一阶动态电路分析.doc

第3章 电路的暂态分析【教学提示】暂态过程是电路的一种特殊过程，持续时间一般极为短暂，但在实际工作中却极为重要。本章介绍了电路暂态过程分析的有关概念和定律，重点分析了RC和RL一阶线性电路的暂态过程，由RC电路的暂态过程归纳出了一阶电路暂态分析的三要素法。最后讨论了RC的实际应用电路积分和微分电路。【教学要求】 了解一阶电路的暂态、稳态、激励、响应等的基本概念 理解电路的换路定律和时间常数的物理意义 了解用经典法分析RC电路、RL电路的方法 掌握一阶电路暂态分析的三要素法 了解微分电路和积分电路的构成及其必须具备的条件3.1 暂态分析的基本概念暂态分析的有关概念是分析暂态过程的基础，理解这些概念能更好地理解电路的暂态过程。1.稳态在前面几章的讨论中，电路中的电压或电流，都是某一稳定值或某一稳定的时间函数，这种状态称为电路的稳定状态，简称稳态（steady state）。2.换路当电路中的工作条件发生变化时，如电路在接通、断开、改接、元件参数等发生突变时，都会引起电路工作状态的改变，就有可能过渡到另一种稳定状态。把上述引起电路工作状态发生变化的情况称为电路的换路（switching circuit）。3.暂态换路后，电路由原来的稳定状态转变到另一个稳定状态。这种转换不是瞬间完成的，而是有一个过渡过程，电路在过渡过程中所处的状态称为暂态（transient state）。4.激励激励（excitation）又称输入，是指从电源输入的信号。激励按类型不同可以分为直流激励、阶跃信号激励、冲击信号激励以及正弦激励。5.响应电路在在内部储能或者外部激励的作用下，产生的电压和电流统称为响应。按照产生响应原因的不同，响应又可以分为：（1）零输入响应（zero input response）：零输入响应就是电路在无外部激励时，只是由内部储能元件中初始储能而引起的响应。（2）零状态响应（zero state response）：零状态响应就是电路换路时储能元件在初始储能为零的情况下，由外部激励所引起的响应。（3）全响应（complete response）：在换路时储能元件初始储能不为零的情况下，再加上外部激励所引起的响应。3.一阶电路电路中只含有一个储能元件或等效为一个储能元件的线性电路，其KVL方程为一阶微分方程，这类电路称为一阶电路，它包括RC电路和RL电路。尽管暂态过程时间短暂，但它是客观存在的物理现象，在实际应用中极为重要。一方面可以利用暂态过程有利的一面，如在电子技术中利用它来产生波形（锯齿波、三角波等）。另一方面，也要避免它有害的一面，如在暂态过程中可能会出现过电压或过电流，会损坏元器件和电气设备。因此研究暂态过程可以掌握它的规律，以便利用它有利的一面，避免不利的一面，意义重大。3.2 换路定律 换路定律是电路暂态分析中的主要定律，它是求解电容的电压和电感的电流初始值的主要依据。3.2.1 换路定律电路的换路是产生暂态过程的外因，而要产生暂态过程，必须有储能元件电感或电容。当换路时，含有储能元件的电路的稳定状态发生了变化，电感和电容中的储能也要发生变化，但能量不能突变。因为若能量突变，由可得功率为无穷大，而功率是有限的。因此，能量不能突变。而电感的磁场能为，电容中的电场能，能量不能突变，这就意味着电感中的电流和电容上的电压不能突变。所以换路前的终了值应等于换路后的初始值，这一规律称为电路的换路定律（switching law）。若t=0_表示换路前终了瞬间，t=0+表示换路后初始瞬间，则换路定律可以用公式表示为：3.2.2 初始值的确定1.