顾庄学区三校学九级上第一次月考试卷含解析.doc

江苏省泰州市兴化市顾庄学区三校2016-2017学年九年级（上）第一次月考数学试卷(解析版)

一、选择题（本大题共6小题，每题3分，共18分）
1．下列关于x的一元二次方程有实数根的是（　　）
A．x2+1=0 B．x2+x+1=0 C．x2﹣x+1=0 D．x2﹣x﹣1=0
2．两名同学进行了10次三级蛙跳测试，经计算，他们的平均成绩相同，若要比较这两名同学的成绩哪一位更稳定，通常还需要比较他们成绩的（　　）
A．众数 B．中位数 C．方差 D．以上都不对
3．一个直角三角形斜边长为10cm，内切圆半径为1.5cm，则这个三角形周长是（　　）
A．22cm B．23cm C．24cm D．26cm
4．一个不透明的盒子中装有6个大小相同的乒乓球，其中4个是黄球，2个是白球．从该盒子中任意摸出一个球，摸到黄球的概率是（　　）
A． B． C． D．
5．有下列四个命题中，其中正确的有（　　）
①三角形的内心到三角形各边的距离都相等；
②经过三个点一定可以作圆；
③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；
④半径相等的两个半圆是等弧．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
6．在平面直角坐标系中，以点（3，﹣5）为圆心，r为半径的圆上有且仅有两点到x轴所在直线的距离等于1，则圆的半径r的取值范围是（　　）
A．r＞4 B．0＜r＜6 C．4≤r＜6 D．4＜r＜6

二、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分）
7．写出一个一根为零，并且二次项系数为1的一元二次方程　　．
8．一组数据3、﹣1、0、2、x的极差是5，则x=　　．
9．方程x2﹣2mx﹣1=0根的情况是　　．
10．某商店举办有奖销售活动，购物满100元者发兑奖劵一张，在1000张奖券中，设特等奖一个，一等奖10个，二等奖100个，若某人购物刚好满100元，那么他中奖一等奖的概率是　　．
11．如图，AB是⊙O直径，∠D=35°，则∠BOC=　　度．

12．如图是一个圆锥的正视图，则该圆锥的侧面积是　　．

13．已知圆O的半径为5，AB是圆O的直径，D是AB延长线上一点，DC是圆O的切线，C是切点，连接AC，若∠CAB=30°，则BD的长为　　．

14．一只不透明的袋子中装有1个白球，2个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，记录下颜色后放回到袋中并搅匀，再从中任意摸出1个球，两次都摸出红球的概率是　　．
15．在△ABC中，点I是内心，若∠A=80°，则∠DEF=　　度．

16．如图，某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心，AB为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得的扇形DAB的面积为　　．

三、解答题（共10小题，满分102分）
17．（12分）解方程：
①9（x﹣1）2=4
②3y2﹣6y+2=0 （配方法）．
18．（8分）八（1）班20名学生的第一次数据竞赛的成绩分布情况如表：
成绩（分）
50
60
70
80
90
人数（人）
1
4
x
y
2
（1）若成绩的平均分为73分，求x、y的值；
（2）在（1）的条件下，设此班20名学生竞赛成绩的众数为a，中位数为b，求a﹣b的值．
19．（8分）某社区准备在甲乙两位射箭爱好者中选出一人参加集训，两人各射了5箭，他们的总成绩（单位：环）相同．

第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
甲成绩
9
4
7
4
6
乙成绩
7
5
7
a
7
（1）a=　　， =　　；
（2）①分别计算甲、乙成绩的方差．
②请你从平均数和方差的角度分析，谁将被选中．
20．（8分）在直径为650mm的圆柱形油罐内装进一些油后，其横截面如图，若油面宽AB=600mm，求油的最大深度．

21．（10分）已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）=0
（1）求证：不论k取什么实数值，这个方程总有实数根；
（2）若等腰三角形ABC的底边长为a=3，两腰的长b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
22．（10分）如图所示，可以自由转动的转盘被3等分，指针落在每个扇形内的机会均等．
（1）现随机转动转盘一次，停止后，指针指向1的概率为　　；
（2）小明和小华利用这个转盘做游戏，若采用下列游戏规则，你认为对双方公平吗？请用列表或画树状图的方法说明理由．

