一阶动态电路分析.doc

第3章 电路的暂态分析
【教学提示】
暂态过程是电路的一种特殊过程，持续时间一般极为短暂，但在实际工作中却极为重要。本章介绍了电路暂态过程分析的有关概念和定律，重点分析了RC和RL一阶线性电路的暂态过程，由RC电路的暂态过程归纳出了一阶电路暂态分析的三要素法。最后讨论了RC的实际应用电路——积分和微分电路。
【教学要求】
Ø 了解一阶电路的暂态、稳态、激励、响应等的基本概念
Ø 理解电路的换路定律和时间常数的物理意义
Ø 了解用经典法分析RC电路、RL电路的方法
Ø 掌握一阶电路暂态分析的三要素法
Ø 了解微分电路和积分电路的构成及其必须具备的条件
3.1 暂态分析的基本概念
暂态分析的有关概念是分析暂态过程的基础，理解这些概念能更好地理解电路的暂态过程。
1.稳态
在前面几章的讨论中，电路中的电压或电流，都是某一稳定值或某一稳定的时间函数，这种状态称为电路的稳定状态，简称稳态（steady state）。
2.换路
当电路中的工作条件发生变化时，如电路在接通、断开、改接、元件参数等发生突变时，都会引起电路工作状态的改变，就有可能过渡到另一种稳定状态。把上述引起电路工作状态发生变化的情况称为电路的换路（switching circuit）。
3.暂态
换路后，电路由原来的稳定状态转变到另一个稳定状态。这种转换不是瞬间完成的，而是有一个过渡过程，电路在过渡过程中所处的状态称为暂态（transient state）。
4.激励
激励（excitation）又称输入，是指从电源输入的信号。激励按类型不同可以分为直流激励、阶跃信号激励、冲击信号激励以及正弦激励。
5.响应
电路在在内部储能或者外部激励的作用下，产生的电压和电流统称为响应。按照产生响应原因的不同，响应又可以分为：
（1）零输入响应（zero input response）：零输入响应就是电路在无外部激励时，只是由内部储能元件中初始储能而引起的响应。
（2）零状态响应（zero state response）：零状态响应就是电路换路时储能元件在初始储能为零的情况下，由外部激励所引起的响应。
（3）全响应（complete response）：在换路时储能元件初始储能不为零的情况下，再加上外部激励所引起的响应。
3.一阶电路
电路中只含有一个储能元件或等效为一个储能元件的线性电路，其KVL方程为一阶微分方程，这类电路称为一阶电路，它包括RC电路和RL电路。
尽管暂态过程时间短暂，但它是客观存在的物理现象，在实际应用中极为重要。一方面可以利用暂态过程有利的一面，如在电子技术中利用它来产生波形（锯齿波、三角波等）。另一方面，也要避免它有害的一面，如在暂态过程中可能会出现过电压或过电流，会损坏元器件和电气设备。因此研究暂态过程可以掌握它的规律，以便利用它有利的一面，避免不利的一面，意义重大。
3.2 换路定律
换路定律是电路暂态分析中的主要定律，它是求解电容的电压和电感的电流初始值的主要依据。
3.2.1 换路定律
电路的换路是产生暂态过程的外因，而要产生暂态过程，必须有储能元件—电感或电容。当换路时，含有储能元件的电路的稳定状态发生了变化，电感和电容中的储能也要发生变化，但能量不能突变。因为若能量突变，由可得功率为无穷大，而功率是有限的。因此，能量不能突变。而电感的磁场能为，电容中的电场能，能量不能突变，这就意味着电感中的电流和电容上的电压不能突变。所以换路前的终了值应等于换路后的初始值，这一规律称为电路的换路定律（switching law）。
若t=0_表示换路前终了瞬间，t=0+表示换路后初始瞬间，则换路定律可以用公式表示为：

