圆锥曲线解题技巧和方法综合全.doc

圆锥曲线的解题技巧
一、常规七大题型：
（1）中点弦问题
具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为，，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式（当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论），消去四个参数。
如：（1）与直线相交于A、B，设弦AB中点为M(x0,y0)，则有。
（2）与直线l相交于A、B，设弦AB中点为M(x0,y0)则有
（3）y2=2px（p>0）与直线l相交于A、B设弦AB中点为M(x0,y0),则有2y0k=2p,即y0k=p.

典型例题 给定双曲线。过A（2，1）的直线与双曲线交于两点 及，求线段的中点P的轨迹方程。

（2）焦点三角形问题
椭圆或双曲线上一点P，与两个焦点、构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。
典型例题 设P(x,y)为椭圆上任一点，，为焦点，，。
（1）求证离心率；
（2）求的最值。

（3）直线与圆锥曲线位置关系问题
直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理，应特别注意数形结合的思想，通过图形的直观性帮助分析解决问题，如果直线过椭圆的焦点，结合三大曲线的定义去解。
典型例题
（1）求证：直线与抛物线总有两个不同交点
（2）设直线与抛物线的交点为A、B，且OA⊥OB，求p关于t的函数f(t)的表达式。

（4）圆锥曲线的相关最值（范围）问题
圆锥曲线中的有关最值（范围）问题，常用代数法和几何法解决。
<1>若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决。
<2>若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数（通常利用二次函数，三角函数，均值不等式）求最值。
（1），可以设法得到关于a的不等式，通过解不等式求出a的范围，即：“求范围，找不等式”。或者将a表示为另一个变量的函数，利用求函数的值域求出a的范围；对于（2）首先要把△NAB的面积表示为一个变量的函数，然后再求它的最大值,即：“最值问题，函数思想”。
最值问题的处理思路：
1、建立目标函数。用坐标表示距离，用方程消参转化为一元二次函数的最值问题，关键是由方程求x、y的范围；
2、数形结合，用化曲为直的转化思想；
3、利用判别式，对于二次函数求最值，往往由条件建立二次方程，用判别式求最值；
4、借助均值不等式求最值。

典型例题
已知抛物线y2=2px(p>0)，过M（a,0）且斜率为1的直线L与抛物线交于不同的两点A、B，
|AB|≤2p
（1）求a的取值范围；（2）若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求△NAB面积的最大值。
（5）求曲线的方程问题
1．曲线的形状已知--------这类问题一般可用待定系数法解决。
典型例题
已知直线L过原点，抛物线C 的顶点在原点，焦点在x轴正半轴上。若点A（-1，0）和点B（0，8）关于L的对称点都在C上，求直线L和抛物线C的方程。

2．曲线的形状未知-----求轨迹方程
典型例题
M
N
Q
O
已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：x2+y2=1, 动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数（>0）,求动点M的轨迹方程，并说明它是什么曲线。

（6） 存在两点关于直线对称问题
在曲线上两点关于某直线对称问题，可以按如下方式分三步解决：求两点所在的直线，求这两直线的交点，使这交点在圆锥曲线形内。（当然也可以利用韦达定理并结合判别式来解决）
典型例题 已知椭圆C的方程，试确定m的取值范围，使得对于直线，椭圆C上有不同两点关于直线对称

（7）两线段垂直问题
圆锥曲线两焦半径互相垂直问题，常用来处理或用向量的坐标运算来处理。
典型例题 已知直线的斜率为，且过点，抛物线，直线与抛物线C有两个不同的交点（如图）。
（1）求的取值范围；
（2）直线的倾斜角为何值时，A、B与抛物线C的焦点连线互相垂直。

四、解题的技巧方面：
在教学中，学生普遍觉得解析几何问题的计算量较大。事实上，如果我们能够充分利用几何图形、韦达定理、曲线系方程，以及运用“设而不求”的策略，往往能够减少计算量。下面举例说明：
（1）充分利用几何图形
解析几何的研究对象就是几何图形及其性质，所以在处理解析几何问题时，除了运用代数方程外，充分挖掘几何条件，并结合平面几何知识，这往往能减少计算量。
典型例题 设直线与圆相交于P、Q两点，O为坐标原点，若，求的值。