初始值的求解步骤换路定律适用于换路瞬间，由它可以确定换路后uC或iL的初始值，再由这两个初始值来确定换路后电路的其他电压或电流的初始值。以下为求初始值的求解步骤：（1）由的等效电路求出或。（2）由换路定律确定或。（3）由的等效电路，利用或求出换路瞬间电路中的其他电量的初始值。2.等效电路的画法在和时，等效电路的画法应根据以下几点：（1）换路前电容或电感上没有储能：的等效电路中，所有电量的值为0，。的等效电路中，电容视为短路，电感视为开路。这是因为时，由换路定律知=0，而此时电容中有电流，所以电容视为短路；=0，而此时电感两端有电压，所以电感视为开路。（2）换路前电容或电感上有储能且已达稳态，的等效电路中，电容视为开路，其电压为；电感视为短路，其电流为；这是因为电容与电感的伏安关系分别为，换路前达稳态时，。所以电容视为开路，其电压为；电感视为短路，其电流为。的等效电路中，电容视为一个恒压源，电压为；电感视为一个恒流源，电流为。这是因为换路时电容的电压和电感的电流不能突变，所以电容视为一个恒压源，电压为；电感视为一个恒流源，电流为。3.2.3 稳态值的确定换路后的电路达到新的稳态后，电压和电流的数值称为稳态值，当时，电路又达新的稳态。若时电感或电容无储能，则，其它电量的稳态值也为零。若时电感或电容有储能，因已达稳态，则，而，。所以在的等效电路中，电容视为开路，其电压为；电感视为短路，其电流为。再利用电容开路和电感短路求其它电量的稳态值。【例3.1】电路如图3.2.1所示，已知E=12V，R1=4，R2=2，开关S断开前电路已达稳态。求S断开后，（1）、。（2）、。图3.2.1解：（1）求初始值画出时的等效电路如图3.2.2（a）所示。 （a） （b）图3.2.2由题意知：换路前电路已处于稳态，电容C视为开路，由等效电路得：V由换路定律得：=4V画出时的等效电路如图3.2.2（b）所示，此时电容视为一个电压为4V的恒压源，则AV（2）求稳态值由题意知：达稳态时，电容没有储能，则VAV3.3 RC电路的暂态分析本节将通过最简单的RC电路来分析其响应，也就是研究RC电路的充放电规律。3.3.1 RC电路的零输入响应 （a） （b）图3.3.1 RC电路的零输入响应在图3.3.1所示（a）RC一阶电路中，换路前开关S合在“1”处，RC电路与直流电源连接，电源通过电阻R对电容器充电至U0，t=0时换路，即将开关S转换到“2”处，试分析换路后、的变化规律。因为换路后的电路外部激励为零，内部储能元件电容换路前有初始储能，所以该电路的响应为零输入响应。分析RC电路的零输入响应也就是分析其放电规律。换路后等效电路如图3.3.1（b），由KVL可得：由于，将代入上式得微分方程： 或 这是一个一阶常系数线性齐次微分方程，它的通解为：式中A和p是待定系数，A为常数，p为该微分方程特征方程的根。将通解代入微分方程式得：整理后得到如下的特征方程：特征根为：再来求常数A，可由初始条件确定，由题意知换路前电容电压根据换路定律得：令t=0将其代入微分方程的通解得：将p和A的结果代入方程的通解得： 或 其随时间变化的曲线如图3.3.2（a）所示。由图可见，它的初始值为U，按指数规律衰减至零。 （a） （b） 图3.3.2 RC电路的响应曲线由可求出的变化规律：其随时间变化的曲线如图3.3.2 (b)所示。由图可见，它的初始值为U0，按指数规律衰减至零。通过分析的变化规律可见，电路中各处的电压和电流均按指数规律变化。当上面的暂态过程结束时，电路处于稳定状态，这时电容端电压和电流的稳态值均为零。暂态过程进行的快慢，取决于电路参数R和C的乘积。令，其中R的单位是欧姆（），C的单位是法拉（F），的单位为秒（s）。