23．（10分）春秋旅行社为吸引市民组团去上海参观世博会，推出了如下收费标准：如果人数不超过25人，人均旅游费用为1000元；如果人数超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低20元，但人均旅游费用不得低于700元．某单位组织员工去上海参观世博会，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元，请问该单位这次共有多少员工去上海参观世博会？
24．（10分）如图，已知PC平分∠MPN，点O是PC上任意一点，PM与⊙O相切于点E，交PC于A、B两点．
（1）求证：PN与⊙O相切；
（2）如果∠MPC=30°，PE=2，求劣弧的长．

25．（12分）如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F．
（1）若∠E=∠F时，求证：∠ADC=∠ABC；
（2）若∠E=∠F=42°时，求∠A的度数；
（3）若∠E=α，∠F=β，且α≠β．请你用含有α、β的代数式表示∠A的大小．

26．（14分）如图，⊙O的直径AB=4，C为圆周上一点，AC=2，过点C作⊙O的切线DC，P点为优弧上一动点（不与A、C重合）．
（1）求∠APC与∠ACD的度数；
（2）当点P移动到CB弧的中点时，求证：四边形OBPC是菱形．
（3）P点移动到什么位置时，△APC与△ABC全等，请说明理由．

2016-2017学年江苏省泰州市兴化市顾庄学区三校九年级（上）第一次月考数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共6小题，每题3分，共18分）
1．下列关于x的一元二次方程有实数根的是（　　）
A．x2+1=0 B．x2+x+1=0 C．x2﹣x+1=0 D．x2﹣x﹣1=0
【考点】根的判别式．
【分析】计算出各项中方程根的判别式的值，找出根的判别式的值大于等于0的方程即可．
【解答】解：A、这里a=1，b=0，c=1，
∵△=b2﹣4ac=﹣4＜0，
∴方程没有实数根，本选项不合题意；
B、这里a=1，b=1，c=1，
∵△=b2﹣4ac=1﹣4=﹣3＜0，
∴方程没有实数根，本选项不合题意；
C、这里a=1，b=﹣1，c=1，
∵△=b2﹣4ac=1﹣4=﹣3＜0，
∴方程没有实数根，本选项不合题意；
D、这里a=1，b=﹣1，c=﹣1，
∵△=b2﹣4ac=1+4=5＞0，
∴方程有两个不相等实数根，本选项符合题意；
故选D
【点评】此题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式的意义是解本题的关键．

2．两名同学进行了10次三级蛙跳测试，经计算，他们的平均成绩相同，若要比较这两名同学的成绩哪一位更稳定，通常还需要比较他们成绩的（　　）
A．众数 B．中位数 C．方差 D．以上都不对
【考点】统计量的选择．
【分析】根据方差的意义：是反映一组数据波动大小，稳定程度的量；方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，反之也成立．故要判断哪一名学生的成绩比较稳定，通常需要比较这两名学生三级蛙跳测试成绩的方差．
【解答】解：由于方差能反映数据的稳定性，需要比较这两名学生三级蛙跳成绩的方差．
故选：C．
【点评】本题考查方差的意义以及对其他统计量的意义的理解．它是反映一组数据波动大小，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，反之也成立．

3．一个直角三角形斜边长为10cm，内切圆半径为1.5cm，则这个三角形周长是（　　）
A．22cm B．23cm C．24cm D．26cm
【考点】三角形的内切圆与内心．
【分析】先画图，设AD=x，则BD=10﹣x，由切线长定理得AD=AF=x，BD=BE=10﹣x，可证明四边形OECF为正方形，则CE=CF=1.5，再由三角形的周长公式求出这个三角形周长．
【解答】解：如图，
设AD=x，则BD=10﹣x，
∵⊙O是△ABC内切圆，
∴AD=AF=x，BD=BE=10﹣x，
∵∠C=∠OFC=∠OEC=90°，OE=OF，
∴四边形OECF为正方形，
∴CE=CF=1.5，
∴这个三角形周长2x+2（10﹣x）+3=23．
故选B．

