.如图所示,在长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=BC=1,BB1=2,E是棱CC1上的点,且CE=CC1.(1)求三棱锥CBED的体积;(2)求证:A1C平面BDE.12.三棱锥SABC中,一条棱长为a,其余棱长均为1,求a为何值时VSABC最大,并求最大值.参考答案8.1 空间几何体的表面积与体积基础自测1.如图所示,在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P是A1B1上一
6、点,且PB1=A1B1,则多面体P-BCC1B1的体积为 答案 2.已知正方体外接球的体积为,那么正方体的棱长等于 答案 3.(2008福建,15)若三棱锥的三个侧面两两垂直,且侧棱长均为,则其外接球的表面积是 .答案 94.三棱锥SABC中,面SAB,SBC,SAC都是以S为直角顶点的等腰直角三角形,且AB=BC=CA=2,则三棱锥SABC的表面积是 .答案 3+例1 如图所示,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=a,BC=b,BB1=c,并且abc0.求沿着长方体的表面自A到C1 的最短线路的长.解 将长方体相邻两个面展开有下列三种可能,如图所示.三个图形甲、乙、丙中AC1的长分别为
7、:=,=,=,abc0,abacbc0. 故最短线路的长为.例2 如图所示,半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴,旋转一周得到一几何体,求该几何体的表面积(其中BAC=30)及其体积.解 如图所示,过C作CO1AB于O1,在半圆中可得BCA=90,BAC=30,AB=2R,AC=R,BC=R,CO1=R,S球=4R2,=RR=R2,=RR=R2,S几何体表=S球+=R2+R2=R2,旋转所得到的几何体的表面积为R2.又V球=R3,=AO1CO12=R2AO1=BO1CO12=BO1R2V几何体=V球-(+)=R3-R3=R3.例3 如图所示,长方体ABCD中,用截面截下一个棱锥C,
8、求棱锥C的体积与剩余部分的体积之比.解 已知长方体可以看成直四棱柱.设它的底面面积为S,高为h,则它的体积为V=Sh.而棱锥C的底面面积为S,高是h,因此,棱锥C的体积VCADD=Sh=Sh.余下的体积是Sh-Sh=Sh.所以棱锥C的体积与剩余部分的体积之比为15.例4 (12分)如图所示,在等腰梯形ABCD中,AB=2DC=2,DAB=60,E为AB的中点,将ADE与BEC分别沿ED、EC向上折起,使A、B重合,求形成的三棱锥的外接球的体积.解 由已知条件知,平面图形中AE=EB=BC=CD=DA=DE=EC=1.折叠后得到一个正四面体.2分方法一 作AF平面DEC,垂足为F,F即为DEC的
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