幂的知识点.doc

幂的运算（基础）
【要点梳理】
要点一、同底数幂的乘法性质
(其中都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.
（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，
即（都是正整数）.
（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即（都是正整数）.
要点二、幂的乘方法则
(其中都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.
要点诠释：（1）公式的推广： (，均为正整数)
（2）逆用公式： ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题.
要点三、积的乘方法则
(其中是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.
要点诠释：（1）公式的推广： (为正整数).
（2）逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如：
要点四、注意事项
（1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式.
（2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，计算时不要遗漏.
（3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加.
（4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方.
（5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.
（6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯.
【典型例题】
类型一、同底数幂的乘法性质
1、计算：
（1）；（2）；
（3）．
【答案与解析】
解：（1）原式．
（2）原式．
（3）原式．
【总结升华】（2）（3）小题都是混合运算，计算时要注意运算顺序，还要正确地运用相应的运算法则，并要注意区别同底数幂的乘法与整式的加减法的运算法则．在第（2）小题中的指数是1．在第（3）小题中把看成一个整体．
举一反三：
【变式】计算：
（1）；
（2）（为正整数）；
（3）（为正整数）．
【答案】
解：（1）原式．
（2）原式．
（3）原式．
2、已知，求的值．
【思路点拨】同底数幂乘法的逆用：
【答案与解析】
解：由得．
∴ ．
【总结升华】（1）本题逆用了同底数幂的乘法法则，培养了逆向思维能力．（2）同底数幂的乘法法则的逆运用：．
类型二、幂的乘方法则
3、计算：
（1）；（2）；（3）．
【思路点拨】此题是幂的乘方运算，（1）题中的底数是，（2）题中的底数是，（3）题中的底数的指数是，乘方以后的指数应是．
【答案与解析】
解：（1）．
（2）．
（3）．
【总结升华】运用幂的乘方法则进行计算时要注意符号的计算及处理，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆.幂的乘方法则中的底数仍可以为单个数字、字母，也可以是单项式或多项式.
4、已知，求的值．
【答案与解析】
解：∵ ，∴ ．
【总结升华】（1）逆用幂的乘方法则：．（2）本题培养了学生的整体思想和逆向思维能力．
举一反三：
【变式1】已知，．求的值．
【答案】
解：．
【变式2】已知，，求的值．
【答案】
解：因为, .
所以.
类型三、积的乘方法则
5、指出下列各题计算是否正确，指出错误并说明原因：
（1）； （2）； （3）．
【答案与解析】
解：（1）错，这是积的乘方，应为：．
（2）对．
（3）错，系数应为9，应为：．
【总结升华】（1）应用积的乘方时，特别注意观察底数含有几个因式，每个因式都分别乘方．
（2）注意系数及系数符号，对系数－1不可忽略．
【典型例题】
类型一、同底数幂的乘法性质
1、计算：
(1)；
(2) ．
【答案与解析】
解：（1）．
（2）．
【总结升华】（1）同底数幂相乘时，底数可以是多项式，也可以是单项式．
（2）在幂的运算中，经常用到以下变形：
．
类型二、幂的乘方法则
2、计算：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
【答案与解析】
解：（1）．
（2）．
（3）．
（4）．
【总结升华】（1）运用幂的乘方法则进行计算时要注意符号的计算及处理，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆．（2）幂的乘方的法则中的底数仍可以为单个数字、字母，也可以是单项式或多项式．
3、已知，，求的值．
【思路点拨】由于已知的值，所以逆用同底数幂的乘法和幂的乘方把变成，再代入计算.
【答案与解析】
解：因为, .
所以.
【总结升华】运用整体的观念看待数学问题，是一种重要的数学思维方法.把当成一个整体问题就会迎刃而解.同时看到灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.
举一反三：
【变式】已知，则＝ ．
【答案】－5；
提示：原式　
　　　　 ∵∴ 原式＝＝－5.
类型三、积的乘方法则
4、计算：
（1） （2）
【思路点拨】利用积的乘方的运算性质进行计算.
【答案与解析】
解：（1）．
（2）．
【总结升华】（1）应用积的乘方时，特别注意观察底数含有几个因式，每个因式都分别乘方．（2）注意系数及系数符号，对系数－1不可忽略．
举一反三：
【变式】下列等式正确的个数是( )．
① ② ③
④ ⑤
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】A；
提示：只有⑤正确；；；；
同底数幂的除法
【要点梳理】
要点一、同底数幂的除法法则
同底数幂相除，底数不变，指数相减，即（≠0，都是正整数，并且）
要点诠释：（1）同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算.
（2）被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0不能作除式.
（3）当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质.
（4）底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式.
要点二、零指数幂
任何不等于0的数的0次幂都等于1.即（≠0）
要点诠释：底数不能为0，无意义.任何一个常数都可以看作与字母0次方的积.因此常数项也叫0次单项式.
要点三、负整数指数幂
任何不等于零的数的（为正整数）次幂，等于这个数的次幂的倒数，即（≠0，是正整数）.
引进了零指数幂和负整数指数幂后，指数的范围已经扩大到了全体整数，以前所学的幂的运算性质仍然成立.
（、为整数，）；
（为整数，，）
（、为整数，）.
要点诠释：是的倒数，可以是不等于0的数，也可以是不等于0的代数式.例如（），（）.
要点四、科学记数法的一般形式
（1）把一个绝对值大于10的数表示成的形式，其中是正整数，
（2）利用10的负整数次幂表示一些绝对值较小的数，即的形式，其中是正整数，.
用以上两种形式表示数的方法，叫做科学记数法.
【典型例题】
类型一、同底数幂的除法
1、计算：
（1）；（2）；（3）；（4）．
【思路点拨】利用同底数幂相除的法则计算．(2)、(4)两小题要注意符号．
【答案与解析】
解：（1）．
（2）．
（3）．
（4）．
【总结升华】（1）运用法则进行计算的关键是看底数是否相同．（2）运算中单项式的系数包括它前面的符号．
2、计算下列各题：
（1） （2）
（3） （4）
【思路点拨】（1）若被除式、除式的底数互为相反数时，先将底数变为相同底数再计算，尽可能地去变偶次幂的底数，如．（2）注意指数为1的多项式．如的指数为1，而不是0．
【答案与解析】
解：（1）．
（2）
（3）．
（4）．
【总结升华】底数都是单项式或多项式，把底数作一个整体利用同底数幂的除法法则进行计算．
3、已知，，求的值．
【答案与解析】
解： ．
当，时，原式．
【总结升华】逆用同底数除法公式，设法把所求式转化成只含，的式子，再代入求值．本题是把除式写成了分数的形式，为了便于观察和计算，我们可以把它再写成除式的形式．
举一反三：
【变式】已知，求的值．
【答案】
解：由得，即，，
∵ 底数不等于0和1，
∴ ，即，．
类型二、负整数次幂的运算
4、计算：（1）；（2）．
【答案与解析】
解：（1）；
（2）．
【总结升华】要正确理解负整数指数幂的意义．
举一反三：
【变式】计算：．
【答案】
解：