【点评】本题考查了三角形的内切圆和内心，以及切线长定理，是基础知识比较简单．

4．一个不透明的盒子中装有6个大小相同的乒乓球，其中4个是黄球，2个是白球．从该盒子中任意摸出一个球，摸到黄球的概率是（　　）
A． B． C． D．
【考点】概率公式．
【分析】利用黄球的个数除以球的总个数即可得到答案．
【解答】解：∵盒子中装有6个大小相同的乒乓球，其中4个是黄球，
∴摸到黄球的概率是=，
故选：C．
【点评】此题主要考查了概率公式的应用，关键是掌握概率公式：所求情况数与总情况数之比．

5．有下列四个命题中，其中正确的有（　　）
①三角形的内心到三角形各边的距离都相等；
②经过三个点一定可以作圆；
③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；
④半径相等的两个半圆是等弧．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【考点】命题与定理．
【分析】利用弧的定义，构成圆的条件，外心性质以及内心性质判断即可．
【解答】解：①三角形的内心到三角形各顶点的距离都相等，错误；
②经过三个点一定可以作圆，错误；
③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等，正确；
④半径相等的两个半圆是等弧，正确；
故选C．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解确定圆的条件、内心和外心的性质等知识，难度不大．

6．在平面直角坐标系中，以点（3，﹣5）为圆心，r为半径的圆上有且仅有两点到x轴所在直线的距离等于1，则圆的半径r的取值范围是（　　）
A．r＞4 B．0＜r＜6 C．4≤r＜6 D．4＜r＜6
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】根据题意可知，本题其实是利用圆与直线y=1和直线y=﹣1之间的位置关系来求得半径r的取值范围，根据相离时半径小于圆心到直线的距离，相交时半径大于圆心到直线的距离即可求得r的范围．
【解答】解：根据题意可知到x轴所在直线的距离等于1的点的集合分别是直线y=1和直线y=﹣1，
若以点（3，﹣5）为圆心，r为半径的圆上有且仅有两点到x轴所在直线的距离等于1，
那么该圆与直线y=﹣1必须是相离的关系，与直线y=1必须是相交的关系，
所以r的取值范围是|﹣5|﹣|﹣1|＜r＜|﹣5|+1，
即4＜r＜6．
故选D．
【点评】解决本题要认真分析题意，理清其中的数量关系．看似求半径与x轴之间的关系，其实是利用圆与直线y=1和直线y=﹣1之间的位置关系来求得半径r的取值范围．

二、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分）
7．写出一个一根为零，并且二次项系数为1的一元二次方程　x2﹣4x=0　．
【考点】一元二次方程的解．
【分析】由题意可知：a=1，x1=0；只要再假设出另一根的值即可求出方程．
【解答】解：设x2=4，
由一元二次方程的基本形式：ax2+bx+c=0，
将a=1，x1=0，x2=4，代入上式得：
，
解得b=﹣4；
所以，方程是x2﹣4x=0；
本题答案不唯一．
【点评】本题是根据方程的两根的定义，利用待定系数法求解方程式．

8．一组数据3、﹣1、0、2、x的极差是5，则x=　﹣2或4　．
【考点】极差．
【分析】根据极差的公式：极差=最大值﹣最小值．x可能是最大值，也可能是最小值，分两种情况讨论．
【解答】解：当x是最大值，则x﹣（﹣1）=5，
所以x=4；
当x是最小值，则3﹣x=5，
所以x=﹣2；
故答案为﹣2或4．
【点评】本题考查了极差的定义，极差反映了一组数据变化范围的大小，求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值．同时注意分类的思想的运用．

9．方程x2﹣2mx﹣1=0根的情况是　两个不相等的实数根　．
【考点】根的判别式．
【分析】先计算△=（﹣2m）2﹣4×1×（﹣1）=4m2+4，由于m2为非负数，则4m2+4＞0，即△＞0，根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac的意义即可判断方程根的情况．
【解答】解：∵△=（﹣2m）2﹣4×（﹣1）=4m2+4＞0，
∴两个不相等的实数根，
故答案为：两个不相等的实数根．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2﹣4ac．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．

10．某商店举办有奖销售活动，购物满100元者发兑奖劵一张，在1000张奖券中，设特等奖一个，一等奖10个，二等奖100个，若某人购物刚好满100元，那么他中奖一等奖的概率是　　．
【考点】概率公式．
【分析】根据在1000张奖券中，设特等奖一个，一等奖10个，二等奖100个，可以求得他中奖一等奖的概率，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，
他中奖一等奖的概率是：，
故答案为：．
【点评】本题考查概率公式，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．