因为它具有时间的量纲，所以称为电路的时间常数，它仅仅是由电路的结构和元件参数的大小决定，而与换路情况和外加电压无关。当时，当时，可见时间常数等于电压衰减到初始值的33.8%所需要的时间，如图3.3.3所示。图3.3.3同样也可列出其它时刻的数值，见表3.3.1。表3.3.1 与的关系t0U00.368U00.135U00.05U00.018U00.0067U0从理论上讲，电容电压从过渡到新的稳态（）需要的时间为无穷大，但由上表可以看出，一般经过的时间就可以认为零输入响应衰减到零，暂态过程结束。【例3.2】电路如图3.3.4所示，已知R1=6，R2=3，C=0.01F，IS=3A，S闭合前电路处于直流稳态，在t=0时S闭合，求t0时、。图3.3.4（a）解：（1）在时的等效电路中，电容视为开路，如图（b）所示。（b）由图可得：（V）由换路定律得：（V）（2）换路后的电路如图（c）所示。（c）电路的时间常数为 s则由RC电路的零输入响应的通解得：V则：AAA3.3.2 RC电路的零状态响应图3.3.5在图3.3.5所示RC一阶电路中，换路前开关S断开，电容无储能。t=0时换路，换路后S闭合，RC电路与直流电源连接，试分析换路后、的变化规律。因为换路前电容无初始储能，即电路中储能元件的初始值为零，电路的响应是由电源激励所产生的，所以该电路的响应为零状态响应。分析RC电路的零状态响应也就是分析其充电规律。换路后，电压源通过电阻R向电容C充电，电容上的电压将从初始值逐渐过渡到某一个稳态值。由图中所示参考方向，根据KVL得：由于，将代入上式得微分方程： 或 这是一个一阶常系数线性非齐次微分方程，它通解得一般形式为：通解=齐次微分方程通解+特解其中齐次微分方程通解即为上面所讨论的，特解是非齐次微分方程的一个特殊解，可以取换路后的稳态值。由题意可以得出，换路后的稳态值为E，故非齐次微分方程的通解为：其中p为该齐次微分方程的特征根。积分常数A仍由初始值确定，将初始条件时，代入非齐次微分方程的通解，得：于是求得零状态响应为：其中，E为时电容两端电压，零状态响应又可写为则它们的变化曲线如图3.3.6（a）、（b）所示。 （a） （b）图3.3.6 RC电路的零状态响应曲线【例3.3】在图3.3.5中，已知R=2，C=4F，E=10V，当t=0时，开关S闭合，换路前电容初始储能为零，试求开关闭合后、的变化规律。解：换路前C无初始储能，故换路后根据KVL得：即求得：3.3.3 RC电路的全响应在图3.3.7所示RC一阶电路中，换路前开关S合在“1”处，RC电路与直流电源E1连接，而且电路已稳定，t=0时换路，即将开关S转换到“2”处，RC电路与直流电源E2连接，设电容的电压和电流方向为关联参考方向，试分析换路后、的变化规律。图3.3.7由于换路前电路已稳定，电容已有储能。换路后电路由电压源E2激励，所以该电路的响应为全响应。在t0时，由KVL得：由于，将代入上式得微分方程： 或 求解的步骤和零状态响应是一样的，但电路的初始条件不同，会影响常数A的数值。该微分方程的通解为：将初始条件时，代入微分方程的通解，得： 于是求得全响应为： 整理得：分析式可知，式中第一项是电路的零输入响应，第二项是零状态响应。因此，电路的全状态响应可分解为零输入响应和零状态响应两部分之和。全响应=零输入响应+零状态响应由可以求出的响应。它们的变化曲线如图3.3.8所示。 （a） （b）图3.3.8 RC电路的全响应3.4 RL电路的暂态分析本节将通过最简单的RL电路来分析其响应，也就是研究RL电路的充放电规律。