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利用法向量解立体几何题
一、运用法向量求空间角
向量法求空间两条异面直线a, b所成角θ，只要在两条异面直线a, b上各任取一个向量，则角<>=θ或π-θ，因为θ是锐角，所以cosθ=, 不需要用法向量。
α
n
A

1、运用法向量求直线和平面所成角
设平面α的法向量为=（x, y, 1)，则直线AB和平面α所成的角θ的正弦值为
sinθ= cos(-θ) = |cos<, >| =

2、运用法向量求二面角
设二面角的两个面的法向量为，则<>或π-<>是所求角。这时要借助图形来判断所求角为锐角还是钝角，来决定<>是所求，还是π-<>是所求角。
二、运用法向量求空间距离
1、求两条异面直线间的距离
设异面直线a、b的公共法向量为，在a、b上任取一点A、B，则异面直线a、b的距离 d =AB·cos∠BAA＇=
略证：如图，EF为a、b的公垂线段，a＇为过F与a平行的直线，
在a、b上任取一点A、B，过A作AA＇EF，交a＇于A＇，
则，所以∠BAA＇=<>（或其补角）
∴异面直线a、b的距离d =AB·cos∠BAA＇= *
其中，的坐标可利用a、b上的任一向量（或图中的），及的定义得
① 解方程组可得。
2、求点到面的距离
求A点到平面α的距离，设平面α的法向量法为，在α内任取一点B，则A点到平面α的距离为d =，的坐标由与平面α内的两个不共线向量的垂直关系，得到方程组（类似于前面所述, 若方程组无解，则法向量与XOY平面平行，此时可改设，下同）。
3、求直线到与直线平行的平面的距离
求直线a到平面α的距离，设平面α的法向量法为，在直线a上任取一点A，在平面α内任取一点B，则直线a到平面α的距离d =
4、求两平行平面的距离
设两个平行设平面α、β的公共法向量法为，在平面α、β内各任取一点A、B，则平面α到平面β的距离d =
三、证明线面、面面的平行、垂直关系
设平面外的直线a和平面α、β，两个面α、β的法向量为，则

四、应用举例：
例1：（04年高考广东18）如右下图,在长方体ABCD—A1B1C1D1中,已知AB= 4, AD =3, AA1= 2. E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB= FB=1.
(1) 求二面角C—DE—C1的正切值;
(2) 求直线EC1与FD1所成的余弦值.
解：（I）以A为原点，分别为x轴，y轴,z轴的正向建立空间直角坐标系，
则D(0,3,0)、D1(0,3,2)、E(3,0,0)、F(4,1,0)、C1(4,3,2)
于是，
设法向量与平面C1DE垂直，则有

（II）设EC1与FD1所成角为β，则

例2：（04年高考辽宁卷17）如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD是菱形，∠DAB=600，PD⊥平面ABCD，PD=AD，点E为AB中点，点F为PD中点。
（1）证明平面PED⊥平面PAB；
（2）求二面角P-AB-F的平面角的余弦值
证明：（1）∵面ABCD是菱形，∠DAB=600，
∴△ABD是等边三角形，又E是AB中点，连结BD
∴∠EDB=300，∠BDC=600，∴∠EDC=900，
如图建立坐标系D-ECP，设AD=AB=1，则PF=FD=，ED=，
∴P（0，0，1），E（，0，0），B（，，0） ∴=（，，-1），= （，0，-1），
平面PED的一个法向量为=（0，1，0） ，设平面PAB的法向量为=（x, y, 1)
由
∴=（, 0, 1)∵·=0 即⊥ ∴平面PED⊥平面PAB
（2）解：由（1）知：平面PAB的法向量为=（, 0, 1), 设平面FAB的法向量为
1=（x, y, -1)，
由（1）知：F（0，0，），=（，，-）， = （，0，-），
由 ∴1=（-, 0, -1)
∴二面角P-AB-F的平面角的余弦值cosθ= |cos<, 1>| =
例3：（04江苏高考18)在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是正方形A1B1C1D1的中心，点P在棱CC1上，且CC1=4CP.
(Ⅰ)求直线AP与平面BCC1B1所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；
(Ⅱ)设O点在平面D1AP上的射影是H，求证：D1H⊥AP；
(Ⅲ)求点P到平面ABD1的距离.
解: (Ⅰ)如图建立坐标系D-ACD1, ∵棱长为4 ∴A（4，0，0），B（4，4，0），P（0，4，1）
∴ = (-4, 4, 1) , 显然=（0，4，0）为平面BCC1B1的一个法向量，
∴直线AP与平面BCC1B1所成的角θ的正弦值sinθ= |cos<, >|=
∵θ为锐角，∴直线AP与平面BCC1B1所成的角θ为arcsin
(Ⅲ) 设平面ABD1的法向量为=（x, y, 1)，
∵=（0，4，0），=（-4，0，4）
由⊥，⊥ 得
∴ =（1, 0, 1)， ∴点P到平面ABD1的距离 d =
例4：在长、宽、高分别为2，2，3的长方体ABCD-A1B1C1D1中，O是底面中心，求A1O与B1C的距离。
解：如图，建立坐标系D-ACD1，则O（1，1，0），A1（2，2，3），C（0，2，0）
∴
设A1O与B1C的公共法向量为，则
∴ ∴ A1O与B1C的距离为 d =
例5：在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是B1C1、C1D1的中点，求A1到面BDFE的距离。解：如图，建立坐标系D-ACD1，则B（1，1，0），A1（1，0，1），E（，1，1） ∴ 设面BDFE的法向量为，则

∴
∴ A1到面BDFE的距离为d =