11．如图，AB是⊙O直径，∠D=35°，则∠BOC=　110°　度．

【考点】圆周角定理．
【分析】由AB是⊙O直径，∠D=35°，根据圆周角定理，即可求得∠AOC的度数，继而求得答案．
【解答】解：∵∠D=35°，
∴∠AOC=2∠D=70°，
∵AB是⊙O直径，
∴∠BOC=180°﹣∠AOC=110°．
故答案为：110°．
【点评】此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．

12．如图是一个圆锥的正视图，则该圆锥的侧面积是　π　．

【考点】由三视图判断几何体；圆锥的计算．
【分析】根据圆锥正视图的特点计算出圆锥的底面半径和母线即可求出圆锥的侧面积．
【解答】解：∵圆锥的底面半径r==，母线长l=2，
∴圆锥的侧面积为=πrl=π．
故答案为：π．

【点评】本题主要考查三视图的应用以及圆锥的侧面积公式，要求根据条件计算出圆锥的母线和底面半径即可．要求熟练掌握圆锥的侧面积公式．

13．已知圆O的半径为5，AB是圆O的直径，D是AB延长线上一点，DC是圆O的切线，C是切点，连接AC，若∠CAB=30°，则BD的长为　5　．

【考点】切线的性质；含30度角的直角三角形；圆周角定理．
【分析】先利用“同弧所对的圆周角是圆心角的一半”得出∠COD=2∠A=60°再解直角三角形可得CD长，最后用切割线定理可得BD长．
【解答】解：连接OC，BC，
∵AB是圆O的直径，DC是圆O的切线，C是切点，
∴∠ACB=∠OCD=90°，
∵∠CAB=30°，
∴∠COD=2∠A=60°，CD=OC•tan∠COD=5，
由切割线定理得，CD2=BD•AD=BD（BD+AB），
∴BD=5．
故答案为：5．

【点评】本题利用了直径对的圆周角是直角，切线的性质，切割线定理等．

14．一只不透明的袋子中装有1个白球，2个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，记录下颜色后放回到袋中并搅匀，再从中任意摸出1个球，两次都摸出红球的概率是　　．
【考点】列表法与树状图法．
【分析】先利用画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出两次都摸出红球的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图为：

共有9种等可能的结果数，其中两次都摸出红球的结果数为4，
所以任意摸出1个球，两次都摸出红球的概率=．
故答案为．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果数n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算出事件A或B的概率．

15．在△ABC中，点I是内心，若∠A=80°，则∠DEF=　50　度．

【考点】三角形的内切圆与内心．
【分析】连接IF，ID，由点I是内心，得到∠ADI=∠AFI=90°，根据四边形的内角和得到∠DIF=100°，由圆周角定理即可得到结论．
【解答】解：连接IF，ID，
∵点I是内心，
∴∠ADI=∠AFI=90°，
∵∠A=80°，
∴∠DIF=100°，
∴∠DEF=50°，
故答案为：50．

【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，圆周角定理，四边形内角和定理的应用，掌握的作出辅助线是解题的关键．

16．如图，某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心，AB为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得的扇形DAB的面积为　9　．

【考点】扇形面积的计算．
【分析】由正方形的边长为3，可得弧BD的弧长为6，然后利用扇形的面积公式：S扇形DAB=lr，计算即可．
【解答】解：∵正方形的边长为3，
∴弧BD的弧长=6，
∴S扇形DAB=lr=×6×3=9．
故答案为：9．
【点评】此题考查了扇形的面积公式，解题的关键是：熟记扇形的面积公式S扇形DAB=lr．

三、解答题（共10小题，满分102分）
17．（12分）（2016秋•兴化市校级月考）解方程：
①9（x﹣1）2=4
②3y2﹣6y+2=0 （配方法）．
【考点】解一元二次方程-配方法；解一元二次方程-直接开平方法．
【分析】（1）根据直接开平方法，可得方程的解；
（2）根据配方法，可得方程的解．
【解答】解：（1）两边都除以9，得
（x﹣1）2=，
开方，得
x﹣1=，
x1=，x2=；
（2）移项，得
3y2﹣6y=﹣2，二次项系数化为1，得
y2﹣2y=﹣，
配方，得
y2﹣2y+1=，
即（y﹣1）2=，
开方，得
y﹣1=，
y1=，y2=．
【点评】本题考查了解一元二次方程，利用配方法解题的关键是配方，配方法的步骤是移项，二次项系数化为1，配方，开方．