3.4.1 RL电路的零输入响应在图3.4.1所示（a）RL一阶电路中，t=0时换路，将开关S闭合，试分析换路后、的变化规律。图3.4.1 RL电路的零输入响应因为换路后的电路外部激励为零，内部储能元件电感换路前有初始储能，所以该电路的响应为零输入响应。分析RL电路的零输入响应也就是分析其放电规律。设电感的电压和电流关联参考，换路后，由KVL可得：由于，将代入上式得微分方程： 或 此方程与电容放电的微分方程形式相同，参照其解法可求得结果，进而求得。其中，为t时通过电感的电流，零状态响应又可写为则式中它也具有时间的量纲，是RL电路的时间常数。越大，和衰减的越慢。它们随时间变化的曲线如图3.4.2所示。(a) (b) 图3.4.2 RL电路的响应曲线可见，电感电流与电容电压的衰减规律是一样的，都是按指数规律由初始值逐渐衰减而趋于零。而电感电压在换路瞬间会发生突变，由零突变到，然后再按指数规律逐渐衰减到零。过渡过程的快慢，取决于电路的时间常数。RL串联电路实际上是线圈的电路模型，如电动机的绕组、仪表的线圈等。在使用的时候常会遇到线圈从电源断开的问题，如图3.4.3所示电路，S断开前电路已处于稳态。如果突然断开开关S，这时电感中电流的变化率很大，将使线圈两端产生很大的自感电动势。由于开关两触头间的间隙很小，高电动势能使开关触点被击穿而产生电弧或火花，触头被烧坏。为防止开断线圈电路时所产生的高压，常在电感线圈两端并联一个二极管。开关S断开前，二极管反向截止；开关S断开时，二极管导通，电感线圈中的电流通过二极管按指数规律放电，这样就避免了产生高压。 图3.4.33.4.2 RL电路的零状态响应在图3.4.4所示RL一阶电路中，换路前电感无储能。t=0时换路，S闭合，RL电路与直流电源连接，试分析换路后、的变化规律。 图3.4.4 RL电路的零状态响应因为换路前电感无初始储能，即电路中储能元件的初始值为零，电路的响应是由电源激励所产生的，所以该电路的响应为零状态响应。分析RL电路的零状态响应也就是分析其充电规律。设电感的电压和电流方向关联参考，换路后，由KVL可得：由于，将代入上式得微分方程： 或 此方程与电容充电的微分方程形式相同，参照电容充电的解法可求得结果，进而求得。 其中，为时通过电感的电流，因此零状态响应又可写为则它们随时间变化的曲线如图3.4.5所示。 （a） （b）图3.4.5 RL电路的零状态响应曲线可见，电感电流与电容电压的增长规律是一样的，都是按指数规律由初始值增加到稳定值的。电感电压在换路瞬间会发生突变，由零突变到E，然后再按指数规律逐渐衰减到零。过渡过程的快慢，也取决于电路的时间常数。3.4.3 RL电路的全响应在图3.4.6所示RL一阶电路中，换路前开关S合在a处，RL电路与直流电压源E1连接，而且电路已稳定，t=0时换路，即将开关S转换到“b”处，RL电路与直流电压源E2连接，试分析换路后、的变化规律。 图3.4.6 RL电路的全响应由于换路前电路已稳定，电感已有储能。换路后电路由电流源IS2激励，所以该电路的响应为全响应。与求RC电路的全响应类似，RL电路的全响应也等于零输入响应于零状态响应的叠加。由RL电路的零输入响应和零状态响应求得全响应为：它们的变化曲线如图图3.4.7所示。 （a） （b） 图3.4.73.5 一阶线性电路暂态分析的三要素法上述RC和RL电路中，应用KVL列写待求量的微分方程式进行求解的方法，称为经典法。对于一个简单的一阶电路，可以应用经典的方法来求解，但对于结构复杂的一阶电路如果用经典法则显得比较麻烦，下面我们介绍一阶线性电路暂态分析常用的方法三要素法。