5、 已知，，则的值＝________．
【答案与解析】
解： ∵ ，∴ ．
∵ ，，∴ ，．
∴ ．
【总结升华】先将变形为底数为3的幂，，，然后确定、的值，最后代值求．
举一反三：
【变式】计算：（1）；（2）；
【答案】
解：（1）原式．
（2）原式．
类型三、科学记数法
6、用科学记数法表示下列各数：
（1）0.00001；（2）0.000000203；（3）-0.000135；（4）0.00067
【答案与解析】
解：（1）0.00001＝；
（2）0.000000203＝；
（3）-0.000135＝；
（4）0.00067＝.
【总结升华】注意在中的取值是这个数从左边起第一个不是零的数前面零的个数（包括小数点前边的零）．
【巩固练习】
一.选择题
1. 的值是( )．
A. B. C. D.
2．的值是( )．
A. B. C. D.
3．下列计算正确的是( )．
A. B.
C. D.
4．下列各题中，计算结果写成10的幂的形式，其中正确的是( ).
A. 100×＝ B. 1000×＝
C. 100×＝ D. 100×1000＝
5．下列计算正确的是( )．
A. B.
C. D.
6．若成立，则( )．
A. ＝6，＝12 B. ＝3，＝12
C. ＝3，＝5 D. ＝6，＝5
二.填空题
7. 若，则＝____________．
8. 若，则＝_______．
9. 已知，那么______．
10．若，则＝______；若，则＝______．
11. ______； ______； ＝______．
12.若n 是正整数，且，则＝__________.
三.解答题
13. 判断下列计算的正误．
（1） ( ) （2） ( )
（3） （ ） （4） ( )
14.（1） ； （2）；
（3）； （4）；
（5）；
15.（1）若，求的值．
（2）若，求、的值．

【答案与解析】
一.选择题
1. 【答案】D；
【解析】.
2. 【答案】C；
【解析】.
3. 【答案】D；
【解析】；；.
4. 【答案】C；
【解析】100×＝；1000×＝；100×1000＝.
5. 【答案】D；
【解析】；；.
6. 【答案】C；
【解析】，解得＝3，＝5.
二.填空题
7. 【答案】30；
【解析】.
8. 【答案】6；
【解析】.
9. 【答案】25；
【解析】.
10.【答案】5；1；
【解析】；.
11.【答案】64；；；
12.【答案】200；
【解析】.
三.解答题
13.【解析】
解：（1）×；（2）×；（3）×；（4）×
14.【解析】
解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）.
15.【解析】
解：（1）∵
　　　　∴
　　　　∴4＋3＝35
　　　　∴＝8
　　（2）＝4，＝3
　　解：∵
　　　　∴
　　　　∴3＝9且3＋3＝15
　　　　∴＝3且＝4