18．八（1）班20名学生的第一次数据竞赛的成绩分布情况如表：
成绩（分）
50
60
70
80
90
人数（人）
1
4
x
y
2
（1）若成绩的平均分为73分，求x、y的值；
（2）在（1）的条件下，设此班20名学生竞赛成绩的众数为a，中位数为b，求a﹣b的值．
【考点】众数；中位数．
【分析】（1）根据题意可以得到关于x、y的二元一次方程组，解方程组即可求得x、y的值；
（2）众数是一组数据中出现次数最多的数；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．再代入计算可求a﹣b的值．
【解答】解：（1）由题意，得：
，
解得；

（2）由（1）可知：a=80，b=75，
则a﹣b=80﹣75=5．
【点评】本题为统计题，考查平均数、众数与中位数的意义．会解二元一次方程组．

19．某社区准备在甲乙两位射箭爱好者中选出一人参加集训，两人各射了5箭，他们的总成绩（单位：环）相同．

第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
甲成绩
9
4
7
4
6
乙成绩
7
5
7
a
7
（1）a=　4　， =　6　；
（2）①分别计算甲、乙成绩的方差．
②请你从平均数和方差的角度分析，谁将被选中．
【考点】方差；算术平均数．
【分析】（1）根据他们的总成绩相同，得出a=30﹣7﹣7﹣5﹣7=4，进而得出═30÷5=6．
（2）①观察图，即可得出计算甲、乙成绩的方差；
②因为两人成绩的平均水平（平均数）相同，根据方差得出乙的成绩比甲稳定，所以乙将被选中．
【解答】解：（1）由题意得：甲的总成绩是：9+4+7+4+6=30，
则a=30﹣7﹣7﹣5﹣7=4，
═30÷5=6；
（2）甲的方差为： [（9﹣6）2+（4﹣6）2+（7﹣6）2+（4﹣6）2+（6﹣6）2]=3.6．
乙的方差为： [（7﹣6）2+（5﹣6）2+（7﹣6）2+（4﹣6）2+（7﹣6）2]=1.6．
②因为两人成绩的平均水平（平均数）相同，根据方差得出乙的成绩比甲稳定，所以乙将被选中；
故答案为：（1）4，6
【点评】此题主要考查了方差的定义以及折线图和平均数的意义，根据已知得出a的值进而利用方差的意义比较稳定性即可．

20．在直径为650mm的圆柱形油罐内装进一些油后，其横截面如图，若油面宽AB=600mm，求油的最大深度．

【考点】垂径定理的应用；勾股定理．
【分析】首先过点O作OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，连接OA，由垂径定理即可求得AC的长，然后由勾股定理，求得OC的长，继而求得油的最大深度．
【解答】解：过点O作OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，连接OA，
由垂径定理得：AC=AB=×600=300（mm），
在Rt△ACO中，AC2+OC2=AO2，
∴3002+OC2=3252，
解得：OC=125mm，
∴CD=OD﹣OC=325﹣125=200（mm）．
答：油的最大深度是200mm．

【点评】此题考查了垂径定理与勾股定理的应用．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．

21．（10分）（2016秋•兴化市校级月考）已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）=0
（1）求证：不论k取什么实数值，这个方程总有实数根；
（2）若等腰三角形ABC的底边长为a=3，两腰的长b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
【考点】根的判别式；三角形三边关系；等腰三角形的性质．
【分析】（1）根据方程各项的系数利用根的判别式即可得出△=（2k﹣3）2≥0，此题得证；
（2）根据等腰三角形的性质即可得出k的值，将其代入方程求出b、c的值，再根据三角形的周长公式即可得出结论．
【解答】（1）证明：在方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）=0中，
△=[﹣（2k+1）]2﹣4×1×4（k﹣）=（2k﹣3）2≥0，
∴不论k取什么实数值，这个方程总有实数根；
（2）解：∵三角形为等腰三角形，
∴△=（2k﹣3）2=0，
∴k=．
将k=代入原方程中，得：x2﹣4x+4=0，
解得：b=c=2，
∴C△ABC=A+B+C=7．
【点评】本题考查了根的判别式以及等腰三角形的性质，根据方程根的判别式的符号确定方程解得情况是解题的关键．