总结RC、RL电路微分方程的求解过程，可以得出一阶电路暂态过程电压和电流解的形式是相同的，它们都由两部分组成。其中，和为非齐次微分方程的特解，它可以在电路处于稳定状态时求出，称为稳态分量。和是对应齐次微分方程的通解，它具有确定的函数形式称为，随着暂态过程的结束它将趋于零，称为暂态分量。如果将待求的电压或电流用表示，其初始值和稳态值分别为和，则其响应表示为：在时有得：因此式中、和称为一阶电路的三要素，求解时只要求出三个要素，就能直接求出电路的响应。【例3.5.1】在图3.5.1所示电路中，已知E=10V，R1=R2=5k，C=1nF，开关S闭合前电容无储能。求开关S闭合后的电容电压和电流。图3.5.1解：本题是求零状态响应，用三要素法求电容电压和电流的变化规律。（1）先求、由题意开关S闭合前电容无储能得：由换路定律得：在时，电容视为短路mA（2）再求、时，电容视为开路，则：VA（3）然后求时间常数S（4）求、把上面的结果代入三要素公式得：VmA它们的变化曲线如图3.5.1所示。 (a) (b) 图3.5.13.6 微分电路与积分电路在RC电路中，电路的时间常数决定了暂态过程进行的快慢，如果对RC电路选择适当的时间常数和输出端，便会得到输出电压和输入电压之间微分和积分的关系，本节所介绍的就是由RC电路构成的微分电路与积分电路。3.3.1 微分电路如图3.3.1所示RC电路中，输入电压为一个矩形脉冲电压，脉冲幅度为U，脉冲宽度为tp。输出电压取自R两端，且满足p，设电容初始储能为零，试分析输出电压和输入电压之间的关系。 (a) 矩形脉冲 (b)电路图 图3.3.1 微分电路为便于分析，我们分别取几个特殊时刻，、。时，输入矩形脉冲由零突变为U，由于电容初始储能为零，故，则。时，由于，所以电容迅速充电，电容电压按指数规律很快充电到U，相应地输出端电压即由初始值衰减到0，形成一个幅度为U的正尖脉冲输出。时，矩形脉冲由U突变为零，输入端相当于短路。此时，电容电压不突变，输出端电压。时，电容电压通过电阻R放电，按指数规律很快衰减到零，相应地输出端电压由也迅速地衰减到零，形成一个幅度为U的负尖脉冲输出。时，输入矩形脉冲又由零突变为U。然后电容迅速充电、放电，重复上述过程。因此，由上述分析可以在输出端得到一个正负两尖脉冲电压，如图3.3.2所示。而且随着的减小，幅值衰减的速度越快，尖脉冲的下降部分衰减的越快。图3.3.2 微分电路的波形下面来分析输出电压和输入电压之间的关系。输出电压即电阻两端电压从图中可以看出，当时间常数很小时，电容迅速充放电，因此输出电压上式表明，输出电压近似与输入电压之间为微分关系。在脉冲电路中，常利用微分电路把矩形脉冲变换为尖脉冲，作为触发信号使用。3.3.2 积分电路在图3.3.1所示RC电路中，输入电压仍是一个脉冲幅度为U，脉冲宽度为tp的矩形脉冲电压，但输出电压从电容C两端引出，且满足p，设电容初始储能为零，试分析输出电压和输入电压之间的关系。 (a) 矩形脉冲 (b)电路图 图3.3.2 积分电路时，输入矩形脉冲由零突变为U作用于RC电路中，由于，所以电容电压按指数规律缓慢充电到U1，U1远达不到脉冲电压U时，输入脉冲已消失，此后电容C通过电阻R进行放电，放电也非常缓慢，在放电到电压U2还未放完时，第二个输入脉冲又到来了，于是电容又继续充电，重复上述过程，从而形成锯齿波形输出。 图3.3.3 积分电路的波形输出电压和输入电压之间的关系为当时间常数很大时，电容的充放电十分缓慢，因此所以输出电压为可见，输出电压与输入电压的积分成正比。在脉冲电路中，常利用积分电路把矩形脉冲变换为锯齿波信号，作为扫描信号使用。