3.2.2 初始值的确定
1.初始值的求解步骤
换路定律适用于换路瞬间，由它可以确定换路后uC或iL的初始值，再由这两个初始值来确定换路后电路的其他电压或电流的初始值。以下为求初始值的求解步骤：
（1）由的等效电路求出或。
（2）由换路定律确定或。
（3）由的等效电路，利用或求出换路瞬间电路中的其他电量的初始值。
2.等效电路的画法
在和时，等效电路的画法应根据以下几点：
（1）换路前电容或电感上没有储能：
①的等效电路中，所有电量的值为0，。
②的等效电路中，电容视为短路，电感视为开路。
这是因为时，由换路定律知=0，而此时电容中有电流，所以电容视为短路；=0，而此时电感两端有电压，所以电感视为开路。
（2）换路前电容或电感上有储能且已达稳态，
①的等效电路中，电容视为开路，其电压为；电感视为短路，其电流为；
这是因为电容与电感的伏安关系分别为，，换路前达稳态时，，。所以电容视为开路，其电压为；电感视为短路，其电流为。
②的等效电路中，电容视为一个恒压源，电压为；电感视为一个恒流源，电流为。
这是因为换路时电容的电压和电感的电流不能突变，所以电容视为一个恒压源，电压为；电感视为一个恒流源，电流为。
3.2.3 稳态值的确定
换路后的电路达到新的稳态后，电压和电流的数值称为稳态值，当时，电路又达新的稳态。
若时电感或电容无储能，则，，其它电量的稳态值也为零。
若时电感或电容有储能，因已达稳态，则，而，。所以在的等效电路中，电容视为开路，其电压为；电感视为短路，其电流为。再利用电容开路和电感短路求其它电量的稳态值。
【例3.1】电路如图3.2.1所示，已知E=12V，R1=4Ω，R2=2Ω，开关S断开前电路已达稳态。求S断开后，
（1）、、。
（2）、、。

图3.2.1

解：（1）求初始值
①画出时的等效电路如图3.2.2（a）所示。

（a） （b）
图3.2.2
由题意知：换路前电路已处于稳态，电容C视为开路，由等效电路得：
V
②由换路定律得：=4V
③画出时的等效电路如图3.2.2（b）所示，此时电容视为一个电压为4V的恒压源，则
A
V
（2）求稳态值
由题意知：达稳态时，电容没有储能，则
V
A
V
3.3 RC电路的暂态分析
本节将通过最简单的RC电路来分析其响应，也就是研究RC电路的充放电规律。
3.3.1 RC电路的零输入响应

（a） （b）
图3.3.1 RC电路的零输入响应
在图3.3.1所示（a）RC一阶电路中，换路前开关S合在“1”处，RC电路与直流电源连接，电源通过电阻R对电容器充电至U0，t=0时换路，即将开关S转换到“2”处，试分析换路后、的变化规律。
因为换路后的电路外部激励为零，内部储能元件电容换路前有初始储能，所以该电路的响应为零输入响应。分析RC电路的零输入响应也就是分析其放电规律。
换路后等效电路如图3.3.1（b），由KVL可得：

由于，将代入上式得微分方程：
或
这是一个一阶常系数线性齐次微分方程，它的通解为：

式中A和p是待定系数，A为常数，p为该微分方程特征方程的根。
将通解代入微分方程式得：

整理后得到如下的特征方程：

特征根为：

再来求常数A，可由初始条件确定，由题意知换路前电容电压

根据换路定律得：

令t=0将其代入微分方程的通解得：

将p和A的结果代入方程的通解得：
或
其随时间变化的曲线如图3.3.2（a）所示。由图可见，它的初始值为U，按指数规律衰减至零。

（a） （b）
图3.3.2 RC电路的响应曲线
由可求出的变化规律：

其随时间变化的曲线如图3.3.2 (b)所示。由图可见，它的初始值为U0，按指数规律衰减至零。
通过分析的变化规律可见，电路中各处的电压和电流均按指数规律变化。当上面的暂态过程结束时，电路处于稳定状态，这时电容端电压和电流的稳态值均为零。暂态过程进行的快慢，取决于电路参数R和C的乘积。
令，其中R的单位是欧姆（Ω），C的单位是法拉（F），的单位为秒（s）。因为它具有时间的量纲，所以称为电路的时间常数，它仅仅是由电路的结构和元件参数的大小决定，而与换路情况和外加电压无关。
当时，
当时，
可见时间常数等于电压衰减到初始值的33.8%所需要的时间，如图3.3.3所示。

