利用法向量解立体几何题.doc
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1、利用法向量解立体几何题一、运用法向量求空间角向量法求空间两条异面直线a, b所成角,只要在两条异面直线a, b上各任取一个向量,则角=或-,因为是锐角,所以cos=, 不需要用法向量。nA1、运用法向量求直线和平面所成角设平面的法向量为=(x, y, 1),则直线AB和平面所成的角的正弦值为sin= cos(-) = |cos| = 2、运用法向量求二面角设二面角的两个面的法向量为,则或-是所求角。这时要借助图形来判断所求角为锐角还是钝角,来决定是所求,还是-是所求角。二、运用法向量求空间距离1、求两条异面直线间的距离 设异面直线a、b的公共法向量为,在a、b上任取一点A、B,则异面直线a、b
2、的距离 d =ABcosBAA=略证:如图,EF为a、b的公垂线段,a为过F与a平行的直线,在a、b上任取一点A、B,过A作AAEF,交a于A,则,所以BAA=(或其补角)异面直线a、b的距离d =ABcosBAA= *其中,的坐标可利用a、b上的任一向量(或图中的),及的定义得 解方程组可得。2、求点到面的距离求A点到平面的距离,设平面的法向量法为,在内任取一点B,则A点到平面的距离为d =,的坐标由与平面内的两个不共线向量的垂直关系,得到方程组(类似于前面所述, 若方程组无解,则法向量与XOY平面平行,此时可改设,下同)。3、求直线到与直线平行的平面的距离求直线a到平面的距离,设平面的法向
3、量法为,在直线a上任取一点A,在平面内任取一点B,则直线a到平面的距离d = 4、求两平行平面的距离设两个平行设平面、的公共法向量法为,在平面、内各任取一点A、B,则平面到平面的距离d = 三、证明线面、面面的平行、垂直关系设平面外的直线a和平面、,两个面、的法向量为,则 四、应用举例:例1:(04年高考广东18)如右下图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,已知AB= 4, AD =3, AA1= 2. E、F分别是线段AB、BC上的点,且EB= FB=1.(1) 求二面角CDEC1的正切值;(2) 求直线EC1与FD1所成的余弦值. 解:(I)以A为原点,分别为x轴,y轴,z轴的正向建立空
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