（2） 充分利用韦达定理及“设而不求”的策略
我们经常设出弦的端点坐标而不求它，而是结合韦达定理求解，这种方法在有关斜率、中点等问题中常常用到。
典型例题 已知中心在原点O，焦点在轴上的椭圆与直线相交于P、Q两点，且，，求此椭圆方程。

（3） 充分利用曲线系方程
利用曲线系方程可以避免求曲线的交点，因此也可以减少计算。
典型例题 求经过两已知圆和0的交点，且圆心在直线：上的圆的方程。

（4）充分利用椭圆的参数方程
椭圆的参数方程涉及到正、余弦，利用正、余弦的有界性，可以解决相关的求最值的问题．这也是我们常说的三角代换法。
典型例题 P为椭圆上一动点，A为长轴的右端点，B为短轴的上端点，求四边形OAPB面积的最大值及此时点P的坐标。

（5）线段长的几种简便计算方法

① 充分利用现成结果，减少运算过程
一般地，求直线与圆锥曲线相交的弦AB长的方法是：把直线方程代入圆锥曲线方程中，得到型如的方程，方程的两根设为，，判别式为△，则，若直接用结论，能减少配方、开方等运算过程。
例 求直线被椭圆所截得的线段AB的长。
② 结合图形的特殊位置关系，减少运算
在求过圆锥曲线焦点的弦长时，由于圆锥曲线的定义都涉及焦点，结合图形运用圆锥曲线的定义，可回避复杂运算。
例 、是椭圆的两个焦点，AB是经过的弦，若，求值

③ 利用圆锥曲线的定义，把到焦点的距离转化为到准线的距离
例 点A（3，2）为定点，点F是抛物线的焦点，点P在抛物线上移动，若取得最小值，求点P的坐标。
圆锥曲线解题方法技巧归纳
第一、知识储备：
1. 直线方程的形式
（1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。
（2）与直线相关的重要内容
①倾斜角与斜率
②点到直线的距离 ③夹角公式：
（3）弦长公式
直线上两点间的距离：
或
（4）两条直线的位置关系
①=-1 ②
2、圆锥曲线方程及性质
(1)、椭圆的方程的形式有几种？（三种形式）
标准方程：
距离式方程：
参数方程：
(2)、双曲线的方程的形式有两种
标准方程：
距离式方程：
(3)、三种圆锥曲线的通径你记得吗？

(4)、圆锥曲线的定义你记清楚了吗？
如：已知是椭圆的两个焦点，平面内一个动点M满足则动点M的轨迹是（ ）
A、双曲线；B、双曲线的一支；C、两条射线；D、一条射线
(5)、焦点三角形面积公式：

