27章相似知识点总结.doc

第27章 相似形 （要求深刻理解、熟练运用）
1“平行出比例”定理及逆定理：
（1）平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例；

（1）（3） （2）
几何表达式举例：
(1) ∵DE∥BC ∴
(2) ∵DE∥BC ∴
(3) ∵ ∴DE∥BC
2．比例的基本性质： a:b=c:d Û Û ad=bc ；
3．定理：“平行”出相似
平行于三角形一边的直线和其它两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似.

几何表达式举例：
∵DE∥BC
∴ΔADE∽ΔABC
4．定理：“AA”出相似
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.

几何表达式举例：
∵∠A=∠A
又∵∠AED=∠ACB
∴ΔADE∽ΔABC

5．定理：“SAS”出相似
如果一个三角形的两条边与另一个
三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似.

几何表达式举例：
∵
又∵∠A=∠A
∴ΔADE∽ΔABC
6．“双垂” 出相似及射影定理：
（1）直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似；
（2）双垂图形中，两条直角边是它在斜边上的射影和斜边的比例中项，斜边上的高是它分斜边所成两条线段的比例中项.

几何表达式举例：
(1) ∵AC⊥CB
又∵CD⊥AB
∴ΔACD∽ΔCBD∽ΔABC
(2) ∵AC⊥CB CD⊥AB
∴AC2=AD·AB
BC2=BD·BA
DC2=DA·DB
7．相似三角形性质：
（1）相似三角形对应角相等，对应边成比例；
（2）相似三角形对应高的比，对应中线的比，对应角平分线、周长的比都等于相似比；
（3）相似三角形面积的比，等于相似比的平方.

(1) ∵ΔABC∽ΔEFG
∴
∠BAC=∠FEG
(2) ∵ΔABC∽ΔEFG
又∵AD、EH是对应中线
∴
(3) ∵ΔABC∽ΔEFG
∴

三 常识：
1．三角形中，作平行线构造相似形和已知中点构造中位线是常用辅助线.
2．相似形有传递性；即： ∵Δ1∽Δ2 Δ2∽Δ3 ∴Δ1∽Δ3
四、位似
1、位似图形：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，且每组对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比．
2、掌握位似图形概念，需注意：①位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形；②两个位似图形的位似中心只有一个；③两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的同一侧；④位似比就是相似比．利用位似图形的定义可判断两个图形是否位似．
3、位似图形首先是相似图形，所以它具有相似图形的一切性质．位似图形是一种特殊的相似图形，它又具有特殊的性质，位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离等于位似比（相似比）．
4、利用位似，可以将一个图形放大或缩小．作图时要注意:①首先确定位似中心，位似中心的位置可随意选择；②确定原图形的关键点，如四边形有四个关键点，即它的四个顶点；③确定位似比，根据位似比的取值，可以判断是将一个图形放大还是缩小；④符合要求的图形不惟一，因为所作的图形与所确定的位似中心的位置有关，并且同一个位似中心的两侧各有一个符合要求的图形．