图3.3.3
同样也可列出其它时刻的数值，见表3.3.1。
表3.3.1 与的关系
t
0

…

U0
0.368U0
0.135U0
0.05U0
0.018U0
0.0067U0
…
从理论上讲，电容电压从过渡到新的稳态（）需要的时间为无穷大，但由上表可以看出，一般经过～的时间就可以认为零输入响应衰减到零，暂态过程结束。
【例3.2】电路如图3.3.4所示，已知R1=6Ω，R2=3Ω，C=0.01F，IS=3A，S闭合前电路处于直流稳态，在t=0时S闭合，求t≥0时、、。

图3.3.4（a）
解：（1）在时的等效电路中，电容视为开路，如图（b）所示。

（b）
由图可得：（V）
由换路定律得：（V）
（2）换路后的电路如图（c）所示。

（c）
电路的时间常数为 s
则由RC电路的零输入响应的通解得：
V
则：
A
A
A
3.3.2 RC电路的零状态响应

图3.3.5
在图3.3.5所示RC一阶电路中，换路前开关S断开，电容无储能。t=0时换路，换路后S闭合，RC电路与直流电源连接，试分析换路后、的变化规律。
因为换路前电容无初始储能，即电路中储能元件的初始值为零，电路的响应是由电源激励所产生的，所以该电路的响应为零状态响应。分析RC电路的零状态响应也就是分析其充电规律。
换路后，电压源通过电阻R向电容C充电，电容上的电压将从初始值逐渐过渡到某一个稳态值。由图中所示参考方向，根据KVL得：

由于，将代入上式得微分方程：
或
这是一个一阶常系数线性非齐次微分方程，它通解得一般形式为：
通解=齐次微分方程通解+特解
其中齐次微分方程通解即为上面所讨论的，特解是非齐次微分方程的一个特殊解，可以取换路后的稳态值。由题意可以得出，换路后的稳态值为E，故非齐次微分方程的通解为：

其中p为该齐次微分方程的特征根。

积分常数A仍由初始值确定，将初始条件时，代入非齐次微分方程的通解，得：

于是求得零状态响应为：

其中，E为时电容两端电压，零状态响应又可写为

则

它们的变化曲线如图3.3.6（a）、（b）所示。

（a） （b）
图3.3.6 RC电路的零状态响应曲线
【例3.3】在图3.3.5中，已知R=2Ω，C=4μF，E=10V，当t=0时，开关S闭合，换路前电容初始储能为零，试求开关闭合后、的变化规律。
解：换路前C无初始储能，故

换路后根据KVL得：

即

求得：

3.3.3 RC电路的全响应
在图3.3.7所示RC一阶电路中，换路前开关S合在“1”处，RC电路与直流电源E1连接，而且电路已稳定，t=0时换路，即将开关S转换到“2”处，RC电路与直流电源E2连接，设电容的电压和电流方向为关联参考方向，试分析换路后、的变化规律。

图3.3.7
由于换路前电路已稳定，电容已有储能。换路后电路由电压源E2激励，所以该电路的响应为全响应。
在t≥0时，由KVL得：

由于，将代入上式得微分方程：
或
求解的步骤和零状态响应是一样的，但电路的初始条件不同，会影响常数A的数值。该微分方程的通解为：

将初始条件时，代入微分方程的通解，得：

于是求得全响应为：

整理得：

分析式可知，式中第一项是电路的零输入响应，第二项是零状态响应。因此，电路的全状态响应可分解为零输入响应和零状态响应两部分之和。
全响应=零输入响应+零状态响应
由可以求出的响应。

它们的变化曲线如图3.3.8所示。

（a） （b）
图3.3.8 RC电路的全响应
3.4 RL电路的暂态分析
本节将通过最简单的RL电路来分析其响应，也就是研究RL电路的充放电规律。
3.4.1 RL电路的零输入响应
在图3.4.1所示（a）RL一阶电路中，t=0时换路，将开关S闭合，试分析换路后、的变化规律。