22．（10分）（2014•盐城）如图所示，可以自由转动的转盘被3等分，指针落在每个扇形内的机会均等．
（1）现随机转动转盘一次，停止后，指针指向1的概率为　　；
（2）小明和小华利用这个转盘做游戏，若采用下列游戏规则，你认为对双方公平吗？请用列表或画树状图的方法说明理由．

【考点】游戏公平性；列表法与树状图法．
【分析】（1）三个等可能的情况中出现1的情况有一种，求出概率即可；
（2）列表得出所有等可能的情况数，求出两人获胜的概率，比较即可得到结果．
【解答】解：（1）根据题意得：随机转动转盘一次，停止后，指针指向1的概率为；
故答案为：；

（2）列表得：

1
2
3
1
（1，1）
（2，1）
（3，1）
2
（1，2）
（2，2）
（3，2）
3
（1，3）
（2，3）
（3，3）
所有等可能的情况有9种，其中两数之积为偶数的情况有5种，之积为奇数的情况有4种，
∴P（小明获胜）=，P（小华获胜）=，
∵＞，
∴该游戏不公平．
【点评】此题考查了游戏公平性，以及列表法与树状图法，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．

23．（10分）（2008•深圳模拟）春秋旅行社为吸引市民组团去上海参观世博会，推出了如下收费标准：如果人数不超过25人，人均旅游费用为1000元；如果人数超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低20元，但人均旅游费用不得低于700元．某单位组织员工去上海参观世博会，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元，请问该单位这次共有多少员工去上海参观世博会？
【考点】一元二次方程的应用．
【分析】设该单位这次共有x名员工去上海参观世博会，根据每增加1人，人均旅游费用降低20元，且共支付给春秋旅行社旅游费用27000元，可列出方程求解，根据人均旅游费用不得低于700元，判断解是否合理．
【解答】解：∵1000×25=25000＜27000
∴去的人一定超过25人
设该单位这次共有x名员工去上海参观世博会，
[1000﹣20（x﹣25）]×x=27000，
解之得：x1=30，x2=45，
当x=30时，人均费用为900元．
当x=45时，人均费用为600元，因为低于700元，这种情况舍去．
所以x=30．
答：该单位这次共有30名员工去上海参观世博会．
【点评】本题考查理解题意的能力，关键以支付给旅行社的费用作为等量关系列方程求解．

24．（10分）（2015•黔东南州）如图，已知PC平分∠MPN，点O是PC上任意一点，PM与⊙O相切于点E，交PC于A、B两点．
（1）求证：PN与⊙O相切；
（2）如果∠MPC=30°，PE=2，求劣弧的长．

【考点】切线的判定与性质；弧长的计算．
【分析】（1）连接OE，过O作OF⊥PN，如图所示，利用AAS得到三角形PEO与三角形PFO全等，利用全等三角形对应边相等得到=OE，即可确定出PN与圆O相切；
（2）在直角三角形POE中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半求出OE的长，∠EOB度数，利用弧长公式即可求出劣弧的长．
【解答】（1）证明：连接OE，过O作OF⊥PN，如图所示，
∵PM与圆O相切，
∴OE⊥PM，
∴∠OEP=∠OFP=90°，
∵PC平分∠MPN，
∴∠EPO=∠FPO，
在△PEO和△PFO中，
，
∴△PEO≌△PFO（AAS），
∴OF=OE，
则PN与圆O相切；
（2）在Rt△EPO中，∠MPC=30°，PE=2，
∴∠EOP=60°，OE=2，
∴∠EOB=120°，
则的长l==．

【点评】此题考查了切线的判定与性质，弧长公式，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．

25．（12分）（2015•佛山）如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F．
（1）若∠E=∠F时，求证：∠ADC=∠ABC；
（2）若∠E=∠F=42°时，求∠A的度数；
（3）若∠E=α，∠F=β，且α≠β．请你用含有α、β的代数式表示∠A的大小．

