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平面向量解答题精选
1. 设x , y ∈R，、为直角坐标系内x、y轴正方向上的单位向量，若=x+（y+2），=x+(y－2) 且2+2=16.
（1）求点M（x, y ）的轨迹C 的方程；
（2）过定点（0，3）作直线l与曲线C交于A、B两点，设，是否存在直线l使四边形OAPB为正方形？若存在，求出l的方程，若不存在说明理由.
解：（1）由2+2=16得x2+y2=4…………………………4分
（2）假设直线l存在，显然l的斜率存在
设A（x1,y1） B(x2, y2)
由………………6分

∴若OAPB为正方形 只有即x1x2+y1y2=0
y1y2=(kx1+3)(kx2+3)=k2x1x2+3k(x1+x2)+9……………………8分
……10分

∴存在l且l的方程为y=x+3…………………………12分

2. （1）已知||=4，||=3，（2－3）·（2+）=61，求与的夹角θ；
（2）设=（2，5），=（3，1），=（6，3），在上是否存在点M，使
，若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由.
解：（1）∵（2－3）·（2+）=61，∴…（12分）
又||=4，||=3，∴·=－6.…………………………………………（4分）.
………………………………………………（5分）
∴θ=120°.………………………………………………………………（6分）
（2）设存在点M，且

…………………………（8分）

∴存在M（2，1）或满足题意.……………………（12分）

3. 设、是两个不共线的非零向量（）
（1）记那么当实数t为何值时，A、B、C三点共线？
（2）若，那么实数x为何值时的值最小？
解：（1）A、B、C三点共线知存在实数
即，…………………………………………………4分
则………………………………………………………………6分
（2）
……………………………9分
当…………………………………………12分
4. 设平面内的向量, , ，点P是直线OM上的一个动点，求当取最小值时，的坐标及ÐAPB的余弦值．
解 设．
∵ 点P在直线OM上，
∴ 与共线，而，
∴ x－2y=0即x=2y，有． ……………… 4分
∵ ，，
∴
= 5y2－20y+12
= 5(y－2)2－8． ……………… 8分
从而，当且仅当y=2，x=4时，取得最小值－8，此时，，．
于是，，，
∴ ．…………… 12分
5. 已知向量向量与向量夹角为，且.
（1）求向量；
（2）若向量与向量=（1，0）的夹角为，求|2+|的值.
解：（1）设，有 ① ………………2分
由夹角为，有.
∴②………………4分
由①②解得 ∴即或…………6分
（2）由垂直知…………7分
…………10分
∴…………12分
6. 已知定点
（Ⅰ）求动点P的轨迹方程。
（Ⅱ）当的最大值和最小值.
解：（I）设动点的坐标为P(x,y),则
（3分）

若k=1，则方程为x=1，表示过点（1，0）是平行于y轴的直线.（4分）
若k≠1，则方程化为：为半径的圆. （5分）
（II）当k=0时，方程化为x2+y2=1 .

7. 在平行四边形ABCD中，A（1，1），，点M是线段AB的中点，线段CM与BD交于点P.
（1）若，求点C的坐标； （2）当时，求点P的轨迹.
解：（1）设点C坐标为（……1分
又……3分
即……4分 即点C（0，6）…5分
（2）解一：设，则
……6分
……8分

ABCD为菱形……9分

……11分
故点P的轨迹是以（5，1）为圆心，2为半圆去掉与直线的两个交点……12分
解法二：
D的轨迹方程为……7分
M为AB中点 的比为
设……9分
的轨迹方程
整理得……11分
故点P的轨迹是以（5，1）为圆心，2为半径的圆去掉与直线的两个交点……12分
8. 已知向量=（2，2），向量与向量的夹角为，且·=－2，
（1）求向量；
（2）若，其中A、C是△ABC的内角，若三角形的三内角A、B、C依次成等差数列，试求|+|的取值范围.
解：（1）设=（x,y），则
∴解得
（2）. ∴
∴
=1+
∴ ∴
8.（天津卷第10题）设两个向量和，其中为实数．若，则的取值范围是（　　）
Ａ．[-6,1] Ｂ． Ｃ．[-1,1] Ｄ．[-1,6]
解答： 由题意知λ+2=2m， ①
, ②
由①得
由①②得
∴-6≤4m2-9m≤-2.
∴≤m≤2.
∴
答案为A.
【说明】 两个参数的比值转化为只含一个参数，再求其范围.

D
C
A
B
题（10）图
9.（重庆卷第10题）如题（10）图，在四边形中，
，
，
则的值为（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
解答： 由
得
∴
答案为C.
【说明】 向量积的简单运用.

10.（辽宁卷第3题）若向量a与b不共线，a·b≠0，且，则向量a与c的夹角为（ ）
A．0 B． C． D．
解答： .
则a与c的夹角为.
答案为D.
12.（福建卷第4题）对于向量和实数，下列命题中真命题是（ ）
A．若a·b=0，则或 B．若，则或
C．若，则或 D．若a·b=a·c，则
解答： 对于A，可举反例：当a⊥b时，ab=0，
对于C，a2=b2只能推得|a|=|b|，而不能推出a=±b.
对于D，ab= ac可以移项整理推得a⊥(b - c).
答案为B.