（其中）
(6)、记住焦半径公式：（1），可简记为“左加右减，上加下减”。
（2）
（3）
(6)、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗？
第二、方法储备
1、点差法（中点弦问题）
设、，为椭圆的弦中点则有
，；两式相减得
=
2、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？经典套路是什么？如果有两个参数怎么办？
设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到一个二次方程，使用判别式，以及根与系数的关系，代入弦长公式，设曲线上的两点，将这两点代入曲线方程得到两个式子，然后-，整体消元······，若有两个字母未知数，则要找到它们的联系，消去一个，比如直线过焦点，则可以利用三点A、B、F共线解决之。若有向量的关系，则寻找坐标之间的关系，根与系数的关系结合消元处理。一旦设直线为，就意味着k存在。
例1、已知三角形ABC的三个顶点均在椭圆上，且点A是椭圆短轴的一个端点（点A在y轴正半轴上）.
（1）若三角形ABC的重心是椭圆的右焦点，试求直线BC的方程;
（2）若角A为，AD垂直BC于D，试求点D的轨迹方程.
分析：第一问抓住“重心”，利用点差法及重心坐标公式可求出中点弦BC的斜率，从而写出直线BC的方程。第二问抓住角A为可得出AB⊥AC，从而得，然后利用联立消元法及交轨法求出点D的轨迹方程；
解：（1）设B（,）,C(,),BC中点为(),F(2,0)则有
两式作差有 (1)
F(2,0)为三角形重心，所以由，得，由得，代入（1）得
直线BC的方程为
2)由AB⊥AC得 （2）
设直线BC方程为，得
，
代入（2）式得
，解得或
直线过定点（0，，设D（x,y），则，即
所以所求点D的轨迹方程是。
4、设而不求法
例2、如图，已知梯形ABCD中，点E分有向线段所成的比为，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点当时，求双曲线离心率的取值范围。
分析：本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运算能力和综合运用数学知识解决问题的能力。建立直角坐标系，如图，若设C，代入，求得，进而求得再代入，建立目标函数，整理，此运算量可见是难上加难.我们对可采取设而不求的解题策略,
建立目标函数，整理,化繁为简.
解法一：如图，以AB为垂直平分线为轴，直线AB为轴，建立直角坐标系，则CD⊥轴因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于轴对称
依题意，记A，C，E，其中为双曲线的半焦距，是梯形的高，由定比分点坐标公式得
，
设双曲线的方程为，则离心率
由点C、E在双曲线上，将点C、E的坐标和代入双曲线方程得
， ①
②
由①式得 ， ③
将③式代入②式，整理得
，
故
由题设得，
解得
所以双曲线的离心率的取值范围为
分析：考虑为焦半径,可用焦半径公式, 用的横坐标表示，回避的计算, 达到设而不求的解题策略．
解法二：建系同解法一，，
，又，代入整理，由题设得，
解得
所以双曲线的离心率的取值范围为
5、判别式法
例3已知双曲线，直线过点，斜率为，当时，双曲线的上支上有且仅有一点B到直线的距离为，试求的值及此时点B的坐标。
分析1：解析几何是用代数方法来研究几何图形的一门学科，因此，数形结合必然是研究解析几何问题的重要手段. 从“有且仅有”这个微观入手，对照草图，不难想到：过点B作与平行的直线，必与双曲线C相切. 而相切的代数表现形式是所构造方程的判别式. 由此出发，可设计如下解题思路：
把直线l’的方程代入双曲线方程，消去y，令判别式
直线l’在l的上方且到直线l的距离为

解题过程略.
分析2：如果从代数推理的角度去思考，就应当把距离用代数式表达，即所谓“有且仅有一点B到直线的距离为”，相当于化归的方程有唯一解. 据此设计出如下解题思路：
转化为一元二次方程根的问题
求解
问题
关于x的方程有唯一解

简解：设点为双曲线C上支上任一点，则点M到直线的距离为：

于是，问题即可转化为如上关于的方程.
由于，所以，从而有

于是关于的方程

由可知：
方程的二根同正，故恒成立，于是等价于
.
由如上关于的方程有唯一解，得其判别式，就可解得 .
点评：上述解法紧扣解题目标，不断进行问题转换，充分体现了全局观念与整体思维的优越性.
例4已知椭圆C:和点P（4，1），过P作直线交椭圆于A、B两点，在线段AB上取点Q，使，求动点Q的轨迹所在曲线的方程.
分析：这是一个轨迹问题，解题困难在于多动点的困扰，学生往往不知从何入手。其实，应该想到轨迹问题可以通过参数法求解. 因此，首先是选定参数，然后想方设法将点Q的横、纵坐标用参数表达，最后通过消参可达到解题的目的.
由于点的变化是由直线AB的变化引起的，自然可选择直线AB的斜率作为参数，如何将与联系起来？一方面利用点Q在直线AB上；另一方面就是运用题目条件：来转化.由A、B、P、Q四点共线，不难得到，要建立与的关系，只需将直线AB的方程代入椭圆C的方程，利用韦达定理即可.
通过这样的分析，可以看出，虽然我们还没有开始解题，但对于如何解决本题，已经做到心中有数.