【考点】圆内接四边形的性质；圆周角定理．
【分析】（1）根据外角的性质即可得到结论；
（2）根据圆内接四边形的性质和等量代换即可求得结果；
（3）连结EF，如图，根据圆内接四边形的性质得∠ECD=∠A，再根据三角形外角性质得∠ECD=∠1+∠2，则∠A=∠1+∠2，然后根据三角形内角和定理有∠A+∠1+∠2+∠E+∠F=180°，即2∠A+α+β=180°，再解方程即可．
【解答】解：（1）∠E=∠F，
∵∠DCE=∠BCF，
∠ADC=∠E+∠DCE，∠ABC=∠F+∠BCF，
∴∠ADC=∠ABC；

（2）由（1）知∠ADC=∠ABC，
∵∠EDC=∠ABC，
∴∠EDC=∠ADC，
∴∠ADC=90°，
∴∠A=90°﹣42°=48°；

（3）连结EF，如图，
∵四边形ABCD为圆的内接四边形，
∴∠ECD=∠A，
∵∠ECD=∠1+∠2，
∴∠A=∠1+∠2，
∵∠A+∠1+∠2+∠E+∠F=180°，
∴2∠A+α+β=180°，
∴∠A=90°﹣．

【点评】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补；圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．

26．（14分）（2012•张家界）如图，⊙O的直径AB=4，C为圆周上一点，AC=2，过点C作⊙O的切线DC，P点为优弧上一动点（不与A、C重合）．
（1）求∠APC与∠ACD的度数；
（2）当点P移动到CB弧的中点时，求证：四边形OBPC是菱形．
（3）P点移动到什么位置时，△APC与△ABC全等，请说明理由．

【考点】切线的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定．
【分析】（1）连接AC，由直径AB=4，得到半径OA=OC=2，又AC=2，得到AC=OC=OA，即三角形AOC为等边三角形，可得出三个内角都为60°，再由同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，得到∠APC为30°，由CD为圆O的切线，得到OC垂直于CD，可得出∠OCD为直角，用∠OCD﹣∠OCA可得出∠ACD的度数；
（2）由∠AOC为60°，AB为圆O的直径，得到∠BOC=120°，再由P为的中点，得到两条弧相等，根据等弧对等角，可得出∠COP=∠BOP=60°，进而得到三角形COP与三角形BOP都为等边三角形，可得出OC=OB=PC=PB，即四边形OBPC为菱形；
（3）P有两个位置使三角形APC与三角形ABC全等，其一：P与B重合时，显然两三角形全等；第二：当CP为圆O的直径时，此时两三角形全等，理由为：当CP与AB都为圆的直径时，根据直径所对的圆周角为直角可得出三角形ACP与三角形ABC为直角三角形，由AB=CP，AC为公共边，利用HL即可得到直角三角形ACP与直角三角形ABC全等．
【解答】解：（1）连接AC，如图所示：

∵AC=2，OA=OB=OC=AB=2，
∴AC=OA=OC，
∴△ACO为等边三角形，
∴∠AOC=∠ACO=∠OAC=60°，
∴∠APC=∠AOC=30°，
又DC与圆O相切于点C，
∴OC⊥DC，
∴∠DCO=90°，
∴∠ACD=∠DCO﹣∠ACO=90°﹣60°=30°；…（4分）
（2）连接PB，OP，
∵AB为直径，∠AOC=60°，
∴∠COB=120°，
当点P移动到CB的中点时，∠COP=∠POB=60°，
∴△COP和△BOP都为等边三角形，
∴OC=CP=OB=PB，
则四边形OBPC为菱形；…（8分）
（3）当点P与B重合时，△ABC与△APC重合，显然△ABC≌△APC；
当点P继续运动到CP经过圆心时，△ABC≌△CPA，理由为：
∵CP与AB都为圆O的直径，
∴∠CAP=∠ACB=90°，
在Rt△ABC与Rt△CPA中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△CPA（HL）．
综上所述当点P与点B重合或CP经过圆心时，△APC与△ABC全等
【点评】此题考查切线的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定，等边三角形的判定与性质，以及弧、圆心角及弦之间的关系，熟练掌握性质与判定是解本题的关键．