图3.4.1 RL电路的零输入响应
因为换路后的电路外部激励为零，内部储能元件电感换路前有初始储能，所以该电路的响应为零输入响应。分析RL电路的零输入响应也就是分析其放电规律。
设电感的电压和电流关联参考，换路后，由KVL可得：

由于，将代入上式得微分方程：
或
此方程与电容放电的微分方程形式相同，参照其解法可求得结果，进而求得。

其中，为t→∞时通过电感的电流，零状态响应又可写为

则

式中

它也具有时间的量纲，是RL电路的时间常数。越大，和衰减的越慢。
它们随时间变化的曲线如图3.4.2所示。

(a) (b)
图3.4.2 RL电路的响应曲线
可见，电感电流与电容电压的衰减规律是一样的，都是按指数规律由初始值逐渐衰减而趋于零。而电感电压在换路瞬间会发生突变，由零突变到，然后再按指数规律逐渐衰减到零。过渡过程的快慢，取决于电路的时间常数。
RL串联电路实际上是线圈的电路模型，如电动机的绕组、仪表的线圈等。在使用的时候常会遇到线圈从电源断开的问题，如图3.4.3所示电路，S断开前电路已处于稳态。如果突然断开开关S，这时电感中电流的变化率很大，将使线圈两端产生很大的自感电动势。由于开关两触头间的间隙很小，高电动势能使开关触点被击穿而产生电弧或火花，触头被烧坏。
为防止开断线圈电路时所产生的高压，常在电感线圈两端并联一个二极管。开关S断开前，二极管反向截止；开关S断开时，二极管导通，电感线圈中的电流通过二极管按指数规律放电，这样就避免了产生高压。

图3.4.3
3.4.2 RL电路的零状态响应
在图3.4.4所示RL一阶电路中，换路前电感无储能。t=0时换路，S闭合，RL电路与直流电源连接，试分析换路后、的变化规律。

图3.4.4 RL电路的零状态响应
因为换路前电感无初始储能，即电路中储能元件的初始值为零，电路的响应是由电源激励所产生的，所以该电路的响应为零状态响应。分析RL电路的零状态响应也就是分析其充电规律。
设电感的电压和电流方向关联参考，换路后，由KVL可得：

由于，将代入上式得微分方程：
或
此方程与电容充电的微分方程形式相同，参照电容充电的解法可求得结果，进而求得。

其中，为时通过电感的电流，因此零状态响应又可写为

则

它们随时间变化的曲线如图3.4.5所示。

（a） （b）
图3.4.5 RL电路的零状态响应曲线
可见，电感电流与电容电压的增长规律是一样的，都是按指数规律由初始值增加到稳定值的。电感电压在换路瞬间会发生突变，由零突变到E，然后再按指数规律逐渐衰减到零。过渡过程的快慢，也取决于电路的时间常数。
3.4.3 RL电路的全响应
在图3.4.6所示RL一阶电路中，换路前开关S合在a处，RL电路与直流电压源E1连接，而且电路已稳定，t=0时换路，即将开关S转换到“b”处，RL电路与直流电压源E2连接，试分析换路后、的变化规律。

图3.4.6 RL电路的全响应
由于换路前电路已稳定，电感已有储能。换路后电路由电流源IS2激励，所以该电路的响应为全响应。与求RC电路的全响应类似，RL电路的全响应也等于零输入响应于零状态响应的叠加。由RL电路的零输入响应和零状态响应求得全响应为：

它们的变化曲线如图图3.4.7所示。

（a） （b）
图3.4.7
3.5 一阶线性电路暂态分析的三要素法
上述RC和RL电路中，应用KVL列写待求量的微分方程式进行求解的方法，称为经典法。对于一个简单的一阶电路，可以应用经典的方法来求解，但对于结构复杂的一阶电路如果用经典法则显得比较麻烦，下面我们介绍一阶线性电路暂态分析常用的方法——三要素法。
总结RC、RL电路微分方程的求解过程，可以得出一阶电路暂态过程电压和电流解的形式是相同的，它们都由两部分组成。

