平面几何中几个重要定理的证明.doc
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1、平面几何中几个重要定理及其证明一、 塞瓦定理 1塞瓦定理及其证明定理:在ABC内一点P,该点与ABC的三个顶点相连所在的三条直线分别交ABC三边AB、BC、CA于点D、E、F,且D、E、F三点均不是ABC的顶点,则有 证明:运用面积比可得根据等比定理有,所以同理可得,三式相乘得注:在运用三角形的面积比时,要把握住两个三角形是“等高”还是“等底”,这样就可以产生出“边之比”2塞瓦定理的逆定理及其证明定理:在ABC三边AB、BC、CA上各有一点D、E、F,且D、E、F均不是ABC的顶点,若,那么直线CD、AE、BF三线共点证明:设直线AE与直线BF交于点P,直线CP交AB于点D/,则据塞瓦定理有
2、因为 ,所以有由于点D、D/都在线段AB上,所以点D与D/重合即得D、E、F三点共线注:利用唯一性,采用同一法,用上塞瓦定理使命题顺利获证二、 梅涅劳斯定理G3梅涅劳斯定理及其证明定理:一条直线与ABC的三边AB、BC、CA所在直线分别交于点D、E、F,且D、E、F均不是ABC的顶点,则有 证明:如图,过点C作AB的平行线,交EF于点G因为CG / AB,所以 (1)因为CG / AB,所以 (2)由(1)(2)可得,即得注:添加的辅助线CG是证明的关键“桥梁”,两次运用相似比得出两个比例等式,再拆去“桥梁”(CG)使得命题顺利获证4梅涅劳斯定理的逆定理及其证明定理:在ABC的边AB、BC上各
3、有一点D、E,在边AC的延长线上有一点F,若, 那么,D、E、F三点共线证明:设直线EF交AB于点D/,则据梅涅劳斯定理有因为 ,所以有由于点D、D/都在线段AB上,所以点D与D/重合即得D、E、F三点共线注:证明方法与上面的塞瓦定理的逆定理如出一辙,注意分析其相似后面的规律三、 托勒密定理EM 5托勒密定理及其证明定理:凸四边形ABCD是某圆的内接四边形,则有 ABCD + BCAD = ACBD证明:设点M是对角线AC与BD的交点,在线段BD上找一点,使得DAE =BAM因为ADB =ACB,即ADE =ACB,所以ADEACB,即得,即 (1)由于DAE =BAM,所以DAM =BAE,
4、即DAC =BAE。而ABD =ACD,即ABE =ACD,所以ABEACD即得 ,即 (2)由(1)+(2)得 所以ABCD + BCAD = ACBD注:巧妙构造三角形,运用三角形之间的相似推得结论这里的构造具有特点,不容易想到,需要认真分析题目并不断尝试6托勒密定理的逆定理及其证明定理:如果凸四边形ABCD满足ABCD + BCAD = ACBD,那么A、B、C、D四点共圆证法1(同一法):在凸四边形ABCD内取一点E,使得,则可得ABCD = BEAC (1)且 (2)则由及(2)可得于是有 ADBC = DEAC (3)由(1)+(3)可得 ABCD + BCAD = AC( BE
5、+ DE )据条件可得 BD = BE + DE,则点E在线段BD上则由,得,这说明A、B、C、D四点共圆 证法2(构造转移法) 延长DA到A/,延长DB到B/,使A、B、B/、A/四点共圆延长DC到C/,使得B、C、C/、B/四点共圆(如果能证明A/、B/、C/共线,则命题获证) 那么,据圆幂定理知A、C、C/、A/四点也共圆 因此, 可得 . 另一方面,即 欲证=,即证 即 据条件有 ,所以需证, 即证,这是显然的所以,即A/、B/、C/共线所以与互补由于,所以与互补,即A、B、C、D四点共圆7托勒密定理的推广及其证明 定理:如果凸四边形ABCD的四个顶点不在同一个圆上,那么就有 ABCD
6、 + BCAD ACBD证明:如图,在凸四边形ABCD内取一点E,使得,则可得ABCD = BEAC (1)且 (2)则由及(2)可得于是 ADBC = DEAC (3)由(1)+(3)可得 ABCD + BCAD = AC( BE + DE )因为A、B、C、D四点不共圆,据托勒密定理的逆定理可知ABCD + BCADACBD所以BE + DEBD,即得点E不在线段BD上,则据三角形的性质有BE + DE BD所以ABCD + BCAD ACBD四、 西姆松定理8西姆松定理及其证明定理:从ABC外接圆上任意一点P向BC、CA、AB或其延长线引垂线,垂足分别为D、E、F,则D、E、F三点共线证
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