将直线方程代入椭圆方程，消去y，利用韦达定理
利用点Q满足直线AB的方程：y = k (x—4)+1，消去参数k
点Q的轨迹方程

在得到之后，如果能够从整体上把握，认识到：所谓消参，目的不过是得到关于的方程（不含k），则可由解得，直接代入即可得到轨迹方程。从而简化消去参的过程。
简解：设，则由可得：，
解之得： （1）
设直线AB的方程为：，代入椭圆C的方程，消去得出关于 x的一元二次方程：
（2）
∴
代入（1），化简得： (3)
与联立，消去得：
在（2）中，由，解得 ，结合（3）可求得
故知点Q的轨迹方程为： （）.
点评：由方程组实施消元，产生一个标准的关于一个变量的一元二次方程，其判别式、韦达定理模块思维易于想到. 这当中，难点在引出参，活点在应用参，重点在消去参.，而“引参、用参、消参”三步曲，正是解析几何综合问题求解的一条有效通道.
6、求根公式法
例5设直线过点P（0，3），和椭圆顺次交于A、B两点，试求的取值范围.
分析：本题中，绝大多数同学不难得到：=，但从此后却一筹莫展, 问题的根源在于对题目的整体把握不够. 事实上，所谓求取值范围，不外乎两条路：其一是构造所求变量关于某个（或某几个）参数的函数关系式（或方程），这只需利用对应的思想实施；其二则是构造关于所求量的一个不等关系.
分析1: 从第一条想法入手，=已经是一个关系式，但由于有两个变量，同时这两个变量的范围不好控制，所以自然想到利用第3个变量——直线AB的斜率k. 问题就转化为如何将转化为关于k的表达式，到此为止，将直线方程代入椭圆方程，消去y得出关于的一元二次方程，其求根公式呼之欲出.
所求量的取值范围
把直线l的方程y = kx+3代入椭圆方程，消去y得到关于x的一元二次方程
xA= f（k），xB = g（k）
得到所求量关于k的函数关系式
求根公式
AP/PB = —（xA / xB）
由判别式得出k的取值范围

简解1：当直线垂直于x轴时，可求得;
当与x轴不垂直时，设，直线的方程为：，代入椭圆方程，消去得
解之得
因为椭圆关于y轴对称，点P在y轴上，所以只需考虑的情形.
当时，，，
所以 ===.
由 , 解得 ，
所以 ，
综上 .
分析2: 如果想构造关于所求量的不等式，则应该考虑到：判别式往往是产生不等的根源. 由判别式值的非负性可以很快确定的取值范围，于是问题转化为如何将所求量与联系起来. 一般来说，韦达定理总是充当这种问题的桥梁，但本题无法直接应用韦达定理，原因在于不是关于的对称关系式. 原因找到后，解决问题的方法自然也就有了，即我们可以构造关于的对称关系式.
把直线l的方程y = kx+3代入椭圆方程，消去y得到关于x的一元二次方程
xA+ xB = f（k），xA xB = g（k）
构造所求量与k的关系式
关于所求量的不等式
韦达定理
AP/PB = —（xA / xB）
由判别式得出k的取值范围

简解2：设直线的方程为：，代入椭圆方程，消去得
（*）
则
令，则，
在（*）中，由判别式可得 ，
从而有 ，所以 ，解得 .
结合得.
综上，.
点评：范围问题不等关系的建立途径多多，诸如判别式法，均值不等式法，变量的有界性法，函数的性质法，数形结合法等等. 本题也可从数形结合的角度入手，给出又一优美解法.
解题犹如打仗，不能只是忙于冲锋陷阵，一时局部的胜利并不能说明问题，有时甚至会被局部所纠缠而看不清问题的实质所在，只有见微知著，树立全局观念，讲究排兵布阵，运筹帷幄，方能决胜千里.
第三、推理训练：数学推理是由已知的数学命题得出新命题的基本思维形式，它是数学求解的核心。以已知的真实数学命题，即定义、公理、定理、性质等为依据，选择恰当的解题方法，达到解题目标，得出结论的一系列推理过程。在推理过程中，必须注意所使用的命题之间的相互关系（充分性、必要性、充要性等），做到思考缜密、推理严密。通过编写思维流程图来锤炼自己的大脑，快速提高解题能力。
例6椭圆长轴端点为，为椭圆中心，为椭圆的右焦点，且，．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）记椭圆的上顶点为，直线交椭圆于两点，问：是否存在直线，使点恰为的垂心？若存在，求出直线的方程;若不存在，请说明理由。
思维流程：

写出椭圆方程
由，
，
（Ⅰ）

由F为的重心

（Ⅱ）

两根之和，
两根之积

得出关于
m的方程
解出m
消元

解题过程：
（Ⅰ）如图建系，设椭圆方程为,则
又∵即 ，∴
故椭圆方程为
（Ⅱ）假设存在直线交椭圆于两点，且恰为的垂心，则
设，∵，故，
于是设直线为 ，由得，
∵ 又
得 即
由韦达定理得