其中，和为非齐次微分方程的特解，它可以在电路处于稳定状态时求出，称为稳态分量。和是对应齐次微分方程的通解，它具有确定的函数形式称为，随着暂态过程的结束它将趋于零，称为暂态分量。
如果将待求的电压或电流用表示，其初始值和稳态值分别为和，则其响应表示为：

在时有

得：

因此

式中、和称为一阶电路的三要素，求解时只要求出三个要素，就能直接求出电路的响应。
【例3.5.1】在图3.5.1所示电路中，已知E=10V，R1=R2=5kΩ，C=1nF，开关S闭合前电容无储能。求开关S闭合后的电容电压和电流。

图3.5.1
解：本题是求零状态响应，用三要素法求电容电压和电流的变化规律。
（1）先求、
由题意开关S闭合前电容无储能得：

由换路定律得：

在时，电容视为短路
mA
（2）再求、
时，电容视为开路，则：
V
A
（3）然后求时间常数
S
（4）求、
把上面的结果代入三要素公式

得：
V
mA
它们的变化曲线如图3.5.1所示。

(a) (b)
图3.5.1
3.6 微分电路与积分电路
在RC电路中，电路的时间常数决定了暂态过程进行的快慢，如果对RC电路选择适当的时间常数和输出端，便会得到输出电压和输入电压之间微分和积分的关系，本节所介绍的就是由RC电路构成的微分电路与积分电路。
3.3.1 微分电路
如图3.3.1所示RC电路中，输入电压为一个矩形脉冲电压，脉冲幅度为U，脉冲宽度为tp。输出电压取自R两端，且满足p，设电容初始储能为零，试分析输出电压和输入电压之间的关系。

(a) 矩形脉冲 (b)电路图
图3.3.1 微分电路
为便于分析，我们分别取几个特殊时刻，、、。
时，输入矩形脉冲由零突变为U，由于电容初始储能为零，故，则。
时，由于，所以电容迅速充电，电容电压按指数规律很快充电到U，相应地输出端电压即由初始值衰减到0，形成一个幅度为U的正尖脉冲输出。
时，矩形脉冲由U突变为零，输入端相当于短路。此时，电容电压不突变，输出端电压。
时，电容电压通过电阻R放电，按指数规律很快衰减到零，相应地输出端电压由也迅速地衰减到零，形成一个幅度为U的负尖脉冲输出。
时，输入矩形脉冲又由零突变为U。然后电容迅速充电、放电，重复上述过程。
因此，由上述分析可以在输出端得到一个正负两尖脉冲电压，如图3.3.2所示。而且随着的减小，幅值衰减的速度越快，尖脉冲的下降部分衰减的越快。

图3.3.2 微分电路的波形
下面来分析输出电压和输入电压之间的关系。
输出电压即电阻两端电压

从图中可以看出，当时间常数很小时，电容迅速充放电，

因此输出电压

上式表明，输出电压近似与输入电压之间为微分关系。
在脉冲电路中，常利用微分电路把矩形脉冲变换为尖脉冲，作为触发信号使用。
3.3.2 积分电路
在图3.3.1所示RC电路中，输入电压仍是一个脉冲幅度为U，脉冲宽度为tp的矩形脉冲电压，但输出电压从电容C两端引出，且满足p，设电容初始储能为零，试分析输出电压和输入电压之间的关系。

(a) 矩形脉冲 (b)电路图
图3.3.2 积分电路
时，输入矩形脉冲由零突变为U作用于RC电路中，由于，所以电容电压按指数规律缓慢充电到U1，U1远达不到脉冲电压U时，输入脉冲已消失，此后电容C通过电阻R进行放电，放电也非常缓慢，在放电到电压U2还未放完时，第二个输入脉冲又到来了，于是电容又继续充电，重复上述过程，从而形成锯齿波形输出。

图3.3.3 积分电路的波形
输出电压和输入电压之间的关系为

当时间常数很大时，电容的充放电十分缓慢，，因此

所以输出电压为

可见，输出电压与输入电压的积分成正比。
在脉冲电路中，常利用积分电路把矩形脉冲变换为锯齿波信号，作为扫描信号使用。