解得或（舍） 经检验符合条件．
点石成金：垂心的特点是垂心与顶点的连线垂直对边，然后转化为两向量乘积为零．
例7、已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过、、三点．
（Ⅰ）求椭圆的方程：
（Ⅱ）若点D为椭圆上不同于、的任意一点，，当Δ内切圆的面积最大时，求Δ内心的坐标；
由椭圆经过A、B、C三点
设方程为
得到的方程组
解出
思维流程：
（Ⅰ）

由内切圆面积最大
转化为面积最大
转化为点的纵坐标的绝对值最大最大
为椭圆短轴端点
面积最大值为

（Ⅱ）

得出点坐标为

解题过程： （Ⅰ）设椭圆方程为，将、、代入椭圆E的方程，得
解得.∴椭圆的方程 ．
（Ⅱ），设Δ边上的高为
当点在椭圆的上顶点时，最大为，所以的最大值为．
设Δ的内切圆的半径为，因为Δ的周长为定值6．所以，
所以的最大值为．所以内切圆圆心的坐标为.
点石成金：
例8、已知定点及椭圆，过点的动直线与椭圆相交于两点.
（Ⅰ）若线段中点的横坐标是，求直线的方程；
（Ⅱ）在轴上是否存在点，使为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
思维流程：
（Ⅰ）解：依题意，直线的斜率存在，设直线的方程为，
将代入， 消去整理得
设
则
由线段中点的横坐标是， 得，解得，符合题意。
所以直线的方程为 ，或 .
（Ⅱ）解：假设在轴上存在点，使为常数.
① 当直线与轴不垂直时，由（Ⅰ）知
所以
将代入，整理得
注意到是与无关的常数， 从而有， 此时
② 当直线与轴垂直时，此时点的坐标分别为，当时， 亦有
综上，在轴上存在定点，使为常数.
点石成金：

例9、已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M（2，1），平行于OM的直线在y轴上的截距为m（m≠0），交椭圆于A、B两个不同点。
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求m的取值范围；
（Ⅲ）求证直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.
思维流程：
解：（1）设椭圆方程为
则 ∴椭圆方程为
（Ⅱ）∵直线l平行于OM，且在y轴上的截距为m
又KOM=
由
∵直线l与椭圆交于A、B两个不同点，
（Ⅲ）设直线MA、MB的斜率分别为k1，k2，只需证明k1+k2=0即可
设
则
由

而

故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.
点石成金：直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形
例10、已知双曲线的离心率，过的直线到原点的距离是
（1）求双曲线的方程；
（2）已知直线交双曲线于不同的点C，D且C，D都在以B为圆心的圆上，求k的值.
思维流程：
解：∵（1）原点到直线AB：的距离.
故所求双曲线方程为
（2）把中消去y，整理得 .
设的中点是，则

即
故所求k=±.
点石成金: C，D都在以B为圆心的圆上BC=BDBE⊥CD;
例11、已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（II）若直线y=kx+m与椭圆C相交于A、B两点（A、B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．
思维流程：
解：（Ⅰ）由题意设椭圆的标准方程为，
由已知得：，
椭圆的标准方程为．
（II）设．
联立
得 ，则

又．
因为以为直径的圆过椭圆的右顶点，
，即. ．
． ．
解得：，且均满足．
当时，的方程，直线过点，与已知矛盾；
当时，的方程为，直线过定点．
所以，直线过定点，定点坐标为．
点石成金：以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点 CA⊥CB;
例12、已知双曲线的左右两个焦点分别为,点P在双曲线右支上.
（Ⅰ）若当点P的坐标为时,,求双曲线的方程；
（Ⅱ）若,求双曲线离心率的最值,并写出此时双曲线的渐进线方程.
思维流程：
解：（Ⅰ）(法一)由题意知,, ,
, （1分）
解得 . 由双曲线定义得:
,
所求双曲线的方程为:
(法二) 因,由斜率之积为,可得解.
（Ⅱ）设,
(法一)设P的坐标为, 由焦半径公式得,,，
的最大值为2,无最小值. 此时,
此时双曲线的渐进线方程为
(法二)设,.
(1)当时, ,
此时 .
(2)当,由余弦定理得:
,
,,综上,的最大值为2,但无最小值. (以下法一)